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Beweisarchiv: Topologie: Top hat Limites

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Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.

Sei eine kleine Kategorie und

ein Diagramm topologischer Räume über , so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.

Beweis

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Wir konstruieren den Limes direkt. Sei

mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch

Die Projektionen sind stetig: Ist eine offene Teilmenge, so ist basisoffen, wobei die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist und damit offen in .

Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei ein beliebiger topologischer Raum und eine Familie stetiger Abbildungen, sodass für alle und alle gilt. Dann existiert genau eine Abbildung mit für alle , nämlich

Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in nachzurechnen. Sei also offen von der Form wobei offen ist und für alle außer endlich viele die Gleichheit gilt. Es gilt

Dieser Durchschnitt ist endlich und da die stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist offen, was zu zeigen war.