Aussagen negieren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel werden wir dir erklären, wie du mathematische Aussagen und Aussageformen negieren kannst. Hierzu werden wir den Weg über die formale Schreibweise gehen, weil Ausdrücke dieser Schreibweise leichter zu negieren sind. Das liegt daran, dass Aussagen in der formalen Schreibweise durch einfache Umformungsregeln negiert werden können. Dies ist deutlich einfacher als Ausdrücke intuitiv zu negieren.

Du kannst ja einmal versuchen, folgende Beispiele zu negieren. Du wirst sehen, dass die intuitive Negation nicht einfach ist (an dieser Stelle wird nicht erwartet, dass du bereits die folgenden Ausdrücke negieren kannst). Die ersten beiden Aussageformen stammen im Übrigen aus der Analysis 1 und werden dir damit im weiteren Studium durchaus begegnen. Versuche also mal folgende Ausdrücke zu negieren:

• Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq N$ die Ungleichung $|a-a(n)|<\epsilon$ erfüllt ist.
• Zu jedem $\epsilon >0$ und $x\in D$ gibt es ein $\delta >0$, sodass $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ für alle $y\in D$ mit $|x-y|<\delta$.
• Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Die Negation dieser Ausdrücke findest du später im Abschnitt „Beispiele“.

Allgemeine Vorgehensweise

Um nun eine in natürlicher Sprache gegebene Aussage zu negieren, kannst du folgendermaßen vorgehen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{l}{\text{Negation einer Aussage in natürlicher Sprache.}}\\[0.5em]\qquad {\color {Orange}\left\downarrow {\text{Übersetzung}}\right.}\\[0.5em]{\text{Negation einer Aussage in formaler Sprache.}}\\[0.5em]\qquad {\color {Orange}\left\downarrow {\text{schrittweise Anwendung von Umformungsregeln}}{\color {White}{\text{Ü}}}\right.}\\[0.5em]{\text{negierte Aussage in formaler Sprache.}}\\[0.5em]\qquad {\color {Orange}\left\downarrow {\text{Übersetzung}}\right.}\\[0.5em]{\text{negierte Aussage in natürlicher Sprache.}}\\[0.5em]\end{array}}\end{aligned}}$

Sollte die Aussage in formaler Schreibweise vorliegen, dann entfallen der erste und der letzte Schritt. Diese beiden Schritte, also die Übersetzung von natürlicher in formale Schreibweise und umgekehrt, erklären wir dir im Kapitel „Aussagen formalisieren“.

Umformungsregeln zum Negieren

Wie wir bereits gesagt haben, gelten Regeln zur Negation von Aussagen in formaler Schreibweise. Diese sind:

Form der Negation	umgeformte Aussage	Bedeutung
$\neg (\neg A)$	$A$	$A$
$\neg (A\land B)$	$\neg A\lor \neg B$	Nicht $A$ oder nicht $B$.
$\neg (A\lor B)$	$\neg A\land \neg B$	Nicht $A$ und nicht $B$.
$\neg (A\implies B)$	$A\land \neg B$	Obwohl $A$, gilt nicht $B$.
$\neg (A\iff B)$	$A\;\;\!\!{\dot {\lor }}\;\;\!\!B$	Entweder $A$ oder $B$ (aber nicht beides gleichzeitig).
	$A\iff \neg B\,$	Genau dann $A$, wenn nicht $B$.
	$\neg A\iff B\,$	Genau dann nicht $A$, wenn $B$.
$\neg (\forall x:\,A(x))$	$\exists x:\,\neg A(x)$	Es gibt ein $x$ mit nicht $A(x)$.
$\neg (\forall x\in M:\,A(x))$	$\exists x\in M:\,\neg A(x)$	Es gibt ein $x\in M$ mit nicht $A(x)$.
$\neg (\exists x:\,A(x))$	$\forall x:\,\neg A(x)$	Für alle $x$ ist nicht $A(x)$.
$\neg (\exists x\in M:\,A(x))$	$\forall x\in M:\,\neg A(x)$	Für alle $x\in M$ ist nicht $A(x)$.
$\neg (\exists !x:\,A(x))$	$\forall x:(\neg A(x)\lor \exists y:(A(y)\land x\neq y))$	Für jedes $x$ gilt: $x$ hat nicht die Eigenschaft $A(x)$ oder es gibt ein von $x$ verschiedenes $y$ mit der Eigenschaft $A(y)$.
	$\forall x:\neg A(x)\lor \exists y,x:(A(y)\land A(x)\land x\neq y)$	Es gibt kein oder mindestens zwei $x$ mit $A(x)$.

Wieso sind die Umformungsregeln so? Das liegt daran, dass die Aussagen der ersten Spalte äquivalent zu den Aussagen der zweiten Spalte sind. Dies bedeutet, dass die Aussagen der ersten Spalte genau dann wahr sind, wenn die entsprechenden Aussagen der zweiten Spalte wahr sind. Wenn du dir die umgeformten Aussagen anschaust, dann siehst du, dass die Negation in den Teilaussagen weitergereicht wird. So können die Ausdrücke schrittweise durch die Umformungsregeln negiert werden, bis am Ende die Negationszeichen ganz innen stehen.

Bei der Negation der Äquivalenz $\neg (A\iff B)$ kannst du dir im Übrigen aussuchen, ob du diese Aussage zu $A\,{\dot {\lor }}\,B$ oder zu $A\iff \neg B$ oder zu $\neg A\iff B$ umformst. Die erste Umformung ist einfacher, verwendet aber die Kontravalenz ${\dot {\lor }}$. Diese wird in der Mathematik nicht häufig verwendet und möglicherweise wurde sie nicht in deiner Vorlesung besprochen.

Zur Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor

Bei der Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor haben wir ausgenutzt, dass wir $\exists !x:\,A(x)$ auch folgendermaßen schreiben können:

$\exists x:(A(x)\land \forall y:(A(y)\implies x=y))$

Diese Aussage kann nun mit den anderen Umformungsregeln negiert werden, sodass man dann am Ende erhält:

$\neg (\exists !x:\,A(x))\iff \forall x:(\neg A(x)\lor \exists y:(A(y)\land x\neq y))$

Man kann auch einen anderen Weg gehen: Man fängt mit der Aussage

„Es gibt genau ein $x$ mit $A(x)$.“

an und negiert diese intuitiv zu

„Es gibt kein oder mindestens zwei $x$ mit $A(x)$.“

Diese Aussage in der Prädikatenlogik formalisiert lautet

$\forall x:\neg A(x)\lor \exists y,x:(A(y)\land A(x)\land x\neq y)$

Dies ist dann die zweite Möglichkeit, um einen Ausdruck mit einem eindeutigen Existenzquantor zu negieren.

Beispiele

Ausführliches Beispiel

Betrachten wir zunächst folgende Aussage

„Zu jedem $x$ gibt es ein $y$, das kleiner als $x$ ist.“

Diese lässt sich mit den Methoden aus dem Kapitel „Aussagen formalisieren“ umschreiben. Die formalisierte Aussage lautet

$\forall x\,\exists y:y<x$

Diese lässt sich nun schrittweise negieren, indem die obigen Umformungsregeln verwendet werden:

${\begin{array}{l}\neg (\forall x\,\exists y:y<x)\\[0.5em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[0.5em]\exists x:\neg (\exists y:y<x)\\[0.5em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[0.5em]\exists x\,\forall y:\neg (y<x)\\[0.5em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ \neg (y<x)\iff y\geq x\right.}\\[0.5em]\exists x\,\forall y:y\geq x\end{array}}$

Das Ergebnis ist damit die Aussage $\exists x\,\forall y:y\geq x$. Die Negation der obigen wahren Aussage führt damit zu der falschen Aussage:

„Es gibt ein $x$, so dass alle $y$ größer oder gleich $x$ sind.“

Beispiele aus der Einleitung

Betrachten wir nun das erste Beispiel aus der Einleitung:

Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq N$ die Ungleichung $|a-a(n)|<\epsilon$ erfüllt ist.

Zum Negieren der Aussage gehen wir schrittweise wie im ersten Beispiel vor:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}N\in \mathbb {N} {\text{,}}\\[0.3em]{\text{sodass für alle }}n\geq N{\text{ die Ungleichung }}|a-a(n)|<\epsilon {\text{ erfüllt ist.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\implies |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0:\neg \left(\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\implies |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} :\neg \left(\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\implies |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,\neg \left(n\geq N\implies |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\implies B)\iff A\land \neg B\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\land \neg \left(|a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ \neg \left(|a-a(n)|<\epsilon \right)\iff |a-a(n)|\geq \epsilon \right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\land |a-a(n)|\geq \epsilon \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}\epsilon >0{\text{, sodass es für alle }}N\in \mathbb {N} {\text{ ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}n\geq N{\text{ und }}|a-a(n)|\geq \epsilon {\text{ gibt.}}\end{array}}$

Übungsaufgabe

Aufgabe

Negiere folgende Aussagen:

• Für alle $R>0$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$, sodass $|x_{n}|\geq R$.
• Für alle $\epsilon >0$ und $x\in D$ gibt es ein $\delta >0$, sodass $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ für alle $y\in D$ mit $|x-y|<\delta$.
• Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.
• $\forall x\exists y:A(x)\implies B(y)$

Lösung

Erste Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für alle }}R>0{\text{ gibt es ein }}n\in \mathbb {N} {\text{, sodass }}|x_{n}|\geq R\mathrm {.} \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall R>0\,\exists n\in \mathbb {N} :|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists R>0:\neg \left(\exists n\in \mathbb {N} :|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists R>0\,\forall n\in \mathbb {N} :\neg \left(|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (|x_{n}|\geq R)\iff |x_{n}|<R\right.}\\[1em]\exists R>0\,\forall n\in \mathbb {N} \,:|x_{n}|<R\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}R>0{\text{, so dass für alle }}n\in \mathbb {N} {\text{, }}|x_{n}|<R{\text{ gilt.}}\end{array}}$

Zweite Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für alle }}\epsilon >0{\text{ und }}x\in D{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{,}}\\[1em]{\text{sodass }}|f(x)-f(y)|<\epsilon \ {\text{für alle }}y\in D{\text{ mit }}|x-y|<\delta \mathrm {.} \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall \epsilon >0\,\forall x\in D\,\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0:\neg \left(\forall x\in D\,\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D:\neg \left(\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0:\neg \left(\forall y\in D:|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:\neg \left(|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\implies B)\iff A\land \neg B\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:|x-y|<\delta \land \neg \left(|f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (|f(x)-f(y)|<\epsilon )\iff |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:|x-y|<\delta \land |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}\epsilon >0{\text{ und ein }}x\in D{\text{,}}\\[1em]{\text{so dass für alle }}\delta >0{\text{ es ein }}y\in D{\text{ mit }}|x-y|<\delta {\text{ und }}|f(x)-f(y)|\geq \epsilon {\text{ gibt.}}\end{array}}$

Dritte Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise. Sei }}M{\text{ die Menge aller Menschen.}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall x\in M\,\exists y\in M:y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x\in M:\neg \left(\exists y\in M:y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x\in M\,\forall y\in M:\neg \left(y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt einen Menschen, so dass alle Menschen ihn nicht lieben.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformulierung}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt einen Menschen, den }}{\mathit {kein\ Mensch}}{\text{ liebt.}}\end{array}}$

Vierte Aussage:

${\begin{array}{l}\neg (\forall x\exists y:A(x)\implies B(y))\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\iff \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x\,\neg (\exists y:A(x)\implies B(y))\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\iff \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x\forall y:\neg (A(x)\implies B(y))\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\implies B)\iff (A\land \neg B)\right.}\\[1em]\exists x\forall y:\left(A(x)\land \neg B(y)\right)\end{array}}$