Aufgabensammlung Mathematik: Vollständige Induktion

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Vollständige Induktion

Summenformeln

Beweise, dass für alle gilt:

Beweise, dass für gilt:

Beweise, dass für gilt:

Beweise, dass für gilt:

Beweise, dass für gilt:

Teilbarkeit

Beweise, dass für durch 5 teilbar ist.

Beweise, dass für durch 23 teilbar ist.

1. Beweise, dass für durch teilbar ist.

2. Als zusätzliche Herausforderung kannst du versuchen, die folgende, allgemeinere Aussage zu beweisen:

ist für ungerade und durch teilbar.

Diverses

Beweise, dass für gilt:

Beweise für alle natürlichen Zahlen die folgende Ungleichung:

Zeige, dass für alle die folgende Aussageform allgemeingültig ist:

ist irrational.

Zeige, dass für alle gilt: . Du darfst verwenden, dass und ist.

Zeige für alle die nachstehende Beziehung:

Zeige, dass für alle gilt: wobei alle das gleiche Vorzeichen aufweisen.

Anmerkung: Setzt man hier so erhält man die "gewöhnliche" Bernoulli-Ungleichung

Finde den Fehler

Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind durch 2 teilbar.

Beweis: Sei die -te ungerade Zahl, welche durch 2 teilbar ist. Die -te ungerade Zahl ist dann ist damit eine Summe aus zwei durch 2 teilbaren Summanden und damit wieder durch 2 teilbar. Aus der vollständigen Induktion folgt, dass alle ungeraden Zahlen durch 2 teilbar sind.

Behauptung: Es passen unendlich viele Sandkörner in einen LKW.

Induktionsanfang: Da ein Sandkorn sehr klein ist, passt auf jeden Fall ein Sandkorn in einen LKW.

Induktionsschritt: Gehen wir davon aus, dass Sandkörner im LKW sind. Da ein Sandkorn sehr, sehr klein ist im Vergleich zum Laderaum eines LKWs, passt ein zusätzliches Sandkorn auf jeden Fall in den LKW rein. Damit passen auch Sandkörner in einen LKW.

Daraus folgt, es passen beliebig viele Sandkörner in einen LKW (die Idee zu dieser Aufgabe stammt im Übrigen von der Mathekiste).

Behauptung: Auf einer Party mit Gästen heißt jeder gleich.

Induktionsanfang: Wenn auf einer Party nur ein Gast ist, ist die Aussage wahr (weil es nur einen Namen gibt).

Induktionsschritt: Seien auf einer Party Gäste. Wir schicken einen raus. Dann sind auf dieser Party nur noch Gäste. Nach Induktionsvoraussetzung haben all diese Gäste den gleichen Namen. Nun holen wir den Gast, der draußen stand, wieder rein und schicken einen anderen Gast raus. Nun haben nach Induktionsvoraussetzung wieder alle den gleichen Namen. Also müssen alle Gäste den gleichen Namen haben.

Daraus folgt, dass alle Gäste auf einer Party gleich heißen.