Beweisarchiv: Topologie: Limes von kompakten Hausdorffräumen

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass der Limes eines Diagramms von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}$ ein Diagramm von kompakten Hausdorff-Räumen in der Kategorie topologischer Räume $\mathrm {Top}$. Dann ist der Limes $X:=\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$ mit der Limestopologie ein kompakter Hausdorffraum. Insbesondere ist die Kategorie kompakter Hausdorff-Räume $\mathrm {CHaus}$ vollständig und der Inklusionsfunktor $\mathrm {CHaus} \to \mathrm {Top}$ erhält Limites.

Beweis

Der Limes von Hausdorff-Räumen $\lim \nolimits _{i}X_{i}$ ist Hausdorffsch. Nach dem Satz von Tychonoff ist das Produkt $\prod \nolimits _{i}X_{i}$ kompakt. Der Limes $\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$ trägt per Definition die Teilraumtopologie von $\prod \nolimits _{i}X_{i}$ und ist wie folgt definiert:

$\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}\mid \forall i,j\in {\mathcal {I}}:\forall f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j):X(f)(a_{i})=a_{j}\right\}\subset \prod \nolimits _{i}X_{i}$

Wir werden den Limes als Durchschnitt abgeschlossener Mengen schreiben. Sei dazu für alle $i,j\in {\mathcal {I}}$ und alle $f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)$

$A_{i,j,f}:=\{(a_{i},a_{j})\in X_{i}\times X_{j}\mid X(f)(a_{i})=a_{j}\}$.

Die Mengen $A_{i,j,f}$ sind abgeschlossene Teilmengen von $X_{i}\times X_{j}$, da sie als Urbild

$A_{i,j,f}=(X(f)\times \mathrm {id} _{X_{j}})^{-1}(\Delta _{X_{j}})$

von der Diagonale $\Delta _{X_{j}}=\{(a,a)\mid a\in X_{j}\}$ von $X_{j}$ geschrieben werden können. Die Diagonale ist abgeschlossen, da $X_{j}$ Hausdorffsch ist.

Nun gilt

$\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}=\bigcap _{i,j\in \in {\mathcal {I}} \atop f\in \mathrm {Hom} _{\mathcal {I}}(i,j)}(\mathrm {pr} _{i}\times \mathrm {pr} _{j})^{-1}(A_{i,j,f}).$

Also ist $\lim \nolimits _{i\in {\mathcal {I}}}X_{i}$ ein abgeschlossener Teilraum von $\prod \nolimits _{i}X_{i}$. Ein abgeschlossener Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt (siehe Lemma 1).

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