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Beweisarchiv: Topologie: Produkt von Hausdorffräumen

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Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Wir zeigen, dass das Produkt einer Familie von Hausdorffräumen Hausdorffsch ist.

Sei eine Familie von Hausdorff-Räumen. Dann ist der Produktraum mit der Produkttopologie Hausdorffsch.

Beweis

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Seien und verschiedene Punkte. Dann existiert ein , sodass ist. Da nach Voraussetzung Hausdorffsch ist, existieren disjunkte offene Umgebungen von und von . Die zugehörigen basisoffenen Mengen und sind disjunkt und Umgebungen von bzw. .