Lineare Unabhängigkeit von Vektoren – Mathe für Nicht-Freaks

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Motivation[Bearbeiten]

Grundmotivation[Bearbeiten]

Aus der Schule kennen wir Vektoren als Pfeile in der Ebene oder im Raum. Sowohl die Ebene als auch der Raum sind Vektorräume. Aber worin unterscheiden sie sich?

Eine spontane Antwort könnte lauten: „Die Ebene ist zweidimensional und der Raum dreidimensional.“ Das bringt uns aber gleich zur nächsten Frage: Was ist die Dimension eines Vektorraums? Wie können wir sie definieren? In der Definition des Vektorraums kommt dieser Begriff nämlich nicht vor...

Intuition der Dimension[Bearbeiten]

Eine Kugel ist ein dreidimensionales Objekt

Der Begriff „Dimension“ beschreibt, in wie viele unabhängige Richtungen geometrische Objekte in einem Raum ausgedehnt sein können. Die Objekte können sich auch in genau so vielen unabhängigen Richtungen im Raum bewegen („Freiheitsgrade der Bewegung“).

Die Ebene hat zwei Dimensionen – die Breite und die Länge. Sie ist flach, kein Objekt der Ebene kann in die Höhe reichen. Eine Kugel kann als dreidimensionales Objekt also nicht Teil der Ebene sein. Im Gegensatz dazu besitzt der Raum mit Länge, Breite und Höhe drei Dimensionen. Eine Kugel kann so Teil eines Raums sein.

Wir fassen zusammen: Die Dimension entspricht intuitiv der Anzahl der unabhängigen Richtungen, in die sich ein geometrisches Objekt ausdehnen bzw. bewegen kann. Für die Definition der Dimension müssen wir also folgende Fragen beantworten:

  • Was ist eine Richtung in einem Vektorraum?
  • Wann sind zwei Richtungen unabhängig?
  • Wie kann die Anzahl der unabhängigen Richtungen bestimmt werden?

Herleitung der Definition[Bearbeiten]

Was ist eine Richtung in einem Vektorraum?[Bearbeiten]

Nehmen wir als Beispiel den Vektorraum der Ebene. Eine Richtung können wir mit einem Pfeil darstellen:

Pfeil, der eine Richtung in der Ebene markiert

Nun ist ein Pfeil nichts anderes als ein Vektor. Mit Hilfe von Vektoren können also Richtungen definiert werden. Dabei dürfen wir nicht den Nullvektor verwenden. Als Pfeil der Länge Null hat dieser nämlich keine Richtung. Dies können wir auf beliebige Vektorräume verallgemeinern:

Jeder Vektor ungleich dem Nullvektor definiert eine Richtung in einem Vektorraum.

Von der Geraden zur Ebene[Bearbeiten]

Betrachte zunächst eine Gerade durch den Nullpunkt als eindimensionales Objekt. Eine solche Gerade wird durch einen Vektor ungleich dem Nullvektor eindeutig charakterisiert:

Eine Gerade, die durch den Vektor v beschrieben wird

Die durch den Richtungsvektor beschriebene Gerade kann durch die Menge beschrieben werden. Die Punkte der Geraden sind damit alle Streckungen des Richtungsvektor mit einem Streckungsfaktor . Wie können wir diese Gerade zu einer Ebene ergänzen? Wir müssen eine neue unabhängige Richtung hinzunehmen. Sprich: Dem Richtungsvektor der Gerade müssen wir einen neuen unabhängigen Richtungsvektor hinzufügen. Beide Vektoren spannen insgesamt eine zweidimensionale Ebene auf.

Was bedeutet in diesem Fall „unabhängig“? Zunächst stellen wir fest, dass der neue Vektor nicht der Nullvektor sein darf. Dieser gibt nämlich keine Richtung an. Weiterhin darf der neue Vektor auch kein Vielfaches des ursprünglichen Vektors sein. Dies gilt auch für Spiegelungen des Geradenvektors, also Vielfache mit einem negativen Faktor. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, heißen die zwei Vektoren unabhängig und spannen eine Ebene auf:

Wir fassen zusammen: Der neue Vektor ist genau dann unabhängig vom Richtungsvektor , wenn dieser nicht auf der Geraden liegt. Es muss also für alle reellen Zahlen sein.

Von der Ebene zum Raum[Bearbeiten]

Wir haben gesehen, dass wir eine Ebene durch zwei unabhängige Vektoren charakterisieren können. Nun möchten wir von der Ebene zum Raum übergehen. Auch hier müssen wir eine unabhängige Richtung hinzunehmen. Was ist aber eine zur Ebene unabhängige Richtung?

Der neue Vektor darf nicht der Nullvektor sein, weil dieser keine Richtung angibt. Der neue Vektor darf auch nicht in der Ebene liegen, da so keine neue Richtung beschrieben wird. Genau dann wenn der neue Vektor nicht in der Ebene liegt, dann zeigt er in eine neue unabhängige Richtung:

Wie können wir diese Erkenntnis mathematisch formulieren? Seien und die beiden Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Diese Ebene ist dann gleich der Menge . Die Ebene ist damit die Menge aller Summen für reelle Zahlen . Damit der neue Vektor nicht in der Ebene liegt, muss für alle sein. Damit ist unabhängig von und genau dann, wenn ist.

Verständnisfrage: Wir hatten zuerst gefordert, dass der neue Vektor nicht der Nullvektor sein darf. Warum reicht es aus, dass für alle ist? Warum impliziert dies, dass ist?

Für ist . Da auch für der neue Vektor ungleich sein soll, folgt .

Verständnisfrage: Reicht es aus, dass kein Vielfaches von beziehungsweise ist?

Nein, nehme zum Beispiel . Wenn unabhängig von ist, dann ist weder eine Streckung von noch von . Jedoch liegt dieser Vektor in der von und aufgespannten Ebene und bildet damit keine unabhängige Richtung von und .

Ein erstes Kriterium für lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Fassen wir zusammen: Zur Beschreibung einer Geraden benötigten wir einen Vektor ungleich dem Nullvektor. Im Übergang von der Geraden zur Ebene mussten wir einen zu unabhängigen Vektor hinzufügen. Unabhängigkeit von zur Richtung bedeutet hier, dass nicht in der von beschriebenen Geraden liegt. Es musste also für alle sein.

Im zweiten Schritt haben wir der Ebene eine neue Richtung hinzugefügt, die von den beiden Vektoren und unabhängig ist. Hier manifestiert sich Unabhängigkeit darin, dass nicht in der von und aufgespannten Ebene liegt. Es muss also für alle reellen Zahlen und sein. Dies können wir für eine beliebige Anzahl an Vektoren verallgemeinern (jedoch kann man sich dies nicht mehr so gut vorstellen):

Der Vektor ist unabhängig von den Vektoren , bis , wenn für alle ist.

In der obigen Beschreibung kommt die Summe vor. Eine solche Summe wird Linearkombination der Vektoren bis genannt. Damit können wir diese Beschreibung ändern zu:

Der Vektor ist unabhängig von den Vektoren , bis , wenn nicht als Linearkombination der Vektoren bis dargestellt werden kann.

Hier haben wir geklärt, wann ein Vektor unabhängig von einer Menge anderer Vektoren ist. Reicht dies aus, um die Unabhängigkeit von Vektoren zu beschreiben?! Nimm folgende drei Vektoren , und :

Drei Vektoren, die in einer Ebene liegen

Weil kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektoren ist, zeigen die drei Vektoren paarweise gesehen in unabhängige Richtungen. Beispielsweise ist unabhängig zu und ist unabhängig zu . Insgesamt gesehen sind die drei Vektoren nicht unabhängig voneinander, weil sie alle in einer Ebene liegen. Es ist und damit ist abhängig zu und . Dementsprechend müssen wir für die lineare Unabhängigkeit zwischen , und fordern:

  • ist unabhängig zu und : Es ist für alle .
  • ist unabhängig zu und : Es ist für alle .
  • ist unabhängig zu und : Es ist für alle .

Es darf also keiner der drei Vektoren als Linearkombination der anderen zwei Vektoren dargestellt werden können. Ansonsten ist nämlich mindestens einer der Vektoren zu den anderen Vektoren abhängig. Dies können wir für eine beliebige Anzahl von Vektoren verallgemeinern:

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Definition (Erstes Kriterium für lineare Unabhängigkeit)

Vektoren bis sind linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Damit muss gelten:

  • Es ist für alle .
  • Es ist für alle .
  • ...
  • Es ist für alle .

Es sind also bis linear unabhängig, wenn für alle und ist.

Vom ersten Kriterium zur formalen Definition[Bearbeiten]

Vektoren sind genau dann unabhängig voneinander, wenn sich kein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Daraus werden wir ein weiteres Kriterium für lineare Unabhängigkeit herleiten, welches weniger rechenaufwendig ist. Nehmen wir Vektoren , bis aus einem Vektorraum , die nicht unabhängig sind. Es gibt also einen Vektor, der durch die anderen dargestellt werden kann. Sei dieser Vektor. Es gibt damit Streckungsfaktoren (Skalare) bis , so dass gilt:

Diese Gleichung können wir umstellen, indem wir auf beiden Seiten rechnen ( ist der Nullvektor des Vektorraums ):

Dies ist eine sogenannte nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors ist eine Linearkombination mit dem Ergebnis , bei dem mindestens ein Koeffizient ungleich ist. Für ist nämlich immer . Dies ist die sogenannte triviale Linearkombination des Nullvektors, bei der alle Koeffizienten gleich sind. Diese triviale Linearkombination kannst du stets bilden, egal welche Vektoren bis du wählst. Wenn bis abhängig voneinander sind, gibt es neben der trivialen Linearkombintion noch mindestens eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors (wie wir es oben gesehen haben). Also:

Wenn bis abhängig voneinander sind, dann kann der Nullvektor durch bis durch mindestens eine nichttriviale Linearkombination dargestellt werden.

Anders ausgedrückt:

Nun können wir das Prinzip der Kontraposition anwenden. Dieses besagt, dass eine Aussage genau dann gilt, wenn . Also gilt auch:

Damit haben wir ein Kriterium für Unabhängigkeit gefunden. Wenn der Nullvektor nur trivial durch eine Linearkombination von bis dargestellt werden kann, dann sind diese Vektoren unabhängig. Dieses Kriterium kann aber auch als Definition der linearen Unabhängigkeit benutzt werden. Hierzu müssen wir die Rückrichtung der obigen Implikation zeigen. Wenn es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, dann sind die betrachteten Vektoren abhängig voneinander.

Seien also bis Vektoren, für die es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt. Es gibt also Koeffizienten (Skalare) bis , derart dass und mindestens einer der Koeffizienten bis ungleich ist. Sei dieser Koeffizient. Dann ist

Wegen können wir beide Seiten mit multiplizieren. Wir erhalten damit

Auf beiden Seiten können wir nun addieren:

Damit kann als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden und somit sind die Vektoren bis abhängig voneinander. Dies beweist insgesamt:

Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn mit ihnen der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination dargestellt werden kann. Wenn es mindestens eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, sind die betrachteten Vektoren linear abhängig voneinander.

Dies ist die formale Definition der linearen Unabhängigkeit.

Allgemeine Definition der linearen Unabhängigkeit[Bearbeiten]

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Definition (Lineare Unabhängigkeit)

Seien ein Körper, ein -Vektorraum, und . Die Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Das heißt:

Umgekehrt heißt die Menge von Vektoren linear abhängig, wenn es eine Linearkombination gibt, bei der mindestens ein Koeffizient ist. Die Vektoren sind also linear abhängig, wenn es mindestens eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors mit diesen Vektoren gibt.

Folgerungen aus der Definition[Bearbeiten]

Übersicht[Bearbeiten]

Folgende Eigenschaften können mit wenigen Beweisschritten aus der Definition der linearen Unabhängigkeit hergeleitet werden. Dabei sei im Folgenden ein Körper und ein -Vektorraum:

  1. Sei . Dann ist linear unabhängig genau dann, wenn ist. Dies folgt direkt aus obiger Definition.
  2. Im Vektorraum der -Tupel über dem Körper sind die Vektoren , bis linear unabhängig. Diesen sehr einfachen Beweis überlassen wir dir.
  3. Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. Insbesondere ist damit der Nullvektor linear abhängig.
  4. Seien . und sind genau dann linear abhängig, wenn es ein mit der Eigenschaft oder gibt.
  5. Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.
  6. Ist eine Menge von Vektoren linear abhängig, so kann einer von ihnen als Linearkombination der anderen dargestellt werden.

Wir beweisen nun die Eigenschaften 3, 4, 5 und 6.

Menge mit Nullvektor ist linear abhängig[Bearbeiten]

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Satz

Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. Insbesondere ist damit der Nullvektor selbst linear abhängig.

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Beweis

Um dies zu zeigen, sei und für ein sei . Bilden wir nun eine Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus , so kann der Koeffizient von ein beliebiges sein, da ist. Damit kann die Linearkombination des Nullvektor einen Vektor mit dem Koeffizienten enthalten. Es handelt sich also um eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Deshalb ist die Menge linear abhängig.

Bei zwei Vektoren sind genau die Streckungen linear abhängig[Bearbeiten]

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Satz

Seien . und sind genau dann linear abhängig, wenn es ein mit der Eigenschaft oder gibt.

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Beweis

Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, dann sind nach obiger Bemerkung und linear abhängig. Seien also und . Es sei so gewählt, dass ist. (Dies ist o.B.d.A. möglich, denn falls das nicht geht, vertauschen wir die Bezeichnungen der Vektoren. Wir verwenden also anstelle von und anstelle von . Laut Voraussetzung muss ein existieren, sodass die Gleichung mit den neuen Bezeichnungen gilt.) Nun gilt . Damit haben wir den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination dargestellt. Das bedeutet, dass und linear abhängig sind.

Seien umgekehrt und linear abhängig. Dann gibt es nach Definition eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Es existieren also so, dass und nicht beide Null sind und die Gleichung gilt. Wir betrachten den Fall, dass ist. Dann folgt aus der Gleichung und damit

Falls jedoch ist, dann muss sein. Analog zur Rechnung von eben kannst du nachrechnen, dass dann ist mit .

Teilmengen linear unabhängiger Vektoren sind linear unabhängig[Bearbeiten]

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Satz

Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

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Beweis

Sei eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Wir werden einen Widerspruchbeweis führen. Dazu machen wir die folgende Annahme: Es gibt eine Teilmenge , die linear abhängig ist. Zur Vereinfachung der Bezeichnungen seien und . Wir schreiben und . Weil linear abhängig ist, gibt es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus . Es exisitieren also nicht alle Null mit der Eigenschaft, dass

ist. Diese Linearkombination können wir erweitern zu

Da nicht alle Null waren, ist das eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus . Das steht im Widerspruch dazu, dass linear unabhängig ist.

Von linear abhängigen Vektoren kann einer als Linearkombination der anderen dargestellt werden[Bearbeiten]

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Satz

Sei ein -Vektorraum und seien linear abhängige Vektoren, aber seien linear unabhängig, dann gibt es derart, dass ist mit nicht alle Null.

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Beweis

Da linear abhängig sind, gibt es . Daher gilt . Wüssten wir, dass , dann könnten wir die durch teilen und wir hätten unser gewünschtes Ergebnis. Also bleibt zu zeigen, dass ist.

Dafür nehmen wir an, es sei . Dann wäre . Wegen der linearen Unabhängigkeit der folgt daraus auch für alle . Das kann aber nicht sein, da nicht alle Null sind.

Wir können damit durch dividieren und die gesuchte Linearkombination ist:

Setze nun , dann ist und genau das war zu zeigen.

Übung und Beispiele[Bearbeiten]

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Aufgabe (Lineare Unabhängigkeit)

Zeige, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

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Beweis (Lineare Unabhängigkeit)

Wir müssen zeigen, dass durch die gegebenen Vektoren der Nullvektor nur trivial dargestellt werden kann. Dies bedeutet, dass die Gleichung

mit den reellen Zahlen nur die Lösung besitzt. Hieraus ergibt sich:

Nun sind zwei Spaltenvektoren genau dann gleich, wenn jede Komponente gleich ist. Also müssen folgende Gleichungen gelten:

Es ist also . Wenn wir dies in einsetzen, dann erhalten wir . Damit haben wir gezeigt, dass aus der Gleichung folgt, dass alle Koeffizienten , und gleich sind. Somit sind die drei Vektoren linear unabhängig.

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Aufgabe (Lineare Abhängigkeit)

Zeige dass die vier Vektoren linear abhängig sind.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abhängigkeit)

Die vier Vektoren sind linear abhängig, wenn einer sich als Linearkombination der anderen drei darstellen lässt, also stelle den Vektor als Linearkombination der anderen drei Vektoren dar.

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Beweis (Lineare Abhängigkeit)

. Damit sind die Vektoren linear abhängig.

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Beispiel (Linear abhängige Vektoren[1])

Sei ein -Vektorraum und seien drei linear unabhängige Vektoren. Die drei Vektoren

sind linear abhängig, denn

das bedeutet sind linear abhängig mit dem jeweiligen Skalar