Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

[Bearbeiten] Voraussetzung

G\ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement 1\ . Für jedes Element x \in G gelte x^2 = 1\ .

[Bearbeiten] Behauptung

G\ ist eine abelsche Gruppe.

[Bearbeiten] Beweis

  1. Wegen xx = 1\ hat jedes Element x \in G ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist G\ als Gruppe erkannt.
  2. Seien x, y \in G beliebig. Wir müssen xy = yx\ nachweisen, und dazu rechnen wir:
    xy = x1y = x(xy)^{2}y = xxyxyy = 1yx1 = yx\ .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

[Bearbeiten] Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid

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