Beweisarchiv: Topologie: Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle

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In Topologie und reeller Analysis ist die Tatsache, dass abgeschlossene reelle Intervalle die Eigenschaften der Kompaktheit und des Zusammenhangs haben, von weitreichender Konsequenz. Im Folgenden wird durch einen einfachen Beweis gezeigt, dass hier Kompaktheit schon direkt Zusammenhang impliziert. Es gilt auch das Umgekehrte und mehr noch, dass beide Eigenschaften Ausdruck der Vollständigkeit des Körpers der reellen Zahlen sind.

Proposition: Kompaktheit impliziert Zusammenhang.[Bearbeiten]

Im Einzelnen gilt:

Aus der Tatsche, dass ein Intervalls in der von induzierten Unterraumtopologie ein kompakter Raum ist, folgt, dass auch ein zusammenhängender Raum ist.

Beweis[Bearbeiten]

Angenommen es gebe nichtleere , in offene Teilmengen   und     , welche das Intervall disjunkt zerlegen, also offene Teilmengen mit und .

Beide Teilmengen sind dann auch abgeschlossen in und damit kompakt. Folglich ist ebenfalls kompakt und nichtleer.

Nun ist die auf eingeschränkte Abstandsfunktion

stetig auf .

Nach dem weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum muss sie dann auch ihr absolutes Minimum annehmen, und zwar in zwei Elementen und , welche

erfüllen.

Dabei muss wegen der Disjunktheit der beiden Teilmengen   und     und damit gelten.

Nun ist der Mittelpunkt des nichtleeren Teilintervalls notwendig in einer der beiden Teilmengen   bzw.     enthalten.

Andererseits gilt aber auch   ,

was aber in jedem Falle die Minimalität von verletzt.

Folglich liegt ein Widerspruch vor, womit gezeigt ist, dass es eine disjunkte Zerlegung von in nichtleere offene Teilmengen   und     nicht geben kann.

Das aber bedeutet, dass in der von induzierten Unterraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist.

Hintergrundliteratur[Bearbeiten]

  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. MR0423277
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.