Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Voraussetzung

F ist ein freier R-Modul mit F\cong R^r.

[Bearbeiten] Behauptung

F ist projektiv.

[Bearbeiten] Beweis

Für beliebige R-Moduln M,N seien die Homomorphismen h: F \rightarrow N und f: M \twoheadrightarrow N gegeben (wobei f surjektiv sei).


Ziel ist es, ein g: F \rightarrow M zu konstruieren, so dass f\circ g =h ist:


Für e_i \in F definiere g(\underbrace{0, \ldots, 0,1,0,\ldots }_{=e_i}):=m_i, wobei m_i \in f^{-1} (h(\underbrace{0, \ldots, 0,1,0,\ldots }_{=e_i})) \neq \emptyset, da f surjektiv ist.


Für beliebiges x=\sum r_i \cdot e_i \in R^r mit r_i \in R definiere nun g(x):= \sum r_i \cdot g(e_i) = \sum r_i \cdot m_i.


Somit ist f\circ g = h, womit F projektiv ist.

[Bearbeiten] Literatur

Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.

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