Allgemeine Intervallschachtelung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Allgemeine Intervallschachtelung

In diesem Kapitel werde ich die Art der Intervallschachtelung beschreiben, welche du in den meisten Lehrbüchern findest. Hier wird die Breite der Intervalle kleiner als jede positive reelle Zahl und nicht nur kleiner als jede positive rationale Zahl. Für diese Art der Intervallschachtelung werde ich den Begriff „allgemeine Intervallschachtelung“ verwenden. Die Definition lautet:

Definition (Allgemeine Intervallschachtelung)

Eine allgemeine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_{1}=[a_{1},b_{1}]$, $I_{2}=[a_{2},b_{2}]$, $I_{3}=[a_{3},b_{3}]$... mit den Eigenschaften

• Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:
  $\forall n\in \mathbb {N} :I_{n+1}\subseteq I_{n}$
• Für jede reelle Zahl $\epsilon >0$ gibt es ein Intervall $I_{N}$ mit der Breite kleiner $\epsilon$:
  $\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}:\exists N\in \mathbb {N} :b_{N}-a_{N}<\epsilon$

Wenn du noch nicht den Abschnitt mit der Definition zur Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit gelesen haben solltest, dann empfehle ich dir, dies nun nachzuholen. Du wirst dann auch obige Definition besser verstehen.

Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip

Definition

Auch zur obigen Art der Intervallschachtelung gibt es ein Intervallschachtelungsprinzip. Dieses lautet:

Satz (Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip)

Zu jeder allgemeinen Intervallschachtelung $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$... existiert eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt und damit von allen Intervallen approximiert wird.

Wie auch beim archimedischen Axiom ist dieses Intervallschachtelungsprinzip für uns ein zu beweisender Satz, während es in anderen Lehrbücher als Axiom eingeführt wird. Wir werden obigen Satz später aus dem Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit beweisen.

Eindeutigkeit der Approximation

Du wirst vielleicht schon festgestellt haben, dass im Gegensatz zum Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit im obigen Satz nur die Existenz, aber nicht die Eindeutigkeit einer reellen Zahl gefordert wird, die von allen Intervallen approximiert wird. Der Grund ist, dass bereits aus der Definition der allgemeinen Intervallschachtelung folgt, dass es maximal eine reelle Zahl geben kann, die in allen Intervallen liegt.

Satz (Eindeutigkeit der Approximation)

Es gibt maximal eine reelle Zahl, die in allen Intervallen einer allgemeinen Intervallschachtelung liegt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eindeutigkeit der Approximation)

Ein Satz zur Eindeutigkeit eines Objektes mit bestimmten Eigenschaften wird oft dadurch bewiesen, dass die Annahme von zwei verschiedenen solchen Objekten zum Widerspruch geführt wird. Nehmen wir also an, es gäbe zwei Objekte $x$ und $y$, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. einer allgemeinen Intervallschachtelung liegen. Nun müssen wir daraus einen Widerspruch ableiten.

Frage: Wie kann ein Widerspruch hergeleitet werden?

Nehmen wir den Abstand $|x-y|$ zwischen $x$ und $y$. Da $x$ ungleich $y$ ist, ist $|x-y|>0$. Nun wird aber die Breite der Intervalle $I_{n}$ kleiner als jede positive reelle Zahl, also auch kleiner als $|x-y|$. Ein Intervall mit der Breite kleiner $|x-y|$ kann aber nicht beide Zahlen $x$ und $y$ enthalten, womit wir den gewünschten Widerspruch haben.

Beweis (Eindeutigkeit der Approximation)

Sei $I_{1}$, $I_{2}$ usw. eine allgemeine Intervallschachtelung. Seien außerdem $x$ und $y$ reelle Zahlen, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegen.

Da $x$ und $y$ verschieden sind, ist $|x-y|>0$ und damit gibt es ein Intervall $I_{N}$ mit einer Breite kleiner als $|x-y|$. Damit können aber nicht gleichzeitig $x$ und $y$ in $I_{N}$ liegen. Widerspruch ↯.

Mit dieser Erkenntnis können wir obiges Intervallschachtelungsprinzip verbessern:

Satz (Verbesserte Variante des allgemeinen Intervallschachtelungsprinzips)

Zu jeder allgemeinen Intervallschachtelung $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$... existiert genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt und damit von allen Intervallen approximiert wird.

Unterschiede zwischen den Intervallschachtelungen

Mit der allgemeinen Intervallschachtelung und der Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit haben wir zwei verschiedene Arten der Intervallschachtelung kennen gelernt. Im obigen Abschnitt haben wir gesehen, dass die allgemeine Intervallschachtelung bereits aus ihrer Definition heraus impliziert, dass jede durch sie approximierte reelle Zahl eindeutig ist. Dies ist bei Intervallschachtelungen mit rationaler Genauigkeit nicht der Fall. Bei diesen Intervallschachtelungen wissen wir nämlich nur, dass die Breite der Intervalle kleiner als jede positive rationale Zahl wird, aber nicht, ob sie kleiner als jede positive reelle Zahl wird. Wenn es nun zwei Zahlen mit unendlich kleinem Abstand zueinander gäbe, dann gäbe es auch eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit, die beide Zahlen gleichermaßen approximieren.

Deswegen mussten wir per Axiom festlegen, dass auch Intervallschachtelungen mit rationaler Genauigkeit maximal eine Zahl approximieren. Der Vorteil hier ist aber, dass wir dadurch das archimedische Axiom geschenkt bekommen und es nicht mehr extra als Axiom formulieren müssen. Aus dem allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip ist demgegenüber das archimedische Axiom nicht ableitbar. Denn es ist nicht ohne Weiteres klar, ob die Folge der Intervalle $[0,1]$, $\left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]$, $\left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]$ usw. wirklich eine allgemeine Intervallschachtelung ist oder nicht. Hierzu benötigen wir nämlich das archimedische Axiom als extra formuliertes Axiom.

Beweis des allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip

Wir müssen nun das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip beweisen:

Beweis (Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip)

Jede allgemeine Intervallschachtelung ist auch eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit, denn wenn die Breite der Intervalle kleiner als jede positive reelle Zahl wird, wird sie insbesondere auch kleiner als jede positive rationale Zahl. Aus dem Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit folgt damit, dass auch jede allgemeine Intervallschachtelung mindestens eine reelle Zahl approximiert. Damit ist das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip bewiesen.

Alternative Formulierung der Vollständigkeit

Viele andere Lehrbücher gehen einen anderen Weg, die Vollständigkeit der reellen Zahlen zu beschreiben. Einige dieser Lehrbücher nutzen dazu das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip in Kombination mit dem archimedischen Axiom. Ich habe bereits gezeigt, dass aus dem Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit das archimedische Axiom und die allgemeine Intervallschachtelung folgen. Jetzt muss nur noch bewiesen werden, dass das archimedische Axiom zusammen mit der allgemeinen Intervallschachtelung auch das Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit impliziert. Damit zeigen wir nämlich, dass beide Beschreibungsmöglichkeiten für die Vollständigkeit der reellen Zahlen äquivalent sind. Es ist also egal, welche Beschreibungsmöglichkeit man wählt. Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit zu charakterisieren, werden wir dir in späteren Kapiteln vorstellen. Jetzt aber zeigen wir:

Satz (Alternative Formulierung der Vollständigkeit)

Aus dem archimedischen Axiom und dem allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip folgt das Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit.

Wie kommt man auf den Beweis? (Alternative Formulierung der Vollständigkeit)

Um das Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit zu beweisen, müssen wir zeigen, dass jede Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit genau eine reelle Zahl approximiert, dass es also genau eine reelle Zahl gibt, die in allen Intervallen der Intervallschachtelung liegt. Einen solchen Existenz- und Eindeutigkeitssatz beweisen wir am besten, indem wir die Beweise für die Existenz und die Eindeutigkeit getrennt behandeln.

Sei im folgenden $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ usw. eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit.

Beweisschritt: Es gibt eine reelle Zahl $x$, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegt.

Es liegt nahe, das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip zu benutzen, um die Existenz von $x$ zu beweisen. Hierzu müsste aber die gegebene Intervallschachtelung $I_{1}$, $I_{2}$ usw. eine allgemeine Intervallschachtelung sein, weil dann das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip direkt die Existenz der gewünschten Zahl $x$ vorhersagt. Die Breite der Intervalle müsste also kleiner als jede gegebene positive reelle Zahl werden. Jedoch wissen wir nur, dass die Breite der Intervalle kleiner als jede vorgegebene positive rationale Zahl wird.

Frage: Wie kann man zeigen, dass die Breite der Intervalle kleiner wird als jede reelle Zahl?

Den Beweis können wir mit dem archimedischen Axiom führen. Denn dieses garantiert uns, dass es für jede reelle Zahl $\epsilon >0$ eine rationale Zahl ${\tfrac {1}{N}}$ gibt mit ${\tfrac {1}{N}}\leq \epsilon$.

Wenn also ein beliebiges $\epsilon >0$ vorgegeben ist, so finden wir ein $N\in \mathbb {N}$ mit ${\tfrac {1}{N}}\leq \epsilon$ und weiter ein Intervall $I_{K}$ mit Breite kleiner ${\tfrac {1}{N}}$. Wegen ${\tfrac {1}{N}}\leq \epsilon$ hat dieses Intervall eine Breite kleiner $\epsilon$. So haben wir wie gewünscht bewiesen, dass es für jedes $\epsilon >0$ ein Intervall mit einer Breite kleiner $\epsilon$ gibt.

Beweisschritt: Es kann keine zwei reelle Zahlen $x$ und $y$ geben, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegen.

Hier können wir analog zum Beweis vorgehen, wo wir die Eindeutigkeit der Approximation einer allgemeinen Intervallschachtelung bewiesen haben. Damals haben wir gezeigt, dass es ein Intervall mit Breite kleiner $|x-y|$ gibt. Dann können nämlich nicht $x$ und $y$ gleichzeitig in diesem Intervall liegen und wir haben einen Widerspruch. Hierzu können wir ausnutzen, dass die Breite der Intervalle kleiner als jede positive rationale Zahl wird. Jedoch wissen wir nur, dass $|x-y|>0$ ist.

Frage: Wie kann man zeigen, dass es ein Intervall mit einer Breite kleiner $|x-y|$ gibt?

Auch dies können wir mit dem archimedischen Axiom beweisen. Aus diesem wissen wir, dass es eine natürliche Zahl $N$ mit ${\tfrac {1}{N}}\leq |x-y|$ gibt. Da ${\tfrac {1}{N}}$ rational ist, gibt es damit auch ein Intervall $I_{K}$ mit einer Breite kleiner ${\tfrac {1}{N}}$, also mit einer Breite kleiner $|x-y|$.

Beweis (Alternative Formulierung der Vollständigkeit)

Sei $I_{1}$, $I_{2}$ usw. eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit.

Beweisschritt: $I_{1}$, $I_{2}$ usw. ist eine allgemeine Intervallschachtelung.

Wir müssen nur noch zeigen, dass die Breite der Intervalle kleiner als jede positive reelle Zahl wird. Sei also $\epsilon >0$ vorgegeben. Nach dem archimedischen Axiom gibt es eine natürliche Zahl $N$ mit ${\tfrac {1}{N}}\leq \epsilon$. Da ${\tfrac {1}{N}}$ eine rationale Zahl ist, gibt es ein Intervall $I_{K}$ mit einer Breite kleiner ${\tfrac {1}{N}}$. Wegen ${\tfrac {1}{N}}\leq \epsilon$ ist auch die Breite von $I_{K}$ kleiner als $\epsilon$. $I_{1}$, $I_{2}$ usw. ist damit eine allgemeine Intervallschachtelung.

Beweisschritt: Es gibt eine reelle Zahl $x$, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegt.

Da, wie gerade bewiesen, $I_{1}$, $I_{2}$ usw. eine allgemeine Intervallschachtelung ist, folgt aus dem allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip, dass es eine reelle Zahl $x$ gibt, die in allen Intervallen der Intervallschachtelung liegt.

Beweisschritt: Es kann keine zwei reelle Zahlen $x$ und $y$ geben, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegen.

Seien $x$ und $y$ zwei verschiedene Zahlen, die in allen Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$ usw. liegen. Wegen $x\neq y$ ist $|x-y|>0$ und damit gibt es nach dem archimedischen Axiom ein $N\in \mathbb {N}$ mit ${\tfrac {1}{N}}\leq |x-y|$. Weil ${\tfrac {1}{N}}$ eine rationale Zahl ist, gibt es ein Intervall $I_{K}$ mit einer Breite kleiner ${\tfrac {1}{N}}$. Nun ist ${\tfrac {1}{N}}\leq |x-y|$ und damit ist die Breite von $I_{K}$ auch kleiner als der Abstand $|x-y|$ zwischen $x$ und $y$. Dann können aber $x$ und $y$ nicht gleichzeitig in $I_{K}$ liegen. Widerspruch ↯.