Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2
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- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
- Körper: Endlicher Integritätsbereich · Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Elementordnung 2 impliziert Kommutativität
[Bearbeiten] Voraussetzung
sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement
. Für jedes Element
gelte
.
[Bearbeiten] Behauptung
ist eine abelsche Gruppe.
[Bearbeiten] Beweis
- Wegen
hat jedes Element
ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist
als Gruppe erkannt. - Seien
beliebig. Wir müssen
nachweisen, und dazu rechnen wir:
.
Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.
[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise
abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid
- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
- Körper: Endlicher Integritätsbereich · Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e

