Definition der Potenz mit rationalem Exponenten [ Bearbeiten ]
Im letzten Kapitel haben wir einige Rechenregeln für die Wurzel hergeleitet. Dabei haben wir u.a. die Regel
a
l
k
=
(
a
k
)
l
{\displaystyle {\sqrt[{k}]{a^{l}}}=({\sqrt[{k}]{a}})^{l}}
gezeigt. In der Potenzschreibweise der Wurzel lautet diese
(
a
l
)
1
k
=
(
a
1
k
)
l
{\displaystyle (a^{l})^{\tfrac {1}{k}}=(a^{\tfrac {1}{k}})^{l}}
Wurzelziehen und Potenzieren lassen sich also vertauschen. Daher definieren wir allgemein:
Definition (Potenz mit rationalen Expoenenten)
Für reelles
a
>
0
{\displaystyle a>0}
und rationales
r
=
p
q
{\displaystyle r={\tfrac {p}{q}}}
definieren wir
a
r
=
a
p
q
=
a
p
q
{\displaystyle a^{r}=a^{\tfrac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}
und
a
−
r
=
a
−
p
q
=
1
a
p
q
{\displaystyle a^{-r}=a^{-{\tfrac {p}{q}}}={\tfrac {1}{\sqrt[{q}]{a^{p}}}}}
Außerdem setzen wir
0
r
=
0
{\displaystyle 0^{r}=0}
.
Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten [ Bearbeiten ]
Beweis (Rechenregeln)
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien
r
=
p
q
{\displaystyle r={\tfrac {p}{q}}}
und
s
=
p
q
′
{\displaystyle s={\tfrac {p}{q'}}}
, dann gelten:
Regel 1:
a
r
a
s
=
a
p
q
a
p
′
q
′
↓
Definition
=
a
p
q
a
p
′
q
′
↓
Wurzeln angleichen
=
a
p
q
′
q
q
′
a
p
′
q
q
q
′
↓
Rechenregel für Wurzeln
=
a
p
q
′
a
p
′
q
q
q
′
↓
Rechenregel für Potenzen
=
a
p
q
′
+
p
′
q
q
q
′
↓
Definition
=
a
p
q
′
+
p
′
q
q
q
′
=
a
p
q
′
q
q
′
+
p
′
q
q
q
′
=
a
p
q
+
p
′
q
′
=
a
r
+
s
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}a^{s}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}a^{p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'+p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'+p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}+{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r+s}\end{aligned}}}
Regel 2:
a
r
a
s
=
a
p
q
a
−
p
′
q
′
↓
Definition
=
a
p
q
1
a
p
′
q
′
↓
Wurzeln angleichen
=
a
p
q
′
q
q
′
1
a
p
′
q
q
q
′
=
a
p
q
′
q
q
′
a
p
′
q
q
q
′
↓
Rechenregel für Wurzeln
=
a
p
q
′
a
p
′
q
q
q
′
↓
Rechenregel für Potenzen
=
a
p
q
′
−
p
′
q
q
q
′
↓
Definition
=
a
p
q
′
−
p
′
q
q
q
′
=
a
p
q
′
q
q
′
−
p
′
q
q
q
′
=
a
p
q
−
p
′
q
′
=
a
r
−
s
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{a^{s}}}&=a^{\tfrac {p}{q}}a^{-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\frac {1}{\sqrt[{q'}]{a^{p'}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln angleichen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\frac {1}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&={\frac {\sqrt[{qq'}]{a^{pq'}}}{\sqrt[{qq'}]{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{\frac {a^{pq'}}{a^{p'q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pq'-p'q}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pq'-p'q}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {pq'}{qq'}}-{\tfrac {p'q}{qq'}}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{r-s}\end{aligned}}}
Regel 3:
(
a
r
)
s
=
(
a
p
q
)
p
′
q
′
↓
Definition
=
(
a
p
q
)
p
′
q
′
↓
Wurzeln und Potenz vertauschen
=
(
a
p
q
q
′
)
p
′
↓
Rechenregel für Wurzeln
=
(
a
p
q
q
′
)
p
′
↓
Wurzeln und Potenz vertauschen
=
(
a
p
)
p
′
q
q
′
↓
Rechenregel für Potenzen
=
a
p
p
′
q
q
′
↓
Definition
=
a
p
p
′
q
q
′
=
a
p
q
⋅
p
′
q
′
=
a
r
s
{\displaystyle {\begin{aligned}(a^{r})^{s}&=(a^{\tfrac {p}{q}})^{\tfrac {p'}{q'}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q'}]{({\sqrt[{q}]{a^{p}}})^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln und Potenz vertauschen}}\right.\\&=\left({\sqrt[{q'}]{\sqrt[{q}]{a^{p}}}}\right)^{p'}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&=\left({\sqrt[{qq'}]{a^{p}}}\right)^{p'}\\&\left\downarrow \ {\text{Wurzeln und Potenz vertauschen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{(a^{p})^{p'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{qq'}]{a^{pp'}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&=a^{\tfrac {pp'}{qq'}}\\&=a^{{\tfrac {p}{q}}\cdot {\tfrac {p'}{q'}}}\\&=a^{rs}\end{aligned}}}
Regel 4:
a
r
b
r
=
a
p
q
b
p
q
↓
Definition
=
a
p
q
b
p
q
↓
Rechenregel für Wurzeln
=
a
p
b
p
q
↓
Rechenregel für Potenzen
=
(
a
b
)
p
q
=
(
a
b
)
p
q
=
(
a
b
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{r}b^{r}&=a^{\tfrac {p}{q}}b^{\tfrac {p}{q}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{a^{p}b^{p}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{(ab)^{p}}}\\&=(ab)^{\tfrac {p}{q}}\\&=(ab)^{r}\end{aligned}}}
Regel 5:
a
r
b
r
=
a
p
q
b
p
q
↓
Definition
=
a
p
q
b
p
q
↓
Rechenregel für Wurzeln
=
a
p
b
p
q
↓
Rechenregel für Potenzen
=
(
a
b
)
p
q
=
(
a
b
)
p
q
=
(
a
b
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{r}}{b^{r}}}&={\frac {a^{\tfrac {p}{q}}}{b^{\tfrac {p}{q}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Definition}}\right.\\&={\frac {\sqrt[{q}]{a^{p}}}{\sqrt[{q}]{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Wurzeln}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{\frac {a^{p}}{b^{p}}}}\\&\left\downarrow \ {\text{Rechenregel für Potenzen}}\right.\\&={\sqrt[{q}]{({\frac {a}{b}})^{p}}}\\&=({\frac {a}{b}})^{\tfrac {p}{q}}\\&=({\frac {a}{b}})^{r}\end{aligned}}}
Ausblick: Potenzen mit reellen Exponenten [ Bearbeiten ]
Später werden wir noch Potenzen mit reellen Exponenten definieren. Dafür benötigen wir allerdings die Exponentialfunktion
exp
{\displaystyle \exp }
und die (natürliche) Logarithmusfunktion
ln
{\displaystyle \ln }
. Mit diesen ist dann für positive
a
{\displaystyle a}
und reelle
r
{\displaystyle r}
:
a
r
=
exp
(
r
ln
(
a
)
)
{\displaystyle a^{r}=\exp(r\ln(a))}
Wir werden sehen, dass auch für diese Verallgemeinerung dieselben Rechenregeln gelten.