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Beweisarchiv: Topologie: Limes von kompakten Hausdorffräumen

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Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Wir zeigen, dass der Limes eines Diagramms von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorffsch ist.

Sei ein Diagramm von kompakten Hausdorff-Räumen in der Kategorie topologischer Räume . Dann ist der Limes mit der Limestopologie ein kompakter Hausdorffraum. Insbesondere ist die Kategorie kompakter Hausdorff-Räume vollständig und der Inklusionsfunktor erhält Limites.

Beweis

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Der Limes von Hausdorff-Räumen ist Hausdorffsch. Nach dem Satz von Tychonoff ist das Produkt kompakt. Der Limes trägt per Definition die Teilraumtopologie von und ist wie folgt definiert:

Wir werden den Limes als Durchschnitt abgeschlossener Mengen schreiben. Sei dazu für alle und alle

.

Die Mengen sind abgeschlossene Teilmengen von , da sie als Urbild

von der Diagonale von geschrieben werden können. Die Diagonale ist abgeschlossen, da Hausdorffsch ist.

Nun gilt

Also ist ein abgeschlossener Teilraum von . Ein abgeschlossener Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt (siehe Lemma 1).