Beweisarchiv: Topologie: Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen

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Beweisarchiv: Topologie

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Der fundamentale Satz von Baire besagt, dass für jeden lokalkompakten Hausdorffraum und ebenso für jeden vollständigen metrischen Raum stets folgendes gilt:

Unter höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen des Raums, deren Vereinigung einen inneren Punkt hat, existiert stets mindestens eine, welche ebenfalls einen inneren Punkt hat.

Wie sich zeigt, hat für den Fall, dass nur endlich viele abgeschlossene Teilmengen vorliegen, das Analogon des baireschen Satzes sogar ohne alle Voraussetzungen über die Topologie des Raumes Gültigkeit. Weiter lässt sich zeigen, dass das Analogon sogar auf den Fall lokalendlicher Familien ausdehnbar ist.

Formulierung des Analogons[Bearbeiten]

Gegeben seien ein topologischer Raum und eine endliche Indexmenge und dazu eine endliche Familie von abgeschlossenen Teilmengen mit

als Vereinigungsmenge dieser abgeschlossenen Teilmengen.

Dann gilt:

Hat innere Punkte, so muss schon eine der Teilmengen innere Punkte haben.

Etwas anders formuliert:

Ist , so muss schon für eine der Teilmengen sein.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Es sei o. B. d. A.

vorausgesetzt.
Induktionsanfang

Hier ist nichts zu zeigen.

Induktionsschritt

Sei und sei die Aussage schon bewiesen für alle -elementigen Indexmengen.

Zwischenschritt

Hier gilt also

und dabei

.

Nehmen wir an, es sei

.

Dann gilt für die in offene (!) Menge , dass

und dann sogar

sein muss.

Folglich ist dann auch

und damit

.

Daher muss auch

gelten.

Eigentlicher Induktionsschritt

Es ist also nun

.

Dann ist entweder

und es ist nichts weiter zu zeigen.

Oder es gilt nach dem Zwischenschritt und aufgrund der Tatsache, dass die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen -Teilmengen immer abgschlossen ist,

.

Doch nun kommt die Induktionsvoraussetzung zum Tragen, wonach für einen Index schon

sein muss.

Also ist alles gezeigt.

Folgerungen aus dem Analogon[Bearbeiten]

  • (F1) Unter den obigen Voraussetzungen gilt stets
  • (F2) Die zuvor genannte Folgerung (F1) hat auch dann noch Bestand, wenn - bei sonst gleichen Voraussetzungen - die Indexmenge als nicht notwendig endlich, die Familie jedoch als lokalendliche Familie vorausgesetzt wird. Für eine solche lokalendliche Familie abgeschlossener -Teilmengen gilt das Analogon zum baireschen Satz also in gleicher Weise.

Beweis der Folgerung (F1)[Bearbeiten]

Setzt man

und

und

,

so gilt offenbar

.

Wegen

folgt dann unmittelbar

.

Andererseits ist gemäß dem Analogon

.

Da zudem abgeschlossen in ist, muss offen in sein und so ergibt sich zusammengenommen

.

Folglich hat man

.

und damit auch

und aus Gründen der Idempotenz sogleich

.

Da Teilmenge von und das Bilden des Inneren eine monotone Operation ist , gilt die umgekehrte Inklusion ohnehin.

Folglich hat man

.

Dies war zu zeigen.

Beweis der Folgerung (F2)[Bearbeiten]

Der Beweis der Folgerung (F2) geht im Wesentlichen genauso wie der Beweis der Folgerung (F1) , wenn man noch beachtet, dass ganz allgemein folgendes gilt:

  • Ist in einem topologischen Raum zu einer Indexmenge eine lokalendliche Familie von -Teilmengen gegeben, so ist auch eine lokalendliche Familie und dabei gilt
.

Hintergrundliteratur[Bearbeiten]