Beweisarchiv: Topologie: Limes von Hausdorffräumen

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Wir zeigen, dass ein Limes eines Diagramms von Hausdorffräumen in der Kategorie topologischer Räume $\mathrm {Top}$ Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_{i})_{i\in I}$ ein Diagramm von Hausdorff-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume. Dann ist der Limes in der Kategorie topologischer Räume $\lim _{i}X_{i}$ ein Hausdorff-Raum. Insbesondere ist die Kategorie $\mathrm {Haus}$ der Hausdorff-Räume mit stetigen Abbildungen vollständig und der Inklusionsfunktor $\mathrm {Haus} \to \mathrm {Top}$ erhält Limites.

Beweis

Per Konstruktion ist $\lim _{i}X_{i}$ ein Teilraum von $\prod \nolimits _{i\in I}X_{i}$. Ein Teilraum eines Hausdorff-Raumes ist Hausdorff. Es genügt also zu zeigen, dass das Produkt Hausdorffsch ist. Das wurde in Beweisarchiv:_Topologie:_Produkt_von_Hausdorffräumen gezeigt.

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