Beweisarchiv: Topologie
Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.
Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume
T
o
p
{\displaystyle \mathrm {Top} }
mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.
Sei
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
eine kleine Kategorie und
X
:
I
→
T
o
p
,
i
↦
X
i
{\displaystyle X:{\mathcal {I}}\to \mathrm {Top} ,\quad i\mapsto X_{i}}
ein Diagramm topologischer Räume über
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
, so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.
Wir konstruieren den Limes direkt. Sei
L
:=
{
(
a
i
)
i
∈
I
∈
∏
i
∈
I
X
i
∣
∀
i
,
j
∈
I
:
∀
f
∈
H
o
m
I
(
i
,
j
)
:
X
(
f
)
(
a
i
)
=
a
j
}
⊂
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle L:=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\mid \forall i,j\in {\mathcal {I}}:\forall f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j):X(f)(a_{i})=a_{j}\right\}\subset \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}
mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}
ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch
π
j
:
L
→
X
j
,
(
a
i
)
i
∈
I
↦
a
j
{\displaystyle \pi _{j}:L\to X_{j},\quad (a_{i})_{i\in I}\mapsto a_{j}}
Die Projektionen sind stetig: Ist
U
⊂
X
j
{\displaystyle U\subset X_{j}}
eine offene Teilmenge, so ist
p
r
j
−
1
(
U
)
⊂
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\subset \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}}
basisoffen, wobei
p
r
j
:
∏
i
∈
I
X
i
→
X
j
{\displaystyle \mathrm {pr} _{j}:\prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\to X_{j}}
die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist
π
j
−
1
(
U
)
=
p
r
j
−
1
(
U
)
∩
L
{\displaystyle \pi _{j}^{-1}(U)=\mathrm {pr} _{j}^{-1}(U)\cap L}
und damit offen in
L
{\displaystyle L}
.
Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei
T
{\displaystyle T}
ein beliebiger topologischer Raum und
g
i
:
T
→
X
i
{\displaystyle g_{i}:T\to X_{i}}
eine Familie stetiger Abbildungen, sodass
X
(
f
)
∘
g
i
=
g
j
{\displaystyle X(f)\circ g_{i}=g_{j}}
für alle
i
,
j
∈
I
{\displaystyle i,j\in {\mathcal {I}}}
und alle
f
∈
H
o
m
I
(
i
,
j
)
{\displaystyle f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)}
gilt. Dann existiert genau eine Abbildung
g
:
T
→
L
{\displaystyle g:T\to L}
mit
π
i
∘
g
=
g
i
{\displaystyle \pi _{i}\circ g=g_{i}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}
, nämlich
g
:
T
→
L
,
t
↦
(
g
i
(
t
)
)
i
∈
I
{\displaystyle g:T\to L,\quad t\mapsto (g_{i}(t))_{i\in {\mathcal {I}}}}
Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in
L
{\displaystyle L}
nachzurechnen. Sei also
U
⊂
L
{\displaystyle U\subset L}
offen von der Form
∏
i
∈
I
U
i
{\displaystyle \prod \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}U_{i}}
wobei
U
i
⊂
X
i
{\displaystyle U_{i}\subset X_{i}}
offen ist und für alle außer endlich viele
i
∈
I
{\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}
die Gleichheit
U
i
=
X
i
{\displaystyle U_{i}=X_{i}}
gilt. Es gilt
g
−
1
(
U
)
=
⋂
i
∈
I
g
i
−
1
(
U
i
)
{\displaystyle g^{-1}(U)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}g_{i}^{-1}(U_{i})}
Dieser Durchschnitt ist endlich und da die
g
i
{\displaystyle g_{i}}
stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist
g
−
1
(
U
)
{\displaystyle g^{-1}(U)}
offen, was zu zeigen war.
◻
{\displaystyle \Box }