MathemaTriX ⋅ Theorie nach Thema. Differentialrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

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Eine lineare Funktion der Form y=s x+A (wo s die Steigung und A der y-Achsenabschnitt ist) wird in einem Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Die Steigung zeigt, wie steil nach oben diese Gerade neigt. Ist die Steigung negativ, dann neigt die Gerade nach unten (also von oben links nach unten rechts).

Was ist aber bei der Darstellung von anderen Funktionen? Nehmen wir die Funktion $\textstyle \ f(x)=\left({\frac {x}{2}}-3\right)+2\$ als Beispiel. Wie im Video zu sehen ist, geht diese Funktion links nach oben und rechts nach unten, sie hat also links eine positive und rechts eine negative Steigung. Die Funktion wird von links nach rechst immer weniger steil und nachdem die Steigung negativ wird, immer steiler nach unten. Die Steigung ist daher nicht konstant.

Die Ableitung einer Funktion (also auch einer Kurve in einem Diagramm) an einer Stelle ist die Steigung dieser Funktion an dieser Stelle die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle die Tangens des Winkels zwischen Tangente an dieser Stelle und x-Achse.

Was dieser Satz bedeutet, werden wir im Folgenden mit Hilfe des Videos und der entsprechenden Bilder erklären.

Wir wollen die Steigung der Kurve am Punkt A berechnen. Der x-Wert der Funktion ist 2. Der Wert der Funktion an der Stelle 2 ist dann: $\textstyle \ f(2)=\left({\frac {2}{2}}-3\right)+2\$ also f(2)=−2. Der Punkt A(2|−2) befindet sich tatsächlich auf dieser Kurve (also auf dieser Funktion). Um die Steigung an dieser Stelle zu berechnen, nehmen wir einen anderen Punkt B auf der Kurve und bewegen wir ihn immer näher zum Punkt A. Im ersten Bild rechts (oder im Video oben links) ist die Steigung der Gerade, die durch A und B definiert wird, völlig unterschiedlich als die Steigung der Kurve. Je näher der Punkt B zum Punkt A rückt, desto mehr fangen die Steigungen der Kurve und der Gerade zu übereinstimmen an. Das Bild wird immer vergrößert. Am vorletzten Bild (rechts) ist die Kurve von der Gerade kaum zu unterscheiden. Die Punkte sind sehr nah zueinander (ihre Wertepaare sind auch sichtbar) und die gezeichneten Teile der Kurve und der Gerade stimmen fast völlig überein. Am Ende wird das Bild zur Anfangsgröße wieder gebracht. Die Punkte stimmen völlig überein. In diesem Fall wird von der Tangente der Kurve am Punkt A gesprochen. Die Tangente hat also mit der Kurve einen einzigen gemeinsamen Punkt. Da dies bei Tangenten nicht immer der Fall ist, ist eine passendere Definition die folgende: Die Tangente einer Kurve an einem Punkt ist eine Gerade, die die Kurve an diesen Punkt gerade eben berührt und diesen Punkt mit der Kurve teilt.

Wenn das Bild im Video genug vergrößert wird (wie im 7. Bild rechts), sind Gerade und Kurve (optisch) identisch und daher ist die Steigung der Kurve gleich der Steigung der Tangente. Somit haben wir den zweiten Teil der Definition am Anfang gezeigt: Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle.

Die Tangente einer Funktion an verschiedenen Stellen sehen wir auch in den beiden Animationen links (unter dem Video). Durch die Bewegung der Tangente ist auch sichtbar, wie steil die Funktion selber an diesem Punkt ist und selbstverständlich, ob die Steigung negativ (Tangente nach unten) oder positiv (Tangente nach oben) ist.

In der Erklärung der linearen Funktion erfahren wir, dass die Steigung der linearen Funktion durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet werden kann. Die Tangente einer Kurve ist eine Gerade. Die Steigung der Tangente wird durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet. Für die Kurve haben wir gesehen, dass wenn der Punkt B weit vom A ist, dieser Wert () nicht stimmt. Je näher er aber zum Punkt A rückt, desto mehr drückt diese Formel die Steigung der Kurve aus. Für verschwindenden Unterschied zwischen A und B drückt dieser Formel genau diese Steigung aus.

Dieser ist eine Definition der Ableitung. Man schreibt:

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Dass wir hier eine Ableitung haben, wird mit dem Strich neben f gezeigt. f ′ bedeutet Ableitung von f. x ist die unabhängige Variable. lim (limes) bedeutet Grenze. Gelesen wird „f Strich von x ist gleich Limes Delta y durch Delta x für Delta x gegen 0“. Somit haben wir auch den ersten Teil der Definition am Anfang gezeigt. In einem anderen Kapitel lernen wir, dass mit Hilfe der eben gezeigte Formel die Ableitung (also eine neue Funktion) der unabhängigen Variable berechnet werden kann. Um die neue Funktion zu finden, werden Ableitungsregeln benutzt.

Noch zu zeigen ist der letzte Teil der Definition am Anfang. Dafür brauchen wir im letzten Bild oben noch dazu ein Dreieck zu zeichnen. Die Definition des Tangens in einem rechtwinkeligen Rechteck ist der Quotient der gegenüberliegenden Kathete durch die Ankathete. Im nebenstehenden Bild ist zu sehen, dass der Tangens des Winkels φ tatsächlich $\textstyle \ {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ ist und in diesem Fall (Punkt A) genau 2.

Ableitungsnotationen

Verschiedene berühmte Physiker und Mathematiker haben unterschiedliche Notationen eingeleitet, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

• Die Darstellung $f'(x)$ stammt von Lagrange. Die zweite Ableitung wird durch $f''(x)$ und die n-te durch $f^{(n)}\$dargestellt.
• Eine andere Darstellung, die oft benutzt wird und von Leibniz stammt, ist ${\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$. Die zweite Ableitung in dieser Notation ist ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$ und die n-te ${\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}$.
• In Physik, besonders in der Mechanik, wird die Notation von Newton als Ableitung mit Zeit als unabhängige Variable benutzt: ${\dot {x}}$ für die erste und ${\ddot {x}}$ für die zweite Ableitung.
• Noch eine Notation, die eher seltener benutzt wird, ist die von Euler . Die erste Ableitung in dieser Notation ist $\mathrm {D} _{x}f(x)$, die zweite $\mathrm {D} _{x}^{2}f(x)$ und die n-te $\mathrm {D} _{x}^{n}f(x)$.

Einheiten der Ableitung

{{#lsth:Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Differentialrechnung|mmEinheiten der Ableitung ==== Ableitung und Grenzwerten ====

Eine (allerdings etwas problematische) Definition der Ableitung ist über Grenzwerte:${\displaystyle }$

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Es ist möglich diese Definition zu benutzen, um die allgemeine Ableitung einer Funktion zu berechnen. Probieren wir es mit der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Dafür werden wir die Formel für die 3. Potenz eines Binoms (pascalsches Dreieck), das Herausheben und das Kurzen von Bruchtermen brauchen. Für die 3. Potenz gilt:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3a\ b^{2}+b^{3}$

In unserem Fall werden wir entsprechend Folgendes brauchen:

$(x+\Delta x)^{3}=x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3}$

Um $\Delta y$ zu berechnen brauchen wir zwei Stellen der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Wir nennen die erste Stelle einfach $x_{1}=x$ und die zweite $x_{2}=x+\Delta x$. In diesem Fall sind:

$\Delta x=x_{2}-x_{1}=(x+\Delta x)-x=\Delta x$

$y_{1}=p_{3}(x_{1})=a\ x_{1}^{3}=a\ x^{3}\quad ({\text{da}}\ x_{1}\ {\text{gleich}}\ x\ {\text{ist}})$

$y_{2}=p_{3}(x_{2})=a\ x_{2}^{3}=a\ (x+\Delta x)^{3}=$ $a(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3})\quad ({\text{da}}\ x_{2}\ {\text{gleich}}\ x+\Delta x\ {\text{ist}})$

$\Delta y=y_{2}-y_{1}=\underbrace {a\,x^{3}+3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}} _{y_{2}}-\underbrace {a\,x^{3}} _{y_{1}}$ $=3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}=\Delta x(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})$

Wenden wir diese Sachen in der Limes-Formel an:

$p_{3}'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\overbrace {{\cancel {\Delta x}}(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})} ^{\Delta y}}{\cancel {\Delta x}}}$
$={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,{\cancelto {0}{\Delta x}}+{\cancelto {0}{\Delta x^{2}}}=3\,a\,x^{2}\quad (=a\cdot 3\cdot x^{2})$

Das Ergebnis stimmt (selbstverständlich) mit der allgemeinen Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für n=3 überein:

$p_{n}(x)=a\ x^{n}\qquad p_{n}'(x)=a\,n\,x^{n-1}$

Ableitung von Potenzfunktionen

EINFACH

KOMPLEX

SCHWIERIG

Die Potenzfunktionen bestehen aus einer Potenzzahl, deren Basis die unabhängige Variable ist:

$p(x)=x^{n}$

Die Hochzahl n kann allerdings nicht nur eine natürliche Zahl sein, sonst irgendwelche Zahl, beispielsweise $\textstyle \ p_{1}(x)=x^{3},\ \ p_{2}(x)=x^{-{\frac {5}{3}}},\ \ p_{3}(x)=x^{\sqrt {3}}$.

Um die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^{n}\$zu berechnen, gibt es eine einfache Regel:

$f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

In unseren Beispielen:

$\textstyle \ p_{1}'(x)=3\ x^{3-1}=3\ x^{2},\ \ p_{2}'(x)={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {5}{3}}-1}={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {8}{3}}}=,\ \ p_{3}'(x)={\sqrt {3}}\ x^{{\sqrt {3}}-1}$

Wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl ist, kann man diese Regel mit Hilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert zeigen. Hier beschränken wir uns auf die einfache Anwendung der Regel. Wie in den Beispielen zu sehen ist, ist die Ableitung eine neue Funktion. Daher können wir ihren Wert an einer Stelle berechnen. Wenn wir den Wert der Funktion $\ p_{1}(x)=x^{3}\$und ihrer Ableitung $\ p_{1}'(x)=3\ x^{2}\$ im ersten Beispiel berechnen wollen, ersetzen wir einfach die unabhängige Variable durch ihren Wert ("Stelle"):

$\textstyle \ p_{1}(5)=5^{3}=125,\ \ p_{1}'(5)=3\cdot 5^{2}=75$

Der Wert der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5 ist 125, der Wert ihre Ableitung ist 75. 75 ist auch die Steigung der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5.

Ableitungen von weiteren Funktionen

Die Ableitung einer gewissen Funktion können wir mit Hilfe ihrer "Definition" als Grenzwert $\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$bestimmen. Für Potenzfunktionen $f(x)=a\,x^{n}\ (n\in \mathbb {N} )\$ können wir das mit Hilfe des pascalschen Dreiecks machen. Das Ergebnis ist: $f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. Da die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist $\ \left[(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\right]$, können wir diese Berechnungen leicht auf jede Polynomfunktion übertragen. Wenn z.B. $f(x)=3x^{4}+x^{3}-5x-7\$ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion die Summe der Ableitungen der "Teil"-Funktionen $(3x^{4})'=3\cdot 4\cdot x^{4-1}$, $(x^{3})'=3x^{3-1}$, $(-5x)'=-5\cdot 1\cdot x^{1-1}\$und $(-7)'=0$, also $f'(x)=12x^{3}+3x^{2}-5$.

Mit Hilfe der Definition als Grenzwert können wir weitere Ableitungen berechnen, wir brauchen allerdings dafür komplizierteres Wissen über trigonometrische Funktionen und sogenannte "Folgen". Mit Hilfe dieser Mittel können wir dann folgende Ableitungen bestimmen:

$f(x)=a\,\sin x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,\cos x\qquad \qquad$$f(x)=a\,\cos x\ \rightarrow \ f'(x)=-a\,\sin x\qquad \qquad$
$f(x)=a\,e^{x}\ \rightarrow \ f'(x)=a\,e^{x}\qquad \qquad \qquad$$f(x)=a\,\ln x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,x^{-1}\qquad$
$f(x)=a\,\tan x\ \rightarrow \ f'(x)={\frac {a}{\cos ^{2}x}}=a\left(1+\tan ^{2}x\right)$

Ableitungsregeln

Die Kettenregel

Grob gesagt lautet die Kettenregel: Die Ableitung einer Funktion, die eine andere Funktion "beinhaltet", ist die Ableitung der "äußeren" Funktion mal die Ableitung der "inneren" Funktion. Mit Symbolen schreibt man:

$h(x)=f(g(x))\Rightarrow h'(x)=f'(g)\cdot g'(x)$

Hier ein paar Beispiele:

• $f(x)=\sin \left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)$
  In diesem Fall definieren wir die Funktion $\ g(x)=\left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)$. Dann gilt, dass $f(g)=\sin g\$(da $g$ gleich, was in Klammer nach dem Sinus in $f(x)$ steht, ist). Wir können somit zwei Ableitungen bilden:
  $f'(g)=\cos g\$und $g'(x)=3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}$
  Es gilt daher:
  $f'(x)=f'(g)\cdot g'(x)=\cos g\cdot \left(3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}\right)$$=\cos \left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)\cdot \left(3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}\right)$
• $w(A)={\sqrt {e^{A}-\cos A\ \ }}$
  In diesem Fall definieren wir die Funktion $z(A)=e^{A}-\cos A$. Dann gilt, dass $w(z)={\sqrt {z}}\$(da $z$ gleich, was unterhalb der Wurzel in $w(A)$ steht, ist). Wir können somit zwei Ableitungen bilden:
  $w'(z)={\frac {1}{2\,{\sqrt {z}}}}\$und $z'(A)=e^{A}+\sin A$
  Es gilt daher:
  $w'(A)=w'(z)\cdot z'(A)={\frac {1}{2\,{\sqrt {z}}}}\cdot (e^{A}+\sin A)={\frac {e^{A}+\sin A}{2\,{\sqrt {e^{A}-\cos A)\ }}}}$

Die Produktregel

Die Produktregel besagt: Die Ableitung des Produkts zwei Funktionen ist gleich der Summe der Produkten der ersten Funktion mal die Ableitung der zweiten und der zweiten Funktion mal die Ableitung der ersten.

$f(x)=u(x)\cdot v(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

oder kurz:

$(uv)'=u'v+uv'$

Beispiele:

• $f(x)=\cos x\cdot \sin x\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
• $t(h)=e^{h}\cdot h^{3}\quad \Rightarrow \quad t'(h)=e^{h}\cdot h^{3}+3\ e^{h}\cdot h^{2}$

Die Quotientenregel

Die Quotientenregel für Ableitungen mit Wörter zu beschreiben ist etwas umständlich. Wir schreiben daher am besten einfach den mathematischen Ausdruck:

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\quad \Rightarrow \quad f'(x_{a})={\frac {u'(x_{a})\cdot v(x_{a})-u(x_{a})\cdot v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}$.

In Kurzschreibweise:

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

Beispiele:

• $u(t)={\frac {\sin t}{\cos t}}(=\tan t)\quad \Rightarrow \quad v'(t)={\frac {\cos t\cos t+\sin t\sin t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1}{\cos ^{2}t}}$
• $r(z)={\frac {\ln z}{z^{4}}}\quad \Rightarrow \quad r'(z)={\frac {{\frac {1}{z}}z^{4}-4\ \ln z\cdot z^{3}}{z^{8}}}={\frac {1-4\ \ln z}{z^{5}}}$

Kurvendiskussion

Allgemeines zur Kurvendiskussion

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Steigung der Funktion an diesem Punkt und ist gleich sowohl zur Steigung der Tangente an diesem Punkt als auch zum Tangens des Winkels zwischen dieser Tangente und der x-Achse.

Wenn eine Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, ist ihre Steigung (also ihre Ableitung) positiv, im Gegenfall negativ. Der Grenzfall zwischen den beiden Situationen ist, wenn eine Funktion weder nach oben noch nach unten verläuft. Die einzige Möglichkeit in diesem Fall ist, dass sie parallel zur x-Achse verläuft. Logischerweise soll in diesem Fall die Steigung (also die Ableitung) weder positiv noch negativ sein. Die einzige Zahl, die diese Eigenschaft hat, ist Null. Wenn die Steigung (also die Ableitung) einer Funktion an einem Punkt null ist, dann läuft die Tangente der Funktion an dieser Stelle parallel zur x-Achse. In diesem Fall spricht man von einem Extrempunkt oder einem Sattelpunkt.

Extrempunkte sind die Punkte einer Funktion, wo diese ein lokales oder globales Maximum oder Minimum innehat. Die entsprechenden y-Werte sind daher die Extremwerte der Funktion und die x-Werte die Extremstellen. Die Ableitung einer Funktion an solchen Stellen ist Null. Die Tangente an einem solchen Punkt läuft daher parallel zur x-Achse.

Wendepunkte sind Punkte, an denen die Funktion ihre "Biegung" ändert. Wir können uns es so darstellen, dass wir uns von links nach rechts auf der in einem Koordinatensystem dargestellten Kurve der Funktion fahren. Um auf der Kurve zu bleiben, müssen wir mit einem imaginären Lenkrad abbiegen (außer wir befinden uns auf einer Gerade). Müssen wir "nach links abbiegen", dann ist die zweite Ableitung der Funktion positiv, nach rechts ist sie negativ. Der Punkt, wo wir die Richtung von links nach rechts oder umgekehrt ändern müssen, ist ein sogenannter Wendepunkt. An einem Wendepunkt ist die zweite Ableitung der Funktion Null. Wenn an diesem Punkt die Ableitung dazu null ist, dann wird der Punkt dazu Sattelpunkt genannt.

Nehmen wir das konkrete Beispiel des folgenden Bildes:

Kurvendiskussion Erste Ableitung

Ganz links und bis zur Stelle ca. −1,4 (x=−1,4) verläuft die Funktion nach unten, die Steigung (also die Ableitung) ist negativ. Dann läuft sie nach oben bis zur Stelle Null. Die Ableitung (also die Steigung) ist in diesem Intervall positiv. Genau an der Stelle Null wird die Ableitung doch Null, die Tangente der Funktion an dieser Stelle läuft parallel zur x-Achse. Dann allerdings läuft die Funktion weiter nach oben, also die Ableitung ist weiter positiv. Ungefähr an der Stelle 1,4 ändert sich die Richtung wieder nach unten und die Steigung wird negativ bis zur Stelle 2,2 usw.

Kurvendiskussion Zweite Ableitung

Am Anfang muss man "links abbiegen". Die zweite Ableitung ist positiv. Die erste Ableitung wird immer größer. Ungefähr an der Stelle −0,9 fängt man an, "rechts abzubiegen". Die zweite Ableitung ist negativ. Die erste Ableitung wird immer kleiner (egal ob sie positiv oder negativ ist). Das passiert bis an der Stelle 0. Danach muss man wieder "gegensteuern" und "nach links abbiegen". Die zweite Ableitung ist wieder positiv. Das passiert bis ungefähr an der Stelle 0,9. Die zweite Ableitung wird danach negativ erst ca. an der Stelle 1,8 und wieder negativ ca. an der Stelle 2,4.

Kurvendiskussion Extrempunkte

An den Stellen der Änderungen des Vorzeichens der ersten Ableitung wird diese Null sein, also ca. an den Stellen −1,4, 1,4, 2,2 und 2,8. An diesen Stellen wird die erste Ableitung von positiv zu negativ oder umkegehrt. Diese Stellen sind Extrempunkte. An den Stellen −1,4, und 2,2 haben wir jeweils ein lokales Minimum, an den Stellen 1,4 und 2,2 ein lokales Maximum. An diesen Stellen ist also die erste Ableitung null.

Kurvendiskussion Wendepunkte

An den Stellen der Änderungen des Vorzeichens der zweiten Ableitung wird diese Null sein, also ca. an den Stellen −0,9, 0, 0,9, 2,2 und 2,8. An diesen Stellen wird die zweite Ableitung von positiv zu negativ oder umkegehrt. Diese Stellen sind Wendepunkte. An diesen Stellen ist also die zweite Ableitung null.

Kurvendiskussion Sattelpunkte

Wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung null sind, dann sprechen wir von einem Sattelpunkt. Das passiert in diesem Diagramm an der Stelle 0 (x=0). Allerdings ist der Wert der Funktion an dieser Stelle doch nicht Null (y=f(0)=1).

Kurvendiskussion Nullstellen

Nullstellen sind die Stellen der Funktion, wo die Funktion die x-Achse abschneidet, also wo ihr Wert null ist. Stelle bedeutet x-Wert, Wert der Funktion bedeutet y-Wert. "Der Wert der Funktion ist null" bedeutet, dass wir die Funktion, z.B. f(x) also y, gleich null setzten sollen und dadurch die x-Werte finden, für denen es gilt, dass y gleich null ist. Die Nullstellen im Diagramm ablesen kann man sehr leicht, indem man die Stellen findet, wo die Funktion die x-Achse abschneidet. In unserem Beispiel sind das ungefähr die Stellen (x-Werte auf der x-Achse) −1,6, −1,1, 1,95 und 2,35.

Kurvendiskussion y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert der Funktion an den Punkt, wo die Funktion die y-Achse abschneidet. Für alle Punkte auf der y-Achse ist der x-Wert null. Um der y-Achsenabschnitt zu finden, reicht daher, den Wert der Funktion (y-Wert) an der Stelle (x-Wert) null zu finden, einfach gesagt, x gleich null in der Funktion setzten. In unserem Beispiel ist der y-Achsenabschnitt gleich 1. Die Funktion schneidet die y-Achse an den Punkt (0|1) ab.

Umkehraufgaben Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Wenn wir eine lineare Funktion ermitteln wollen, brauchen wir genau zwei Punkte. Mit der Hilfe von zwei Punkte können wir dann die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Gerade berechnen. Genauso können wir mit Hilfe von Eigenschaften irgendeiner Funktion die Funktion selber ermitteln. Solche Eigenschaften können Punkte oder der Wert der Ableitung an einer Stelle sein. Für die lineare Funktion (Polynomfunktion 1. Grades) brauchen wir 2 Punkte, für die quadratische drei. Wir erklären dann jetzt anhand eines Beispiels, wie das geht:

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist:

$Q(x)=a\,x^{2}+b\,x+c$

Die entsprechende Ableitung ist:

$Q'(x)=2\cdot a\,x+b$

An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 5: Q(3)=5, Punkt $(3|5)$

$5=a\,3^{2}+b\,3+c$

An der Stelle 1,5 (x=1,5) hat die Funktion den Wert 4,5: Q(1,5)=4,5, Punkt $(1{,}5|4{,}5)$

$4{,}5=a\,1{,}5^{2}+b\,1{,}5+c$

An der Stelle 2 (x=2) ist die Ableitung null (Q'(x)=0)

$Q'(x)=2\cdot a\,\cdot 2+b$

Wir haben daher ein LGS mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&2b&&=0\end{matrix}}$

Als Matrize:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Letztere kann mit einem elektronischen Hilfsmittel
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\{4\,II-3\,III}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\15&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\2\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\-0{,}45\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&1{,}5&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-0{,}4\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-2\,II-9\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {\frac {23}{5}}\\\textstyle {-{\frac {4}{15}}}\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]$

In der ersten Spalte war die Koeffizient a von $x^{2}$. Wir können sie in der dritten Zeile ablesen: $\textstyle a={\frac {2}{15}}$. Entsprechend können wir die Koeffizient von x an der zweiten Zeile und den y-Achsenabschnitt c an der ersten Zeile ablesen. Die gefragte quadratische Funktion lautet daher:

$Q(x)={\frac {2}{15}}x^{2}-{\frac {4}{15}}x+{\frac {23}{5}}$

Theorie zu den Umkehraufgaben der Kurvendiskussion

In den Umkehraufgaben der Kurvendiskussion werden (in der Schulmathematik) die Koeffizienten einer Polynomfunktion gesucht. Das Ziel ist, ein lineares Gleichungssystem zu entwickeln, um diese Koeffizienten zu berechnen. In der (Text-) Aufgabe werden Informationen angegeben, die wir in Gleichungen "übersetzen" müssen. Die Gleichungen müssen um eins mehr als der Grad der Funktion sein, also so viele wie die Koeffizienten. Die Koeffizienten werden dann die gesuchten Variablen des Gleichungssystems darstellen. Zunächst einmal versuchen wir, die Schlüsselwörter zu erörtern, die zur "Übersetzung" der Textaufgabe führen.

Mit den folgenden Ausdrücken ist das gleiche gemeint:

Am Punkt (c|d)$\qquad$Hier ist c der x-Wert der Funktion und d der y-Wert.
Die Funktion hat an der Stelle c den Wert d$\qquad$In diesem Satz ist mit c der x-Wert gemeint und mit d der Wert der Funktion, also der y-Wert.
In beiden Fällen kann der Satz irgendwie indirekter sein, beispielsweise kann "die Funktion die Gerade bla-bla am Punkt bla-bla schneiden". In all diesen Fällen muss die Funktion selber benutzt werden. Wir ersetzten y und x durch ihre Werte und so entsteht eine Gleichung mit den Koeffinzienten als Variablen. Seien a der x-Wert und b der y-Wert, $f(x)=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ und daher $a_{n},\ a_{n-1},\ ...\ a_{1},\ a_{0}\$die Koeffizienten (wobei n der Grad der Polynomfunktion), dann gilt $f(c)=d\$und daher:

$d=a_{n}\ c^{n}+a_{n-1}\ c^{n-1}+...\ +a_{1}\ c+a_{0}\$

Sonderfälle

x-Achsenabschnitt
Nullstellen
In all diesen Fällen ist gemeint, dass der y-Wert gleich Null ist, also für x=c:

$0=a_{n}\ c^{n}+a_{n-1}\ c^{n-1}+...\ +a_{1}\ c+a_{0}\$
Der einzige Unterschied von der vorherigen Gleichung ist, dass der y-Wert 0 anstatt d ist.

y-Achsenabschnitt
Die Funktion schneidet die y-Achse an ...
(oder Ähnliches)
In all diesen Fällen ist gemeint, dass der x-Wert gleich Null ist. Man kann dann leicht feststellen, dass der y-Wert gleich dem Koeffizienten $a_{0}\$sein wird. f(0)=d und daher:

$d=a_{n}\ 0^{n}+a_{n-1}\ 0^{n-1}+...\ +a_{1}\ 0+a_{0}\ \Rightarrow d=a_{0}$

Mit den folgenden Ausdrücken ist das gleiche gemeint:

(Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt)
Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle).
Wichtiger Hinweis: Wenn die Ableitung an einem Punkt gegeben wird, dann haben wir zwei Informationen gleichzeitig, also eine Gleichung mit Hilfe des Punktes und eine mit Hilfe der Ableitung an dieser Stelle. Das ist allerdings nicht der Fall, wenn nur die Stelle, also der x-Wert, angegeben ist.

In all diesen Fällen muss die Ableitung der Funktion gleich ihren angegebenen Wert und an dieser Stelle gestellt werden. Man muss also erst die allgemeine Ableitung einer Polynomfunktion dieses Grades berechnen:

$f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$
Die Koeffizient $a_{0}\$kommt nicht mehr vor, da die Ableitung einer Konstante null ist ($a_{0}\$ist eine gesuchte Zahl, also eine Konstante).

Dann setzt man den Wert für die Ableitung und den x-Wert ("Stelle") ein. Seien diese q bzw. p, dann gilt $f'(p)=q\$und daher:

$q=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Sonderfälle

Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum oder Minimum)
Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse)
Der Tangens ist null
Die Funktion hat einen Sattelpunkt (Sonderfall des Sonderfalls, siehe wieter unten den Text über die zweite Ableitung)

In all diesen Fällen ist gemeint, dass die Ableitung gleich null ist. In der letzten Gleichung schreiben wir daher 0 statt q:

$0=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Weitere Ableitungen

Der Wert der zweiten Ableitung

In diesem Fall müss man die allgemeine Funktion für die erste Ableitung, die wir vorher berechnet haben, noch mal ableiten. Hier ist noch mal die allgemeine erste Ableitung:

$f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\qquad$und hier die Ableitung der Ableitung:

$f''(x)=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$

Für Ableitungen höheren Grades muss man einfach weiter so die Ableitung der Ableitung berechnen.

Sonderfälle

Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt (p|r).

Bei einem Wendepunkt ist die zweite Ableitung gleich null:

Zweite Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Ist ein Punkt (und nicht einfach eine Stelle) angegeben, dann gibt es auch eine zweite Information und wir können eine zweite Gleichung stellen:

Funktion: $r=a_{n}\ p^{n}+a_{n-1}\ p^{n-1}+...\ +a_{1}\ p+a_{0}\$

Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt (p|r).

Bei einem Sattelpunkt ist sowohl die erste als auch die zweite Ableitung gleich null:

Erste Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Zweite Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Ist ein Punkt (und nicht einfach eine Stelle) angegeben, dann gibt es auch eine dritte Information und wir können eine dritte Gleichung stellen:

Funktion: $r=a_{n}\ p^{n}+a_{n-1}\ p^{n-1}+...\ +a_{1}\ p+a_{0}\$

Umkehraufgaben der Kurvendiskussion Zusammenfassung

Anwendung der Funktion selbst	$f(x)\$allgemein Am Punkt $(x_{wert}|y_{wert})$ Die Funktion hat an der Stelle c ($x_{wert}$) den Wert d ($y_{wert}$) $y_{wert}\$in Abhängigkeit von $x_{wert}$ $y_{wert}\$in Bezug auf $x_{wert}$ je $x_{wert}\$desto $y_{wert}$ $y=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ $f(x)=0$ x-Achsenabschnitt Nullstellen $0=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ $f(0)=A_{y}$ y-Achsenabschnitt Die Funktion schneidet die y-Achse an ... (oder Ähnliches) $A_{y}=a_{n}\ 0^{n}+a_{n-1}\ 0^{n-1}+...\ +a_{1}\ 0+a_{0}\ \Rightarrow A_{y}=a_{0}$
Anwendung der ersten Ableitung	$f'(x)\$allgemein (Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) knickfrei (gleiche Steigung) Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle) momentane Änderungsrate $f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$ $f'(x)=0$ Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt) Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse) Der Tangens ist null Die Funktion hat einen Sattelpunkt $0=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$
Anwendung der zweiten Ableitung	$f''(x)\$allgemein Der Wert der zweiten Ableitung (an einem Punkt oder Stelle) $f''(x)=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$ $r=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$ $f''(x)=0$ Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$ $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Kurvendiskussion Umkehraufgaben

*Eine Funktion vierten Grades hat den Extrempunkt (2|3) und einen Wendepunkt an der Stelle −4. Die Tangente zur Funktion ist parallel zur x-Achse an der Stelle 1. 20 ist eine Nullstelle. Wie lautet die Funktion?

Wir werden die erste (Extrempunkt) und die zweite (Wendepunkt) Ableitung brauchen. Da der Grad der Funktion 4 ist, also da sie 5 Koeffizienten hat, brauchen wir fünf Gleichungen. Die allgemeine Funktion und ihre ersten zwei Ableitungen sind:

$f(x)=a_{4}\ x^{4}+a_{3}\ x^{3}+a_{2}\ x^{2}\ +a_{1}\ x+a_{0}\$

$f'(x)=4\,a_{4}\ x^{3}+3\,a_{3}\ x^{2}+2\,a_{2}\ x\ +a_{1}\$

$f''(x)=12\,a_{4}\ x^{2}+6\,a_{3}\ x+2\,a_{2}$

Mit dem Extrempunkt (2|3) haben wir gleich zwei Informationen, f(2)=3 und f'(2)=0, und daher zwei Gleichungen:

$3=a_{4}\cdot 2^{4}+a_{3}\cdot 2^{3}+a_{2}\cdot 2^{2}\cdot +a_{1}\cdot 2+a_{0}\qquad$und

$0=4\,a_{4}\cdot 2^{3}+3\,a_{3}\cdot 2^{2}+2\,a_{2}\cdot 2\ +a_{1}\$

Mit dem Wendepunkt an der Stelle −4 haben wir noch eine Information, $f''(-4)=0$, und damit die Gleichung:

$0=12\,a_{4}\cdot (-4)^{2}+6\,a_{3}\cdot (-4)+2\,a_{2}$

Die Tangente der Funktion an der Stelle 1 ist parallel zur x-Achse, also ist die erste Ableitung da gleich null:

$0=4\,a_{4}\cdot 1^{3}+3\,a_{3}\cdot 1^{2}+2\,a_{2}\cdot 1\ +a_{1}\$

Letztens ist 20 eine Nullstelle, f(20)=0:

$0=a_{4}\cdot 20^{4}+a_{3}\cdot 20^{3}+a_{2}\cdot 20^{2}\ +a_{1}\cdot 20+a_{0}\$

Damit haben wir folgendes lineares Gleichungssystem, das wir am liebsten mit einem Hilfsmittel lösen:

$3=a_{4}\cdot 2^{4}+a_{3}\cdot 2^{3}+a_{2}\cdot 2^{2}\cdot +a_{1}\cdot 2+a_{0}\qquad$
$0=4\,a_{4}\cdot 2^{3}+3\,a_{3}\cdot 2^{2}+2\,a_{2}\cdot 2\ +a_{1}\$
$0=12\,a_{4}\cdot (-4)^{2}+6\,a_{3}\cdot (-4)+2\,a_{2}$
$0=4\,a_{4}\cdot 1^{3}+3\,a_{3}\cdot 1^{2}+2\,a_{2}\cdot 1\ +a_{1}\$
$0=a_{4}\cdot 20^{4}+a_{3}\cdot 20^{3}+a_{2}\cdot 20^{2}\ +a_{1}\cdot 20+a_{0}\$

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

$a_{4}={\frac {157}{2736}},\quad a_{3}=-{\frac {2837}{4788}},\quad a_{2}=-{\frac {265}{21}},\quad a_{1}={\frac {36523}{1197}},\quad a_{0}=-{\frac {4460}{1197}}$

Die Funktion lautet daher:

$f(x)={\frac {157}{2736}}x^{4}-{\frac {2837}{4788}}x^{3}-{\frac {265}{21}}x^{2}+{\frac {36523}{1197}}x-{\frac {4460}{1197}}$

• Eine Funktion dritten Grades hat den Sattelpunkt (−2|4) und den y-Achsenabschnitt −3. Wie lautet die Funktion?

Wir brauchen wieder die allgemeine erste und zweite Ableitung, allerdings brauchen wir hier vier Gleichungen:

Die allgemeine Funktion und ihre ersten zwei Ableitungen sind:

$f(x)=a_{3}\ x^{3}+a_{2}\ x^{2}\ +a_{1}\ x+a_{0}\$

$f'(x)=3\,a_{3}\ x^{2}+2\,a_{2}\ x\ +a_{1}\$

$f''(x)=6\,a_{3}\ x+2\,a_{2}$

Mit dem Sattelpunkt (3|4) haben wir gleich drei Gleichungen, $f(-2)=4$, $f'(-2)=0$ und $f''(-2)=0$, mit dem y-Achsenabschnitt noch eine dazu, $f(0)=-3$:

$4=a_{3}\ (-2)^{3}+a_{2}\ (-2)^{2}\ +a_{1}\ (-2)+a_{0}\$
$0=3\,a_{3}\ (-2)^{2}+2\,a_{2}\ (-2)\ +a_{1}\$
$0=6\,a_{3}\ (-2)+2\,a_{2}$
$-3=a_{0}\$

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

$a_{3}=-{\frac {7}{8}},a_{2}=-{\frac {21}{4}},a_{1}=-{\frac {21}{2}},a_{0}=-3$

und die Funktion lautet daher:

$g(x)=-{\frac {7}{8}}x^{3}-{\frac {21}{4}}x^{2}-{\frac {21}{2}}x-3$