Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Inhaltsverzeichnis

$G\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement $1\$ . Für jedes Element $x \in G$ gelte $x^2 = 1\$ .

$G\$ ist eine abelsche Gruppe.

Wegen $xx = 1\$ hat jedes Element $x \in G$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist $G\$ als Gruppe erkannt.
Seien $x, y \in G$ beliebig. Wir müssen $xy = yx\$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
$xy = x1y = x(xy)^{2}y = xxyxyy = 1yx1 = yx\$ .
Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.