Beispiele und Eigenschaften von Folgen – „Mathe für Nicht-Freaks“

Beispiele

Konstante Folge

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} = (2, 2, 2, 2, 2, \dots)

Mit $c \in ℝ$ lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge $a_{n} := c$ für alle $n \in ℕ$ .

Arithmetische Folgen

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von $2$ zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

(a_{n}) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots)

Ein weiteres Beispiel ist die Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ mit $a_{n} := n$ für alle $n \in ℕ$ :

(a_{n}) = (1, 2, 3, 4, 5, \dots)

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel einer arithmetischen Folge?

Das erste Folgenglied $a_{1}$ ist beliebig. Das nächste Folgenglied hat eine konstante Differenz zu $a_{1}$ . Nennen wir diese Differenz $d$ . Damit muss $a_{2} - a_{1} = d$ und somit $a_{2} = a_{1} + d$ sein. Analog ist wegen $a_{3} - a_{2} = d$ das Folgenglied $a_{3} = a_{2} + d$ und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

\begin{matrix} a_{1} & \in ℝ beliebig \\ a_{n + 1} & := a_{n} + d für alle n \in ℕ \end{matrix}

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel einer arithmetischen Folge?

Die rekursive Formel für die arithmetische Formel lautet $a_{n + 1} = a_{n} + d$ für alle $n \in ℕ$ , wobei $a_{1} \in ℝ$ vorgegeben ist. Das heißt $a_{2} = a_{1} + d$ und $a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 \cdot d$ . Analog ist $a_{4} = a_{1} + 3 \cdot d$ . Damit erhält man die explizite Formel für alle $n \in ℕ$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Geometrische Folge

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge $a_{n} = 2^{n}$ mit dem konstanten Verhältnis $2$ :

(a_{n}) = (2, 4, 8, 16, 32, 64, \dots)

Frage: Wie lautet die allgemeine rekursive Formel der geometrischen Folge?

Das erste Folgenglied $a_{1} \neq 0$ ist beliebig. Das nächste Folgenglied steht im konstanten Verhältnis zu $a_{1}$ . Nennen wir dieses Verhältnis $q \neq 0$ . Damit muss $\frac{a_{2}}{a_{1}} = q$ , also $a_{2} = a_{1} \cdot q$ sein. Analog ist wegen $\frac{a_{3}}{a_{2}} = q$ das Folgenglied $a_{3} = a_{2} \cdot q$ und so weiter. Damit haben wir die rekursive Definition:

\begin{matrix} a_{1} & \in ℝ ∖ {0} beliebig \\ a_{n + 1} & := a_{n} \cdot q \end{matrix}

Frage: Wie lautet die allgemeine explizite Formel der geometrischen Folge?

Die rekursive Formel für die geometrische Folge lautet $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ . Das heißt $a_{2} = a_{1} \cdot q$ und $a_{3} = a_{2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{2}$ . Analog ist $a_{4} = a_{1} \cdot q^{3}$ . Damit lautet die explizite Formel einer geometrischen Folge:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Harmonische Folge

Die Folge mit dem allgemeinen Glied $a_{n} = \frac{1}{n}$ nennt man harmonische Folge. Sie heißt deswegen „harmonische Folge“, weil man mit ihr in der Musik Intervalle definieren kann. Neben der Oktave beschreibt sie reine Quinten und Terzen. Außerdem wird sie gern als Beispielfolge für diverse mathematische Konzepte herangezogen. Die ersten Folgenglieder dieser Folge lauten:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots)

Demgegenüber wird die Folge $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{1}{n}$ bzw. $b_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{n}$ alternierende harmonische Folge genannt. Es handelt sich dabei um die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ} = (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \dots)

beziehungsweise

{(b_{n})}_{n \in ℕ} = (1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots)

Für $k \in ℕ$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ} = {(\frac{1}{n^{k}})}_{n \in ℕ} = (1, \frac{1}{2^{k}}, \frac{1}{3^{k}}, \frac{1}{4^{k}}, \frac{1}{5^{k}}, \dots)

Alternierende Folgen

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgengliedern. Der Begriff „alternierend“ bedeutet hier „regelmäßiger Vorzeichenwechsel“. So wechselt bei der Folge $a_{n} = (- 1)^{n}$ der Wert immer zwischen $1$ und $- 1$ , so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge $a_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot n$ mit ${(a_{n})}_{n \in ℕ} = (1, - 2, 3, - 4, 5, - 6, \dots)$ .

Allgemein lässt sich jede alternierende Folge in eine der folgenden Formen bringen:

$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot b_{n}$
$a_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot b_{n}$

Dabei ist $b_{n} = | a_{n} |$ eine Folge nichtnegativer Zahlen.

Verständnisfrage: Welche alternierenden Folgen lassen sich in welche der 2 obigen Formen bringen?

Dies kommt darauf an, welches Vorzeichen das erste Folgenglied hat und bei welchem Index die Folge startet. Ist das erste Folgenglied positiv und der erste Index 0 (also $a_{0}$ ist positiv), dann lautet die Form $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot b_{n}$ . Wenn $a_{0}$ negativ ist, dann haben wir $a_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot b_{n}$ .

Wenn der erste Index 1 ist, ist es genau umgekehrt.

Sollte das erste Folgenglied $0$ sein (also weder negativ noch positiv), dann muss man die nachfolgenden Glieder betrachten.

Die e-Folge

To-Do:

Skizze der ersten Folgenglieder

Ein beliebtes Beispiel ist die $e$ -Folge. In der Praxis entsteht sie durch den Zinseszins-Effekt bei der Verzinsung eines Guthabens. Nimm an, du legst bei deiner Bank einen Euro zu einem Zinssatz von $100 %$ für ein Jahr an. (In der Praxis ist dieser Zinssatz natürlich unrealistisch! ;-)). Nach einem Jahr hast du dann ein Guthaben von $1 + 1 = 2$ Euro. Um deinen Zinsgewinn zu steigen, überlegst du dir folgenden Trick: Du hebst den Euro nach einem halben Jahr schon ab und bekommst daher zunächst $1 + \frac{1}{2} = 1, 50$ Euro zurück. Diese legst du nun sofort wieder an und bekommst somit nach einem Jahr

(1 + \frac{1}{2}) \cdot (1 + \frac{1}{2}) = {(1 + \frac{1}{2})}^{2} = 1, 5^{2} = 2, 25

Euro. Du hast somit deinen Zinsgewinn um $0, 25$ Euro gesteigert. Dies lässt sich noch weiter verbessern! Hebst du dein Geld bereits jeweils nach einem Vierteljahr ab und legst es sofort wieder an, so bekommst du nach einem Jahr sogar $2, 44$ Euro.

Verständnisfrage: Wieso bekommst du bei einer Anlage von einem Euro zu einem Zinssatz von $100 %$ bei vierteljähriger Verzinsung und sofortigem Wiederanlegen nach einem Jahr $2, 44$ Euro zurück?

Hebst du dein Geld nach einem Vierteljahr ab, so erhältst du zunächst $1 + \frac{1}{4} = 1, 25$ Euro. Legst du dies nun für ein weiteres Vierteljahr an, so hast du nach einem halben Jahr $(1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) = 1, 2 5^{2} = 1,56$ Euro (gerundet). Wiederholst du diesen Vorgang zwei weitere Male, so erhältst du nach einem Jahr tatsächlich

(1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) = {(1 + \frac{1}{4})}^{4} = 1,2 5^{4} = 2, 44

Euro.

Wiederholst du diesen diesen Vorgang nun allgemein $n$ -mal, so bekommst du nach einem Jahr

(1 + \frac{1}{n}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{1}{n}) = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

Euro zurück. Dies ist genau das Bildungsgesetz für die $e$ -Folge ${({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}_{n \in ℕ}$ . Die Frage ist nun, ob diese Folge beliebig ansteigt, d. h., ob wir durch unseren Trick unser Guthaben nach einem Jahr beliebig vergrößern können. Die Antwort ist leider nein (:-(). Die Folge wird nicht größer als die Eulersche Zahl $e = 2,71828 \dots$ . Dein maximales Guthaben nach einem Jahr beträgt somit $2, 72$ Euro. Den Beweis, warum die Folge ${({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}_{n \in ℕ}$ sich der Eulerschen Zahl $e$ annähert, findest du im Kapitel Monotoniekriterium.

Folge der Fibonacci-Zahlen

Das Bildungsgesetz hinter der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.

To-Do:

Beispiel ohne Frage oder mit leichterer spezieller Frage erklären. Ist zu schwer/vorgeschritten!

Frage: Wie lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen?

Sei $f_{n}$ die Anzahl geschlechtsreifer Paare von Kaninchen im $n$ -ten Monat. Wir wollen nun die Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen im nächsten Monat, also die Zahl $f_{n + 1}$ bestimmen. Sei hierzu $x$ die für uns noch unbekannte Anzahl der Kaninchenpaare, die im $(n + 1)$ -ten Monat neu geschlechtsreif werden. Wie groß $x$ genau ist, werden wir im Folgenden noch bestimmen.

Nach Regel 4 ist keines der geschlechtsreifen Kaninchen im $n$ -ten Monat gestorben. Es ist also $f_{n + 1} = f_{n} + x$ , denn $f_{n + 1}$ ist die Summe der bereits geschlechtsreifen Kaninchen $f_{n}$ , von denen keines stirbt, und der Zahl $x$ der neu geschlechtsreif werdenden Kaninchen.

Nun müssen wir noch die unbekannte Zahl $x$ bestimmen: Wegen Regel 2 ist $x$ gleich der Zahl der Kaninchenpaare, die im $(n - 1)$ -ten Monat erzeugt wurden. Nach Regel 3 ist diese Anzahl gleich der Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen im $(n - 1)$ -ten Monat, also gleich $f_{n - 1}$ . Wir sehen also, dass $x$ gleich $f_{n - 1}$ und können dies in unserer obigen Gleichung $f_{n + 1} = f_{n} + x$ einsetzen:

f_{n + 1} = f_{n} + f_{n - 1}

Diese Regel schreiben wir um, indem wir anstelle von $n$ den neuen Index $n + 1$ einsetzen (dadurch wird der Inhalt der Formel nicht geändert):

f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}

welche unseren Rekursionsschritt ergibt. Nun brauchen wir nur noch den Rekursionsanfang. Nach Regel 1 ist $f_{1} = 1$ (im ersten Monat gibt es genau ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen). Da im Rekursionsschritt zur Berechnung von $f_{n + 2}$ seine zwei Vorgänger $f_{n + 1}$ und $f_{n}$ benötigt werden, brauchen wir auch den Wert $f_{0}$ im Rekursionsanfang. Ansonsten könnten wir nämlich nicht $f_{2} = f_{1} + f_{0}$ ausrechnen.

Im zweiten Monat gibt es neben dem Paar geschlechtsreifer Kaninchen aus dem ersten Monat ein Paar Kaninchen, welches vom ersten Paar im ersten Monat geworfen wurde. Dieses zweite Paar Kaninchen ist aber erst ab dem dritten Monat geschlechtsreif (Regel 2). Auch wird vom ersten Paar Kaninchen im zweiten Monat ein weiteres Paar Kaninchen geboren, welche aber erst im vierten Monat geschlechtsreif werden. Somit gibt es im zweiten Monat nur ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen und es ist $f_{2} = 1$ . Damit $f_{2} = f_{1} + f_{0}$ ist, muss $f_{0} = 0$ gewählt werden.

Insgesamt lautet die rekursive Definition der Fibonacci-Folge:

\begin{matrix} f_{0} & = 0 \\ f_{1} & = 1 \\ f_{n + 2} & = f_{n + 1} + f_{n} \end{matrix}

Mischfolgen

Mischfolgen sind Verallgemeinerungen der alternierenden Folge. Aus zwei Folgen $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ können wir eine neue Folge bilden, bei der sich die Folgenglieder aus $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ abwechseln. Wir betrachten also die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ} = (b_{1}, c_{1}, b_{2}, c_{2}, b_{3}, c_{3}, \dots)

Ein Folgenglied mit ungeradem Index, sagen wir $a_{2 k - 1}$ für $k \in ℕ$ , stimmt mit dem Folgenglied $b_{k}$ der Folge $(b_{n})_{n \in ℕ}$ überein. Und ein Folgenglied mit geradem Index, sagen wir $a_{2 k}$ für $k \in ℕ$ , stimmt mit dem Folgenglied $c_{k}$ der Folge $(c_{n})_{n \in ℕ}$ überein.

Um nun eine allgemeine Formel für $a_{n}$ mit $n \in ℕ$ zu erhalten, unterscheiden wir, ob $n$ ungerade oder gerade ist. Ist $n$ ungerade, wählen wir $k = \frac{n + 1}{2}$ , damit $n = 2 k - 1$ gilt, und erhalten $a_{n} = a_{2 k - 1} = b_{k} = b_{\frac{n + 1}{2}}$ . Entsprechend gilt für gerades $n$ die Formel $a_{n} = c_{\frac{n}{2}}$ . Insgesamt gilt daher

a_{n} = {\begin{matrix} b_{\frac{n + 1}{2}} & für n ungerade \\ c_{\frac{n}{2}} & für n gerade \end{matrix}

$(a_{n})_{n \in ℕ}$ ist dann die Mischfolge aus den Folgen $(b_{n})_{n \in ℕ}$ und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ .

Beispiel (Mischfolge)

Die alternierende Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gegeben durch $a_{n} = (- 1)^{n}$ ( $n \in ℕ$ ) können wir als Mischfolge der konstanten Folgen $b_{n} = - 1$ und $c_{n} = 1$ auffassen, denn für $n \in ℕ$ gilt

a_{n} = {\begin{matrix} - 1 & für n ungerade \\ 1 & für n gerade \end{matrix}

Wenn du eine Aufgabe lösen willst, in der eine Folge durch eine Fallunterscheidung, ob $n$ ungerade oder gerade ist, definiert ist, ist diese Folge eine Mischfolge zweier Folgen mit einem einfacheren Bildungsgesetz. Prinzipiell ist aber jede beliebige Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ eine Mischfolge, und zwar aus den beiden Folgen $(a_{2 n - 1})_{n \in ℕ}$ und $(a_{2 n})_{n \in ℕ}$ . Zum Beispiel ist die Folge $(1, 2, 3, \dots)$ der natürlichen Zahlen die Mischfolge aus der Folge $(1, 3, 5, \dots)$ der ungeraden Zahlen und der Folge $(2, 4, 6, \dots)$ der geraden Zahlen.

Verständnisfrage: Welche Folgen bleiben unverändert, wenn man sie mit sich selbst mischt?

Genau die konstanten Folgen haben diese Eigenschaft.

Mischt man für $c \in ℝ$ die konstanten Folgen $b_{n} = c$ und $c_{n} = c$ , so erhält man offenbar die konstante Folge $a_{n} = c$ .

Ist umgekehrt eine Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ die Mischfolge aus $(a_{n})_{n \in ℕ}$ und $(a_{n})_{n \in ℕ}$ , so gilt

a_{n} = {\begin{matrix} a_{\frac{n + 1}{2}} & für n ungerade \\ a_{\frac{n}{2}} & für n gerade \end{matrix}

Auf ein beliebiges Folgenglied $a_{n}$ können wir nun wiederholt diese Vorschrift anwenden. Da für $n \geq 2$ stets $\frac{n + 1}{2} < n$ bzw. $\frac{n}{2} < n$ gilt, erhalten wir immer kleinere Indizes, bis wir schließlich bei $a_{1}$ angelangen. Deshalb muss die Folge den konstanten Wert $a_{1}$ annehmen.

Eigenschaften und wichtige Begriffe

Beschränkte Folge

To-Do:

Bilder machen, durch die man mehr Intuition hinter dem Begriff einer beschränkten Folge bekommt

gut wäre $(a_{n})_{n \in ℕ}$ einmal mit mit $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ und einmal mit $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})$ als Beispiele für nach oben beschränkte Folgen, auch wieder Bilder mit oberen Schranken.
weiteres Beispiel für nach oben beschränkte Folgen: $a_{n} = - n$ mit Bild und anhand dieses Beispiels den Unterschied von von oben beschränkt, von unten beschränkt und beschränkt erläutern.

Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten. Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt („diese Zahl beschränkt die Folge von oben“). Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} ist nach oben beschränkt : ⟺ \exists S \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \leq S

Kommentiert bedeutet die Definition:

\begin{matrix} {(a_{n})}_{n \in ℕ} ist nach oben beschränkt \\ \underset{... i s t d e f i n i e r t d u r c h ...}{\underset{⏟}{: ⟺}} \\ \underset{e s e x i s t i e r t e i n e o b e r e S c h r a n k e S}{\underset{⏟}{\exists S \in ℝ :}} \underset{für alle Indizes n}{\underset{⏟}{\forall n \in ℕ}} \underset{F o l g e n g l i e d m i t I n d e x n i s t k l e i n e r o d e r g l e i c h S}{\underset{⏟}{a_{n} \leq S}} \end{matrix}

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt. Es gibt also eine reelle Zahl, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} ist nach unten beschränkt : ⟺ \exists s \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \geq s

Verständnisfrage: Was bedeutet es mathematisch, wenn man sagt, eine Folge ist nicht nach oben (bzw. nach unten) beschränkt?

Hier helfen dir die obigen Definitionen, die du schrittweise negierst (siehe das Kapitel „Aussagen negieren“). Du erhältst:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} ist nicht nach oben beschränkt : ⟺ \forall S \in ℝ : \exists n \in ℕ : a_{n} > S

Dies heißt übersetzt: Für alle reellen Zahlen $S$ gibt es mindestens ein Folgenglied, das größer als diese Zahl $S$ ist. Analog ist:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} ist nicht nach unten beschränkt : ⟺ \forall s \in ℝ : \exists n \in ℕ : a_{n} < s

Und damit: Für alle reellen Zahlen $s$ gibt es mindestens ein Folgenglied, das kleiner als diese Zahl $s$ ist.

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

obere Schranke: Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer als jedes Folgenglied einer Folge ist. $S$ ist eine obere Schranke von $(a_{n})_{n \in ℕ}$ , wenn $a_{n} \leq S$ für alle $n \in ℕ$ ist.
nach oben beschränkte Folge: Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn sie irgendeine obere Schranke besitzt.
untere Schranke: Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner als jedes Folgenglied einer Folge ist. $s$ ist eine untere Schranke von $(a_{n})_{n \in ℕ}$ , wenn $a_{n} \geq s$ für alle $n \in ℕ$ ist.
nach unten beschränkte Folge: Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn sie irgendeine untere Schranke besitzt.
beschränkte Folge: Eine Folge ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Hinweis

Eine obere Schranke muss nicht zwangsläufig die kleinstmögliche, obere Schranke sein und eine untere Schranke nicht unbedingt die größtmögliche! Wenn zum Beispiel eine Folge nach oben durch $1$ beschränkt ist, ist sie auch durch $2$ , $44$ , $123$ und $502$ nach oben beschränkt. Um die Beschränktheit einer Folge nach oben zu zeigen, reicht es, irgendeine beliebige obere Schranke anzugeben (auch wenn sie noch so groß sein sollte).

Es gibt aber auch eine alternative Definition für Beschränktheit:

Satz (alternative Definition der Beschränktheit)

Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $S^{'} \geq 0$ gibt, so dass für alle Folgenglieder $a_{n}$ die Ungleichung $| a_{n} | \leq S^{'}$ erfüllt ist.

Beweis (alternative Definition der Beschränktheit)

Zu zeigen ist folgende Äquivalenz:

\begin{matrix} (\exists S \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \leq S) \land (\exists s \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \geq s) \\ ⟺ \\ (\exists S^{'} \in ℝ_{\geq 0} : \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq S^{'}) \end{matrix}

oder in der kommentierten Version:

\begin{matrix} \overset{e r s t e D e f i n i t i o n}{\overset{⏞}{\underset{a_{n} ist nach oben beschränkt}{\underset{⏟}{(\exists S \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \leq S)}} \land \underset{a_{n} ist nach unten beschränkt}{\underset{⏟}{(\exists s \in ℝ : \forall n \in ℕ : a_{n} \geq s)}}}} \\ \underset{... i s t g l e i c h w e r t i g m i t ...}{\underset{⏟}{⟺}} \\ \underset{a l t e r n a t i v e D e f i n i t i o n}{\underset{⏟}{(\exists S^{'} \in ℝ_{\geq 0} : \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq S^{'})}} \end{matrix}

Wir müssen also eine Äquivalenz beweisen, was bedeutet, dass wir beide Richtungen des obigen Äquivalenzpfeils beweisen müssen. Nehmen wir zunächst die erste Richtung: Sei die erste Definition erfüllt; es gibt also reelle Zahlen $S, s \in ℝ$ , so dass für alle Folgenglieder $s \leq a_{n} \leq S$ gilt. Dann ist für alle Folgenglieder $| a_{n} | \leq m a x {| s |, | S |}$ . Damit ist die Existenz von $S^{'}$ für die alternative Definition bewiesen ( $S^{'}$ kann jede positive, reelle Zahl größer gleich $m a x {| s |, | S |}$ sein).

Und wie sieht es mit der anderen Richtung aus? Sei nun ein $S^{'} \in ℝ_{> 0}$ gegeben, mit $| a_{n} | < S^{'}$ für alle Folgenglieder. Dann gilt für alle Folgenglieder die Ungleichung $- S^{'} \leq a_{n} \leq S^{'}$ . Damit stellt $- S^{'}$ eine untere Schranke und $S^{'}$ eine obere Schranke für die Folge ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ dar, so dass die Folge auch unter der ersten Definition beschränkt ist.

Verständnisfrage: Welche der folgenden Typen von Folgen ist unter welchen Voraussetzungen beschränkt, nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt?

konstante Folge
arithmetische Folge
geometrische Folge
harmonische Folge
alternierende harmonische Folge
Fibonacci-Folge

Lösung:

konstante Folge: Beschränkt.
arithmetische Folge: Für $d > 0$ ist die Folge nach unten durch $a_{0}$ beschränkt und nach oben unbeschränkt. Für $d < 0$ ist die Folge nach oben durch $a_{0}$ und nach unten unbeschränkt. Für $d = 0$ ist die Folge konstant und damit beschränkt.
geometrische Folge: Für $q = 1$ ist die Folge konstant, daher beschränkt. Für $q > 1$ und $a_{0} > 0$ ist die Folge nach unten (durch $a_{0}$ ) beschränkt und nach oben unbeschränkt. Für $q > 1$ und $a_{0} < 0$ ist es umgekehrt: Die Folge ist nach oben durch $a_{0}$ beschränkt und nach unten unbeschränkt. Für $q < - 1$ ist sie weder nach oben noch nach unten beschränkt. Für $0 < q < 1$ und $a_{0} > 0$ ist sie beschränkt (nach oben durch $a_{0}$ und nach unten durch $0$ ). Für $0 < q < 1$ und $a_{0} < 0$ ist sie ebenfalls beschränkt, diesmal aber nach unten durch $a_{0}$ und nach oben durch $0$ . Auch für $- 1 < q < 0$ ist sie beschränkt: Nach unten durch $a_{1}$ und nach oben durch $a_{0}$ für $a_{0} > 0$ und umgekehrt nach unten durch $a_{0}$ und nach oben durch $a_{1}$ für $a_{0} < 0$ .
harmonische Folge: Die harmonische Folge ${(a_{n})}_{n \in ℕ} = \frac{1}{n}$ ist beschränkt (nach oben durch $a_{1} = 1$ und nach unten durch $0$ ).
alternierende harmonische Folge: Beschränkt: Nach oben durch $a_{2}$ und nach unten durch $a_{1}$ für $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{1}{n}$ bzw. nach oben durch $b_{1}$ und nach unten durch $b_{2}$ für $b_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{n}$
Fibonacci-Folge: Nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

Monotone Folgen

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Werden die Folgenglieder einer Folge immer größer (also jedes nachfolgende Folgenglied $a_{n + 1}$ ist größer als $a_{n}$ ), so nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine Folge mit immer kleiner werdenden Folgengliedern streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen zwei Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge. Merke dir: „streng monoton“ bedeutet so viel, wie „immer größer“ oder „immer kleiner“ werdend. Demgegenüber bedeutet „monoton“, ohne das „streng“, so viel wie „immer größer werdend oder konstant bleibend“ bzw. „immer kleiner werdend oder konstant bleibend“. Wir erhalten folgende Definition:

Definition (monotone Folgen)

Für eine reelle Folge ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ definieren wir:

\begin{matrix} {(a_{n})}_{n \in ℕ} wächst streng monoton & : ⟺ \forall n \in ℕ : a_{n + 1} > a_{n} \\ {(a_{n})}_{n \in ℕ} wächst monoton & : ⟺ \forall n \in ℕ : a_{n + 1} \geq a_{n} \\ {(a_{n})}_{n \in ℕ} fällt streng monoton & : ⟺ \forall n \in ℕ : a_{n + 1} < a_{n} \\ {(a_{n})}_{n \in ℕ} fällt monoton & : ⟺ \forall n \in ℕ : a_{n + 1} \leq a_{n} \end{matrix}

Verständnisfrage: Welche der folgenden Typen von Folgen ist unter welchen Voraussetzungen monoton fallend und monoton steigend? Welche besitzen ein strenges Monotonieverhalten?

konstante Folge
arithmetische Folge
geometrische Folge
harmonische Folge
alternierende harmonische Folge
Fibonacci-Folge

Lösung:

konstante Folge: Gleichzeitig monoton fallend und steigend, aber kein strenges Monotonieverhalten.
arithmetische Folge: Für $d > 0$ ist die Folge streng monoton steigend. Für $d < 0$ ist die Folge streng monoton fallend. Für $d = 0$ ist die Folge konstant.
geometrische Folge: Für $q > 1$ und $a_{0} > 0$ streng monoton steigend und für $a_{0} < 0$ streng monoton fallend. Für $0 < q < 1$ und $a_{0} > 0$ streng monoton fallend und für $a_{0} < 0$ streng monoton steigend. Für $q < 0$ ist die Folge weder monoton steigend noch fallend. Für $q = 1$ ist die Folge konstant.
harmonische Folge: Streng monoton fallend.
alternierende harmonische Folge: Weder monoton steigend noch fallend.
Fibonacci-Folge: Monoton wachsend.

Anmerkung: Konvergente Folgen

Folgen werden auch dahin gehend unterschieden, ob sie einen sogenannten Grenzwert besitzen oder nicht. Man nennt sie dann konvergent beziehungsweise divergent. Diese Eigenschaft wird jedoch erst später im Abschnitt zum Grenzwert behandelt. Diese Eigenschaft wurde hier nur zur Vollständigkeit genannt.

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