Aufgaben zu Wurzeln – Mathe für Nicht-Freaks

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Aufgaben zur Berechnung von Wurzeln[Bearbeiten]

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Aufgabe (Berechnung von Wurzeln)

Berechne die folgenden Wurzeln, falls möglich.

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Lösung (Berechnung von Wurzeln)

  1. nach Definition.
  2. ist nicht definiert, da nicht definiert ist.
  3. nach Definition.
  4. ist nicht definiert, da nicht definiert ist.
  5. ist nicht definiert, da nicht definiert ist.
-> fehler: dritte Wurzel aus negativer Zahl ist definiert mit -3 wegen -3*-3*-3=-27

Aufgaben zur Irrationalität von Wurzeln[Bearbeiten]

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Aufgabe (Irrationalität von Wurzel 3)

Zeige die folgenden Aussagen:

  1. Ist eine natürliche Zahl durch drei teilbar, so auch ihr Quadrat.
  2. Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch drei teilbar, so auch die Zahl selbst.
  3. ist irrational.
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Wie kommt man auf den Beweis? (Irrationalität von Wurzel 3)

Teilaufgabe 1 zeigen wir durch direktes Nachrechnen.

Teilaufgabe 2 zeigen wir durch Kontraposition, indem wir zeigen, dass das Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Zahl wieder nicht durch drei teilbar ist. Dazu müssen wir zwei Fälle unterscheiden.

Teilaufgabe 3 zeigen wir analog zur Irrationalität von durch Widerspruch. Dazu müssen wir Teilaufgabe 2 verwenden.

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Beweis (Irrationalität von Wurzel 3)

Teilaufgabe 1: Sei durch teilbar. Dann existiert ein mit . Dann folgt aber

Also ist auch durch teilbar.

Teilaufgabe 2 Beweis durch Kontraposition: Sei nicht durch teilbar.

1. Fall: Es existiert ein mit . Dann folgt

Also ist nicht durch teilbar.

2. Fall: Es existiert ein mit . Dann folgt

Also ist nicht durch teilbar.

Teilaufgabe 3: Widerspruchsbeweis. Angenommen ist rational, dann existieren teilerfremde mit .

Daraus folgt . Damit ist durch teilbar. Nach Teilaufgabe 2 ist somit auch durch teilbar.

Daher existiert ein mit . Also ist , d.h. ist ebenfalls durch teilbar, und wieder mit Teilaufgabe 2 auch .

Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass und teilerfremd sind.

Aufgaben zu Intervallschachtellungen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Intervallschachtelung für Quadratwurzel)

Seien , und die Intervalle seien für alle rekursiv definiert durch und

und

Zeige:

  1. bildet eine Intervallschachtelung.
  2. für alle .
  3. .
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Lösung (Intervallschachtelung für Quadratwurzel)

Teilaufgabe 1: Nach Definition der Intervallschachtellung müssen wir zeigen:

  1. Für jedes gibt es ein mit

Zu 1.: Genauer haben wir zu zeigen:

Für alle gilt , sowie

Weiter gilt

und

Zu 2.: Für alle gilt

Setzen wir diese Abschätzung nun sukzessive fort, so erhalten wir

Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gibt es zu jedem ein mit . Also gibt es zu jedem ein mit

Nach 1. und 2. ist tatsächlich eine Intervallschachtelung.

Teilaufgabe 2: Zunächst gilt

Daraus folgt mit Hilfe der AGHM-Ungleichung

Da ist, und wegen der Monotonie der Wurzel folgt daraus

Ganz genauso folgt

und daraus

Insgesamt erhalten wir für alle :

Da auch für gilt , folgt die Behauptung für alle .

Teilaufgabe 3: Es gilt

Aufgaben zu Rechenregeln für Wurzeln[Bearbeiten]

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Aufgabe (Rechenregeln für Wurzeln)

Zeige für und :

  1. .
  2. .
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Wie kommt man auf den Beweis? (Rechenregeln für Wurzeln)

Zunächst potenzieren wir die Gleichungen, um die Wurzeln wegzubekommen und die Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten anwenden zu können.

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Beweis (Rechenregeln für Wurzeln)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Wegen folgt daraus .

Teilaufgabe 2: Es gilt

Wegen folgt daraus .