Beweisarchiv: Topologie: Satz von Tychonoff

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Beweisarchiv: Topologie

Satz von Tychonoff, Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum, Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle, Beweisarchiv: Topologie: Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.


Der Satz von Tychonoff[Bearbeiten]

Der Satz von Tychonoff ist insofern ungewöhnlich, da man normalerweise mit Kompaktheit eine gewisse Endlichkeit (da ja Kompaktheit auch über: Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. definiert werden kann.) verbindet.

Behauptung[Bearbeiten]

Sei eine Familie von kompakten Räumen. Dann ist das kartesische Produkt dieser , versehen mit der Produkttopologie, wieder kompakt.

Beweis mit Filtern[Bearbeiten]

Wir verwenden für den Beweis folgende Charakterisierung von Kompaktheit: Ein topologischer Raum X ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter auf X konvergiert. Sei ein Ultrafilter auf . Dann sind auch die Bildfilter unter den Projektionen wieder Ultrafilter. Da die alle kompakt sind, konvergieren die zu einem . Dann konvergiert aber auch , nämlich gegen . Also ist auch kompakt.

Beweis mit dem Satz von Alexander[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Alexander reicht es Kompaktheit für eine Subbasis nachzuweisen, somit reicht es, eine offene Überdeckung aus Mengen der Subbasis zu betrachten. Sei eine Subbasis der Topologie, wobei die wieder die Projektion auf die i-te Koordinate sind. Sei eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitze. Dann gibt es ein derart, dass von jeder endlichen Teilüberdeckung nicht überdeckt wird, dh (da S aus den Urbildern der offenen Mengen besteht). Der Punkt dessen i-te Koordinate ist, gehört damit nicht zu , und somit ist keine Überdeckung im Widerspruch zur Annahme, also ist kompakt.