Beweisarchiv: Moore-Penrose Pseudoinverse

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse ist eine Matrix $(A^{+})$ zu einer beliebigen Matrix $A$ , die folgende Eigenschaften erfüllt:

Sei $(A^{+})$ die Moore-Penrose-Pseudoinverse zu einer beliebigen Matrix $A$ .

Es gilt: $(A^{+})^{+}=^{?}A$ (Die Moore-Penrose-Pseudoinverse der Moore-Penrose-Pseudoinversen ist wieder die Originalmatrix)

a) Sei $A:=BC$
b) ? $A^{+}=C^{T}(CC^{T})^{-1}(B^{T}B)^{-1}B^{T}$
c) sei $A^{+}=SP$
Jetzt kann man S und P in die obige Formel einsetzen und erhält:
d) $(A^{+})+=P^{T}(PP^{T})^{-1}(S^{T}S)^{-1}S^{T}$
aus c) und b) ergibt sich
- e) $S=C^{T}(CC^{T})^{-1}$
- f) $P=(B^{T}B)^{-1}B^{T}$
e) und f) in d) einsetzen ergibt:
$(A^{+})^{+}=((B^{T}B)^{-1}B^{T})^{T}(((B^{T}B)^{-1}B^{T})((B^{T}B)^{-1}B^{T})^{T})^{-1}((C^{T}(CC^{T})^{-1})^{T}(C^{T}(CC^{T})^{-1}))^{-1}(C^{T}(CC^{T})^{-1})^{T}$
Bemerkung: $CC^{T}$ $CC^{T}$ ist eine symmetrische Matrix.
- D.h. $((CC^{T})^{-1})^{T}=((CC^{T})^{T})^{-1}=(CC^{T})^{-1}$ . Daraus ergibt sich*
$(A^{+})^{+}=B(B^{T}B)^{-1}((B^{T}B)^{-1}B^{T}B(B^{T}B)^{-1})^{-1}((CC^{T})^{-1}CC^{T}(CC^{T})^{-1})^{-1}(CC^{T})^{-1}C$ $(A^{+})^{+}=B(B^{T}B)^{-1}((B^{T}B)^{-1}B^{T}B(B^{T}B)^{-1})^{-1}((CC^{T})^{-1}CC^{T}(CC^{T})^{-1})^{-1}(CC^{T})^{-1}C$
- $=B(B^{T}B)^{-1}((B^{T}B)^{-1})^{-1}((CC^{T})^{-1})^{-1}(CC^{T})^{-1}C$
- $=B(B^{T}B)^{-1}(B^{T}B)((CC^{T})^{)}(CC^{T})^{-1}C$
- $=BC$
- $=A$