Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Boolesche Ringe

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Charakteristik 2 und Kommutativität

Voraussetzung

$R\$ sei ein Ring und für jedes Element $x\in R$ gelte $x^{2}=x\$.

(Hat $R\$ zusätzlich auch ein Einselement, dann nennt man dies einen booleschen Ring.)

Behauptung

1. Für alle $x\in R$ gilt: $x+x=0\$.
2. $R\$ ist kommutativ.

Beweis

1. Sei $x\in R$ beliebig. Wir rechnen:

$x+x=(x+x)(x+x)=xx+xx+xx+xx=x+x+x+x\$.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+x+x+x=x+x\$.

Durch zweimaliges Subtrahieren von $x\$ auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

2. Seien $x,y\in R$ beliebig. Wir müssen $xy=yx\$ nachweisen, und dazu rechnen wir:

$x+y=(x+y)(x+y)=xx+xy+yx+yy=x+xy+yx+y\$.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

$x+xy+yx+y=x+y\$.

Subtrahieren von $x\$ und $y\$ auf beiden Seiten ergibt

$xy+yx=0\$, also $xy=-yx\$.

Da aber nach Teil 1 jedes Element mit seinem additiven Inversen übereinstimmt, bedeutet dies $xy=yx\$.

Wikipedia-Verweise

boolescher Ring - Charakteristik - Ringtheorie