Beweisarchiv: Topologie: Produkt von Hausdorffräumen

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass das Produkt einer Familie von Hausdorffräumen Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Hausdorff-Räumen. Dann ist der Produktraum $X:=\prod \nolimits _{i\in I}X_{i}$ mit der Produkttopologie Hausdorffsch.

Beweis

Seien $x:=(x_{i})_{i\in I}\in X$ und $y:=(y_{i})_{i\in I}\in X$ verschiedene Punkte. Dann existiert ein $i\in I$, sodass $x_{i}\neq y_{i}$ ist. Da nach Voraussetzung $X_{i}$ Hausdorffsch ist, existieren disjunkte offene Umgebungen $U\subset X_{i}$ von $x_{i}$ und $V\subset X_{i}$ von $y_{i}$. Die zugehörigen basisoffenen Mengen $\mathrm {pr} _{i}^{-1}(U)$ und $\mathrm {pr} _{i}^{-1}(V)$ sind disjunkt und Umgebungen von $x$ bzw. $y$.

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