Aussagen negieren – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

In diesem Kapitel werde ich dir erklären, wie du mathematische Aussagen und Aussageformen negieren kannst. Hierzu werden wir den Weg über die formale Schreibweise gehen, weil Ausdrücke dieser Schreibweise leichter zu negieren sind. Das liegt daran, dass Aussagen in der formalen Schreibweise durch einfache Umformungsregeln negiert werden können. Dies ist deutlich einfacher als Ausdrücke intuitiv zu negieren.

Du kannst ja einmal versuchen, folgende Beispiele zu negieren. Du wirst sehen, dass die intuitive Negation nicht einfach ist (an dieser Stelle wird nicht erwartet, dass du bereits die folgenden Ausdrücke negieren kannst). Die ersten beiden Aussageformen stammen im Übrigen aus der Analysis 1 und werden dir damit im weiteren Studium durchaus begegnen. Versuche also mal folgende Ausdrücke zu negieren:

  • Zu jedem gibt es ein , sodass für alle die Ungleichung erfüllt ist.
  • Zu jedem und gibt es ein , sodass für alle mit .
  • Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Die Negation dieser Ausdrücke findest du später im Abschnitt „Beispiele“.

Allgemeine Vorgehensweise[Bearbeiten]

Um nun eine in natürlicher Sprache gegebene Aussage zu negieren, kannst du folgendermaßen vorgehen:

Sollte die Aussage in formaler Schreibweise vorliegen, dann entfallen der erste und der letzte Schritt. Diese beiden Schritte, also die Übersetzung von natürlicher in formaler Schreibweise und umgekehrt, erkläre ich dir im Kapitel „Aussagen formalisieren“.

Umformungsregeln zum Negieren[Bearbeiten]

Wie ich dir bereits gesagt habe, gibt es Regeln zur Negation von Aussagen in formaler Schreibweise. Diese sind:

Form der Negation umgeformte Aussage Bedeutung
Nicht oder nicht .
Nicht und nicht .
Obwohl , gilt nicht .
Entweder oder (aber nicht beides gleichzeitig).
Genau dann , wenn nicht .
Es gibt ein mit nicht .
Es gibt ein mit nicht .
Für alle ist nicht .
Für alle ist nicht .
Für jedes gilt: hat nicht die Eigenschaft oder es gibt ein von verschiedenes mit der Eigenschaft .
Es gibt kein oder mindestens zwei mit .

Wieso sind die Umformungsregeln so definiert? Das liegt daran, dass die Aussagen der linken Spalte äquivalent zu den Aussagen der rechten Spalte sind. Dies bedeutet, dass die Aussagen der linken Spalte genau dann wahr sind, wenn die entsprechenden Aussagen der rechten Spalte wahr sind. Wenn du dir die umgeformten Aussagen anschaust, dann siehst du, dass die Negation in den Teilaussagen weitergereicht wird. So können die Ausdrücke schrittweise durch die Umformungsregeln negiert werden, bis am Ende die komplette Negation vorliegt.

Bei der Negation der Äquivalenz kannst du dir im Übrigen aussuchen, ob du diese Aussage zu oder zu umformst. Die erste Umformung ist einfacher, verwendet aber die Kontravalenz . Diese wird in der Mathematik nicht häufig verwendet und möglicherweise wurde sie nicht in deiner Vorlesung besprochen.

Zur Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor[Bearbeiten]

Bei der Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor haben wir ausgenutzt, dass wir auch folgendermaßen schreiben können:

Diese Aussage kann nun mit den anderen Umformungsregeln negiert werden, sodass man dann am Ende erhält:

Man kann auch einen anderen Weg gehen: Man fängt mit der Aussage

„Es gibt genau ein mit .“

an und negiert diese intuitiv zu

„Es gibt kein oder mindestens zwei mit .“

Diese Aussage in der Prädikatenlogik formalisiert lautet

Dies ist dann die zweite Möglichkeit, um einen Ausdruck mit einen eindeutigen Existenzquantor zu negieren.

Beispiele[Bearbeiten]

Ausführliches Beispiel[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst folgende Aussage

„Zu jedem gibt es ein , das kleiner als ist.“

Diese lässt sich mit den Methoden aus dem Kapitel „Aussagen formalisieren“ umschreiben. Die formalisierte Aussage lautet

Diese lässt sich nun schrittweise negieren, indem die obigen Umformungsregeln verwendet werden:

Das Ergebnis ist damit die Aussage . Die Negation der obigen wahren Aussage führt damit zu der falschen Aussage:

„Es gibt ein , so dass alle größer oder gleich sind.“

Beispiele aus der Einleitung[Bearbeiten]

Betrachten wir nun das erste Beispiel aus der Einleitung:

Zu jedem gibt es ein , sodass für alle die Ungleichung erfüllt ist.

Zum Negieren der Aussage gehen wir schrittweise wie im ersten Beispiel vor:

Übungsaufgabe[Bearbeiten]

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe

Negiere folgende Aussagen:

  • Für alle gibt es ein , sodass .
  • Für alle und gibt es ein , sodass für alle mit .
  • Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.
Applications-office.svg

Lösung

Erste Aussage:

Zweite Aussage:

Dritte Aussage:

Vierte Aussage: