Der Satz von Tychonoff

Der Satz von Tychonoff ist insofern ungewöhnlich, da man normalerweise mit Kompaktheit eine gewisse Endlichkeit (da ja Kompaktheit auch über: Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. definiert werden kann.) verbindet.

Behauptung

Sei $(M_{i},{\mathcal {M}}_{i})_{i\in I}$ eine Familie von kompakten Räumen. Dann ist das kartesische Produkt dieser $M=\prod _{i\in I}M_{i}$ , versehen mit der Produkttopologie, wieder kompakt.

Beweis mit Filtern

Wir verwenden für den Beweis folgende Charakterisierung von Kompaktheit: Ein topologischer Raum X ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter auf X konvergiert. Sei ${\mathcal {F}}$ ein Ultrafilter auf $M$ . Dann sind auch die Bildfilter ${\mathcal {F}}_{i}=(pr_{i})_{*}{\mathcal {F}}$ unter den Projektionen $pr_{i}$ wieder Ultrafilter. Da die $M_{i}$ alle kompakt sind, konvergieren die ${\mathcal {F}}_{i}$ zu einem $p_{i},i\in I$ . Dann konvergiert aber auch ${\mathcal {F}}$ , nämlich gegen $p=(p_{i})_{i\in I}$ . Also ist auch $M$ kompakt.

Beweis mit dem Satz von Alexander

Nach dem Satz von Alexander reicht es Kompaktheit für eine Subbasis nachzuweisen, somit reicht es, eine offene Überdeckung aus Mengen der Subbasis zu betrachten. Sei $S=\{pr_{i}^{-1}(O_{i}):O_{i}\in M_{i}\}$ eine Subbasis der Topologie, wobei die $pr_{i}$ wieder die Projektion auf die i-te Koordinate sind. Sei ${\mathcal {U}}\subset S$ eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitze. Dann gibt es ein $i\in I$ derart, dass $M_{i}$ von jeder endlichen Teilüberdeckung nicht überdeckt wird, dh $x_{i}\in M_{i}\setminus O\forall O\in {\mathcal {M}}_{i}$ (da S aus den Urbildern der offenen Mengen besteht). Der Punkt $x\in M$ dessen i-te Koordinate $x_{i}$ ist, gehört damit nicht zu ${\mathcal {U}}$ , und somit ist ${\mathcal {U}}$ keine Überdeckung im Widerspruch zur Annahme, also ist $M$ kompakt.