Potenzen mit rationalem Exponenten – Mathe für Nicht-Freaks

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Definition der Potenz mit rationalem Exponenten[Bearbeiten]

Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese

Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:

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Definition (Potenz mit rationalen Expoenenten)

Für reelles und rationales definieren wir

und

Außerdem setzen wir .

Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten[Bearbeiten]

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Satz (Rechenregeln)

Für und gilt

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Beweis (Rechenregeln)

Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien und , dann gelten:

Regel 1:

Regel 2:

Regel 3:

Regel 4:

Regel 5:

Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten[Bearbeiten]

Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion und die (natürliche) Logarithmusfunktion . Mit diesen ist dann für positive und reelle :

Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.