Beweisarchiv: Topologie: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff

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Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Wir zeigen, dass eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ein Homöomorphismus ist. Diese Aussage ist ein grundlegendes technisches Hilfsmittel in der mengentheoretischen Topologie, um festzustellen, dass zwei gegebene topologische Räume homöomorph sind.

Lemma 1[Bearbeiten]

Sei ein kompakter topologischer Raum und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum.

Beweis[Bearbeiten]

Da mit der Teilraumtopologie ausgestattet ist, können wir wieder eine offene Überdeckung von durch offene Teilmengen von heranziehen. Die Menge ist selbst offen und überdeckt gemeinsam mit ganz . Es folgt, dass eine endliche Teilmenge der Indexmenge existiert, sodass zusammen mit eine Überdeckung von ist. Da aber disjunkt zu ist, ist eine Überdeckung von , was zu zeigen war.

Lemma 2[Bearbeiten]

Sei ein kompakter topologischer Raum und eine stetige Abbildung in einen weiteren topologischen Raum . Dann ist das Bild kompakt.

Beweis[Bearbeiten]

Zu zeigen ist, dass jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wir können dazu eine Überdeckung durch offene Teilmengen von heranziehen. Es folgt, dass eine Überdeckung von durch offene Teilmengen ist. Da kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge der Indexmenge, sodass noch immer eine Überdeckung von ist. Für jeden Punkt existiert also ein , sodass ist. Das heißt aber gerade, dass eine endliche Überdeckung von ist, was zu zeigen war.

Lemma 3[Bearbeiten]

Sei ein Hausdorff-Raum und sei eine kompakte Teilmenge. Dann ist abgeschlossen in .

Beweis[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass offen ist. Sei . Da Hausdorff ist existieren für jeden Punkt offene Umgebungen von und von , sodass . Die Familie ist eine offene Überdeckung von und besitzt wegen Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung . Der Durchschnitt ist eine offene Umgebung von und disjunkt zu . Es folgt, dass jeder Punkt in eine offene Umgebung besitzt, die vollständig in enthalten ist. Also ist offen.


Satz[Bearbeiten]

Seien ein kompakter topologischer Raum und sei ein Hausdorff-Raum. Sei eine stetige bijektive Abbildung. Dann ist die Umkehrabbildung von stetig, insbesondere ist ein Homöomorphismus.

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge. Dann ist eine abgeschlossene Teilmenge. Da kompakt ist, folgt nach Lemma 1, dass kompakt ist. Nach Lemma 2 folgt, dass kompakt ist. Nach Lemma 3 ist abgeschlossen. Da bijektiv ist, ist . Es folgt, dass offen ist und damit letztendlich, dass stetig ist.