Beispiele und Eigenschaften von Folgen – Mathe für Nicht-Freaks

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Beispiele[Bearbeiten]

Konstante Folge[Bearbeiten]

Beispiel einer konstanten Folge: für alle

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

Mit lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge für alle .

Arithmetische Folgen[Bearbeiten]

Beispiel für eine arithmetische Folge: für alle

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

Ein weiteres Beispiel ist die Folge mit für alle :

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel einer arithmetischen Folge?

Das erste Folgenglied ist beliebig. Das nächste Folgenglied hat eine konstante Differenz zu . Nennen wir diese Differenz . Damit muss und somit sein. Analog ist wegen das Folgenglied und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel einer arithmetischen Folge?

Die rekursive Formel für die arithmetische Formel lautet für alle , wobei vorgegeben ist. Das heißt und . Analog ist . Damit erhält man die explizite Formel für alle :

Geometrische Folge[Bearbeiten]

Beispiel einer geometrischen Folge: für alle

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge mit dem konstanten Verhältnis :

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel der geometrischen Folge?

Das erste Folgenglied ist beliebig. Das nächste Folgenglied steht im konstanten Verhältnis zu . Nennen wir dieses Verhältnis . Damit muss , also sein. Analog ist wegen das Folgenglied und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel der geometrischen Folge?

Die rekursive Formel für die geometrische Folge lautet . Das heißt und . Analog ist . Damit lautet die explizite Formel einer geometrischen Folge:

Harmonische Folge[Bearbeiten]

Die ersten zehn Folgenglieder der harmonischen Folge

Die Folge nennt man harmonische Folge. In Vorlesungen zur Analysis wird sie gerne als Beispiel herangezogen, um mit ihr gewisse Konzepte zu zeigen. Die ersten Folgenglieder dieser Folge lauten:

Demgegenüber wird die Folge bzw. alternierende harmonische Folge genannt. Es handelt sich dabei um die Folge

beziehungsweise

Für ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

Alternierende Folgen[Bearbeiten]

Beispiel einer alternierenden Folge: für alle

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgengliedern. Der Begriff „alternierend“ bedeutet hier „regelmäßiger Vorzeichenwechsel“. So wechselt bei der Folge der Wert immer zwischen und , so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge mit .

Allgemein lässt sich jede alternierende Folge in eine der folgenden Formen bringen:

Dabei ist eine Folge nichtnegativer Zahlen.

Verständnisfrage: Welche alternierenden Folgen lassen sich in welche der 2 obigen Formen bringen?

Dies kommt darauf an, welches Vorzeichen das erste Folgenglied hat und bei welchem Index die Folge startet. Ist das erste Folgenglied positiv und der erste Index 0 (also ist positiv), dann lautet die Form . Wenn negativ ist, dann haben wir .

Wenn der erste Index 1 ist, ist es genau umgekehrt.

Sollte das erste Folgenglied sein (also weder negativ noch positiv), dann muss man die nachfolgenden Glieder betrachten.

Die -Folge[Bearbeiten]

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To-Do:

Skizze der ersten Folgenglieder

Ein beliebtes Beispiel ist die -Folge. In der Praxis entsteht sie durch den Zinseszins-Effekt bei der Verzinsung eines Guthabens. Nimm an, du legst bei deiner Bank einen Euro zu einem Zinssatz von 100% für ein Jahr an. (In der Praxis ist dieser Zinssatz natürlich unrealistisch! ;-)). Nach einem Jahr hast du dann ein Guthaben von Euro. Um deinen Zinsgewinn zu steigen, überlegst du dir folgenden Trick: Du hebst den Euro nach einem halben Jahr schon ab, und gekommst daher zunächst Euro zurück. Diese legst du nun sofort wieder an, und bekommst somit nach einem Jahr

Euro. Du hast somit deinen Zinsgewinn um Euro gesteigert. Dies lässt sich jedoch noch weiter verbessern! Hebst du dein Geld bereits jeweils nach einem Vierteljahr ab, und legst es sofort wieder an, so bekommst du nach einem Jahr sogar Euro.

Verständnisfrage: Wieso bekommst du bei einer Anlage von einem Euro zu einem Zinssatz von 100% bei vierteljähriger Verzinsung und sofortigem Wiederanlegen nach einem Jahr Euro zurück?

Hebst du dein Geld nach einem Vierteljahr ab, so erhältst du zunächst Euro. Legst du dies nun für ein weiteres Vierteljahr an, so hast du nach einem halben Jahr Euro (gerundet). Wiederholst du diesen Vorgang zwei weitere Male, so erhältst du nach einem Jahr tatsächlich

Euro.

Wiederholst du diesen diesen Vorgang nun allgemein -Mal, so bekommst du nach einem Jahr

Euro zurück. Dies ist genau das Bildungsgesetz für die -Folge . Die Frage ist nun, ob diese Folge beliebig ansteigt, d.h. ob wir durch unseren Trick unser Guthaben nach einem Jahr beliebig. Die Antwort ist nein (:-(), die Folge nähert sich der Eulerschen Zahl an. Dein maximales Guthaben nach einem Jahr beträgt somit Euro. Den Beweis, warum die Folge sich der Eulerschen Zahl annähert, findest du im Kapitel Monotoniekriterium.

Folge der Fibonacci-Zahlen[Bearbeiten]

Die ersten Folgenglieder der Fibonacci-Folge
Das Bildungsgesetz hinter der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

  1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
  2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
  3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
  4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.
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To-Do:

Beispiel ohne Frage oder mit leichterer spezieller Frage erklären. Ist zu schwer/vorgeschritten!

Frage: Wie lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen?

Sei die Anzahl geschlechtsreifer Paare von Kaninchen im -ten Monat. Wir wollen nun die Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen im nächsten Monat, also die Zahl bestimmen. Sei hierzu die für uns noch unbekannte Anzahl der Kaninchenpaare, die im -ten Monat neu geschlechtsreif werden. Wie groß genau ist, werden wir im Folgenden noch bestimmen.

Nach Regel 4 ist keines der geschlechtsreifen Kaninchen im -ten Monat gestorben. Es ist also , denn ist die Summe der bereits geschlechtsreifen Kaninchen , von denen keines stirbt, und der Zahl der neu geschlechtsreif werdenden Kaninchen.

Nun müssen wir noch die unbekannte Zahl bestimmen: Wegen Regel 2 ist gleich der Zahl der Kaninchenpaare, die im -ten Monat erzeugt wurden. Nach Regel 3 ist diese Anzahl gleich der Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen im -ten Monat, also gleich . Wir sehen also, dass gleich und können dies in unserer obigen Gleichung einsetzen:

Diese Regel schreiben wir um, indem wir anstelle von den neuen Index einsetzen (dadurch wird der Inhalt der Formel nicht geändert):

welche unseren Rekursionsschritt ergibt. Nun brauchen wir nur noch den Rekursionsanfang. Nach Regel 1 ist (im ersten Monat gibt es genau ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen). Da im Rekursionsschritt zur Berechnung von seine zwei Vorgänger und benötigt werden, brauchen wir auch den Wert im Rekursionsanfang. Ansonsten könnten wir nämlich nicht ausrechnen.

Im zweiten Monat gibt es neben dem Paar geschlechtsreifer Kaninchen aus dem ersten Monat ein Paar Kaninchen, welches vom ersten Paar im ersten Monat geworfen wurde. Dieses zweite Paar Kaninchen ist aber erst ab dem dritten Monat geschlechtsreif (Regel 2). Auch wird vom ersten Paar Kaninchen im zweiten Monat ein weiteres Paar Kaninchen geboren, welche aber erst im vierten Monat geschlechtsreif werden. Somit gibt es im zweiten Monat nur ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen und es ist . Damit ist, muss gewählt werden.

Insgesamt lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Folge:

Mischfolgen (Verallgemeinerung der alternierenden Folgen)[Bearbeiten]

Aus zwei Folgen und können wir eine neue Folge bilden, bei der sich die Folgenglieder aus und abwechseln. Wir betrachten also die Folge

Ein Folgenglied mit ungeradem Index, sagen wir für , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein. Und ein Folgenglied mit geradem Index, sagen wir für , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein.

Um nun eine allgemeine Formel für mit zu erhalten, unterscheiden wir, ob ungerade oder gerade ist. Ist ungerade, wählen wir , damit gilt, und erhalten . Entsprechend gilt für gerades die Formel . Insgesamt gilt daher

ist dann die Mischfolge aus den Folgen und .

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Beispiel (Mischfolge)

Die alternierende Folge gegeben durch () können wir als Mischfolge der konstanten Folgen und auffassen, denn für gilt

Wenn du eine Aufgabe lösen willst, in der eine Folge durch eine Fallunterscheidung, ob ungerade oder gerade ist, definiert ist, ist diese Folge eine Mischfolge zweier Folgen mit einem einfacheren Bildungsgesetz. Prinzipiell ist aber jede beliebige Folge eine Mischfolge, und zwar aus den beiden Folgen und . Zum Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen die Mischfolge aus der Folge der ungeraden Zahlen und der Folge der geraden Zahlen.

Verständnisfrage: Welche Folgen bleiben unverändert, wenn man sie mit sich selbst mischt?

Genau die konstanten Folgen haben diese Eigenschaft.

Mischt man für die konstanten Folgen und , so erhält man offenbar die konstante Folge .

Ist umgekehrt eine Folge die Mischfolge aus und , so gilt

Auf ein beliebiges Folgenglied können wir nun wiederholt diese Vorschrift anwenden. Da für stets bzw. gilt, erhalten wir immer kleinere Indizes, bis wir schließlich bei angelangen. Deshalb muss die Folge den konstanten Wert annehmen.

Eigenschaften und wichtige Begriffe[Bearbeiten]

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To-Do:

Abschnitt in eigenes Kapitel packen

Beschränkte Folge[Bearbeiten]

Ein Beispiel einer beschränkten Folge () mit einigen eingezeichneten Schranken.
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To-Do:
  • Bilder machen, durch die man mehr Intuition hinter dem Begriff einer beschränkten Folge bekommt
  • gut wäre einmal mit mit und einmal mit als Beispiele für nach oben beschränkte Folgen, auch wieder Bilder mit oberen Schranken.
  • weiteres Beispiel für nach oben beschränkte Folgen: mit Bild und anhand dieses Beispiels den Unterschied von von oben beschränkt, von unten beschränkt und beschränkt erläutern.

Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten. Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt („diese Zahl beschränkt die Folge von oben“). Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

Kommentiert bedeutet die Definition:

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt. Es gibt also eine reelle Zahl, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

Verständnisfrage: Was bedeutet es mathematisch, wenn man sagt, eine Folge ist nicht nach oben (bzw. nach unten) beschränkt?

Hier helfen dir die obigen Definitionen, die du schrittweise negierst (siehe das Kapitel „Aussagen negieren“). Du erhältst:

Dies heißt übersetzt: Für alle reellen Zahlen gibt es mindestens ein Folgenglied, das größer als diese Zahl ist. Analog ist:

Und damit: Für alle reellen Zahlen gibt es mindestens ein Folgenglied, das kleiner als diese Zahl ist.

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

obere Schranke
Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer als jedes Folgenglied einer Folge ist. ist eine obere Schranke von , wenn für alle ist.
nach oben beschränkte Folge
Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn sie irgendeine obere Schranke besitzt.
untere Schranke
Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner als jedes Folgenglied einer Folge ist. ist eine untere Schranke von , wenn für alle ist.
nach unten beschränkte Folge
Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn sie irgendeine untere Schranke besitzt.
beschränkte Folge
Eine Folge ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
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Hinweis

Eine obere Schranke muss nicht zwangsläufig die kleinstmögliche, obere Schranke sein und eine untere Schranke nicht unbedingt die größtmögliche! Wenn zum Beispiel eine Folge nach oben durch beschränkt ist, ist sie auch durch , , und nach oben beschränkt. Um die Beschränktheit einer Folge nach oben zu zeigen, reicht es, irgendeine beliebige obere Schranke anzugeben (auch wenn sie noch so groß sein sollte).

Es gibt aber auch eine alternative Definition für Beschränktheit:

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Satz (alternative Definition der Beschränktheit)

Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl gibt, so dass für alle Folgenglieder die Ungleichung erfüllt ist.

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Beweis (alternative Definition der Beschränktheit)

Zu zeigen ist folgende Äquivalenz:

oder in der kommentierten Version:

Wir müssen also eine Äquivalenz beweisen, was bedeutet, dass wir beide Richtungen des obigen Äquivalenzpfeils beweisen müssen. Nehmen wir zunächst die erste Richtung: Sei die erste Definition erfüllt; es gibt also reelle Zahlen , so dass für alle Folgenglieder gilt. Dann ist für alle Folgenglieder . Damit ist die Existenz von für die alternative Definition bewiesen ( kann jede positive, reelle Zahl größer gleich sein).

Und wie sieht es mit der anderen Richtung aus? Sei nun ein gegeben, mit für alle Folgenglieder. Dann gilt für alle Folgenglieder die Ungleichung . Damit stellt eine untere Schranke und eine obere Schranke für die Folge dar, so dass die Folge auch unter der ersten Definition beschränkt ist.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Typen von Folgen ist unter welchen Voraussetzungen beschränkt, nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt?

  1. konstante Folge
  2. arithmetische Folge
  3. geometrische Folge
  4. harmonische Folge
  5. alternierende harmonische Folge
  6. Fibonacci-Folge

Lösung:

  1. konstante Folge: Beschränkt.
  2. arithmetische Folge: Für ist die Folge nach unten durch beschränkt und nach oben unbeschränkt. Für ist die Folge nach oben durch und nach unten unbeschränkt. Für ist die Folge konstant und damit beschränkt.
  3. geometrische Folge: Für ist die Folge konstant, daher beschränkt. Für und ist die Folge nach unten (durch ) beschränkt und nach oben unbeschränkt. Für und ist es umgekehrt: Die Folge ist nach oben durch beschränkt und nach unten unbeschränkt. Für ist sie weder nach oben noch nach unten beschränkt. Für und ist sie beschränkt (nach oben durch und nach unten durch ). Für und ist sie ebenfalls beschränkt, diesmal aber nach unten durch und nach oben durch . Auch für ist sie beschränkt: Nach unten durch und nach oben durch für und umgekehrt nach unten durch und nach oben durch für .
  4. harmonische Folge: Die harmonische Folge ist beschränkt (nach oben durch und nach unten durch ).
  5. alternierende harmonische Folge: Beschränkt: Nach oben durch und nach unten durch für bzw. nach oben durch und nach unten durch für
  6. Fibonacci-Folge: Nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

Monotone Folgen[Bearbeiten]

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Wenn eine Folge mit jedem Folgenglied wächst (also jedes nachfolgende Folgenglied größer als ist), nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine immer kleiner werdende Folge streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen zwei Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge. Merke dir: „streng monoton“ bedeutet so viel, wie „immer größer“ oder „immer kleiner“ werdend. Demgegenüber bedeutet „monoton“, ohne das „streng“, so viel wie „immer größer werdend oder konstant bleibend“ bzw. „immer kleiner werdend oder konstant bleibend“. Wir erhalten folgende Definition:

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Definition (monotone Folgen)

Für eine reelle Folge definieren wir:

Verständnisfrage: Welche der folgenden Typen von Folgen ist unter welchen Vorrausetzungen monoton fallend und monoton steigend? Welche besitzen ein strenges Monotonieverhalten?

  1. konstante Folge
  2. arithmetische Folge
  3. geometrische Folge
  4. harmonische Folge
  5. alternierende harmonische Folge
  6. Fibonacci-Folge

Lösung:

  1. konstante Folge: Gleichzeitig monoton fallend und steigend, aber kein strenges Monotonieverhalten.
  2. arithmetische Folge: Für ist die Folge streng monoton steigend. Für ist die Folge streng monoton fallend. Für ist die Folge konstant.
  3. geometrische Folge: Für und streng monoton steigend und für streng monoton fallend. Für und streng monoton fallend und für streng monoton steigend. Für ist die Folge weder monoton steigend noch fallend. Für ist die Folge konstant.
  4. harmonische Folge: Streng monoton fallend.
  5. alternierende harmonische Folge: Weder monoton steigend noch fallend.
  6. Fibonacci-Folge: Monoton wachsend.

Anmerkung: Konvergente Folgen[Bearbeiten]

Folgen werden auch dahin gehend unterschieden, ob sie einen sogenannten Grenzwert besitzen oder nicht. Man nennt sie dann konvergent beziehungsweise divergent. Diese Eigenschaft wird jedoch erst später im Abschnitt zum Grenzwert behandelt. Diese Eigenschaft wurde hier nur zur Vollständigkeit genannt.