Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Voraussetzung

Sei $F$ ein freier $R$ -Modul.

Behauptung

$F$ ist projektiv.

Beweis

Für beliebige $R$ -Moduln $M,N$ seien Homomorphismen $h:F\rightarrow N$ und $f:M\twoheadrightarrow N$ gegeben, wobei f surjektiv sei.

Ziel ist es, ein $g:F\rightarrow M$ zu konstruieren, so dass $f\circ g=h$ ist.

$F$ ist frei und hat deshalb eine Basis, welche wir als $B$ bezeichnen. ( $B$ kann endlich oder unendlich sein.) Für jedes $b\in B$ ist die Menge $f^{-1}(h(b))=\{x\in M:f(x)=h(b)\}$ nichtleer, weil $f$ surjektiv ist. Die Familie

S={\big (}f^{-1}(h(b)){\big )}_{B}

ist eine Familie von nichtleeren Mengen, indiziert durch $B$ .

Auf Grund des Auswahlaxioms gibt es also eine Auswahlfunktion $k$ von $B$ zu $S$ , welche für jedes $b\in B$ ein $k(b)\in f^{-1}(h(b))$ „auswählt“ . Weil B eine Basis ist, hat jedes Element $x\in F$ eine eindeutige Darstellung als eine endliche Linearkombination von $B$ -Elementen:

x=\sum _{b\in B}r_{b}b

,

wobei die $r_{b}$ Elemente aus $R$ sind und nur endlich viele von null verschieden sind. Man setze jetzt

g(x):=\sum _{b\in B}r_{b}k(b)

.

Es verbleibt nur zu zeigen, dass $g$ ein Modulhomomorphismus ist und dass wirklich $f\circ g=h$ gilt. Doch ist

(f\circ g)(b)=f{\big (}g(b){\big )}=f{\big (}k(b){\big )}=h(b)

für jedes $b\in B$ , weil $k(b)$ der Menge $f^{-1}{\big (}h(b){\big )}$ angehört. Die Behauptungen folgen nun, entweder mittels direkter Verifikation oder aus den universellen Eigenschaften der Basis eines Moduls.

Literatur

Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.