Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Inhaltsverzeichnis

Elementordnung 2 impliziert Kommutativität [Bearbeiten]

Voraussetzung [Bearbeiten]

G\ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement 1\ . Für jedes Element  x \in G gelte  x^2 = 1\ .

Behauptung [Bearbeiten]

G\ ist eine abelsche Gruppe.

Beweis [Bearbeiten]

  1. Wegen  xx = 1\ hat jedes Element x \in G ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist G\ als Gruppe erkannt.
  2. Seien x, y \in G beliebig. Wir müssen xy = yx\ nachweisen, und dazu rechnen wir:
    xy = x1y = x(xy)^{2}y = xxyxyy = 1yx1 = yx\ .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise [Bearbeiten]

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid


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