Rechenregeln der Wurzel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Rechenregeln für Wurzeln

Nun zeigen wir, dass die Potenzschreibweise der $k$-ten Wurzel tatsächlich Sinn ergibt. Für Wurzeln gelten nämlich, analog zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, die folgenden Rechenregeln:

Satz (Rechenregeln für Wurzeln)

Sind $a,b\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ und $k,l,m\in \mathbb {N}$, so gilt

1. $({\sqrt[{k}]{a}})^{k}=a$ und ${\sqrt[{k}]{a^{k}}}=a$
2. Verallgemeinerung von 1: ${\sqrt[{k}]{a^{l}}}=({\sqrt[{k}]{a}})^{l}$
3. ${\sqrt[{k}]{a}}\cdot {\sqrt[{k}]{b}}={\sqrt[{k}]{ab}}$
4. ${\tfrac {\sqrt[{k}]{a}}{\sqrt[{k}]{b}}}={\sqrt[{k}]{\tfrac {a}{b}}}$
5. ${\sqrt[{l}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{kl}]{a}}$
6. ${\sqrt[{mk}]{a^{ml}}}={\sqrt[{k}]{a^{l}}}$

In Potenzschreibweise lauten die Regeln:

1. $(a^{\tfrac {1}{k}})^{k}=a$ und $(a^{k})^{\tfrac {1}{k}}=a$
2. Verallgemeinerung von 1: $(a^{l})^{\tfrac {1}{k}}=(a^{\tfrac {1}{k}})^{l}$
3. $a^{\tfrac {1}{k}}\cdot b^{\tfrac {1}{k}}=(ab)^{\tfrac {1}{k}}$
4. ${\tfrac {a^{\tfrac {1}{k}}}{b^{\tfrac {1}{k}}}}=\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{\tfrac {1}{k}}$
5. $(a^{\tfrac {1}{k}})^{\tfrac {1}{l}}=a^{\tfrac {1}{kl}}$
6. $(a^{ml})^{\tfrac {1}{mk}}=(a^{l})^{\tfrac {1}{k}}$

Wir können uns merken, dass wir mit Wurzel-Potenzen genau wie mit ganzzahligen Potenzen rechnen können. Um die Rechenregeln 2, 3, 4 und 5 beweisen zu können, müssen wir zunächst einmal zeigen, dass $x^{n}=y^{n}\implies x=y$ für $x,y\geq 0$ gilt.

Hilfssatz zum Beweis der Rechenregeln für Wurzeln

Satz

Für $x,y\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ und $n\in \mathbb {N}$ gilt: $x^{n}=y^{n}\implies x=y$

Beweis

Statt $x^{n}=y^{n}\implies x=y$ können wir die äquivalente Umformung $x^{n}-y^{n}=0\implies x-y=0$ beweisen, zeigen also, dass $x^{n}-y^{n}=(x-y)\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$

Es ist:

${\begin{aligned}(x-y)\sum _{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(x-y)\cdot x^{n-1-k}y^{k}\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}(x^{n-1-k+1}y^{k}-x^{n-1-k}y^{k+1})\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}(x^{n-k}y^{k}-x^{n-(k+1)}y^{k+1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[0.3em]&=x^{n-0}y^{0}-x^{n-[(n-1)+1]}y^{(n-1)+1}\\[0.3em]&=x^{n}\cdot 1-x^{0}y^{n}\\[0.3em]&=x^{n}-y^{n}\\[0.3em]\end{aligned}}$

Beweis (Rechenregeln für Wurzeln)

Regel 1: Die erste Teilregel folgt unmittelbar aus der Definition der $k$-ten Wurzel von $a$. Laut Definition ist die $k$-te Wurzel einer nicht-negativen reellen Zahl $a$ die nicht-negative reelle Zahl $x$ (also ${\sqrt[{k}]{a}}=x$), für die gilt: $x^{k}=a$. Und daraus folgt – ersetzt man das $x$ durch ${\sqrt[{k}]{a}}$ –, dass $({\sqrt[{k}]{a}})^{k}=a$ gilt.

Auch die zweite Teilregel ergibt sich unmittelbar aus der Wurzeldefinition. Sei hierzu $a^{k}=b$. Da $a$ als nicht-negativ vorausgesetzt wird, ist auch $b$ nicht-negativ. Laut Definition ist die $k$-te Wurzel einer nicht-negativen reellen Zahl $b$ die nicht-negative reelle Zahl $x$ (also ${\sqrt[{k}]{b}}=x$), für die gilt: $x^{k}=b$. Durch Rücksubstitution ergibt sich: $x^{k}=a^{k}$ bzw. (da $a$ nicht-negativ ist) $x=a$. Somit ist: $a=x={\sqrt[{k}]{b}}={\sqrt[{k}]{a^{k}}}$. Also ist ${\sqrt[{k}]{a^{k}}}=a$.

Regel 2: Wir beweisen zunächst einmal die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit $k$ potenzierten Gleichung und dürfen dann aufgrund des Hilfssatzes folgern, dass sie auch ohne die Potenz gilt. Es ist:

$({\sqrt[{k}]{a^{l}}})^{k}\,{\overset {1.}{=}}\,a^{l}\,{\overset {1.}{=}}\,(({\sqrt[{k}]{a}})^{k})^{l}=(({\sqrt[{k}]{a}})^{l})^{k}$

Damit ist

$({\sqrt[{k}]{a^{l}}})^{k}=(({\sqrt[{k}]{a}})^{l})^{k}$

Durch Anwendung des Hilfsatzes erhalten wir nun die zu beweisende Gleichung ${\sqrt[{k}]{a^{l}}}=({\sqrt[{k}]{a}})^{l}$.

Regel 3: Wir beweisen wiederum die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit $k$ potenzierten Gleichung und dürfen dann aufgrund des Hilfssatzes folgern, dass sie auch ohne die Potenz gilt:

$({\sqrt[{k}]{a}}\cdot {\sqrt[{k}]{b}})^{k}=({\sqrt[{k}]{a}})^{k}({\sqrt[{k}]{b}})^{k}\,{\overset {1.}{=}}\,ab\,{\overset {1.}{=}}\,({\sqrt[{k}]{ab}})^{k}$

Durch Anwendung des Hilfsatzes erhalten wir nun die zu beweisende Gleichung ${\sqrt[{k}]{a}}\cdot {\sqrt[{k}]{b}}={\sqrt[{k}]{ab}}$.

Regel 4: Wiederum zeigen wir die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit $k$ potenzierten Gleichung:

$({\tfrac {\sqrt[{k}]{a}}{\sqrt[{k}]{b}}})^{k}={\tfrac {({\sqrt[{k}]{a}})^{k}}{({\sqrt[{k}]{b}})^{k}}}\,{\overset {1.}{=}}\,{\tfrac {a}{b}}\,{\overset {1.}{=}}\,({\sqrt[{k}]{\tfrac {a}{b}}})^{k}$

Daraus folgt (siehe Hilfssatz), dass ${\tfrac {\sqrt[{k}]{a}}{\sqrt[{k}]{b}}}={\sqrt[{k}]{\tfrac {a}{b}}}$.

Regel 5: Auch in diesem Fall zeigen wir zunächst die Gültigkeit der auf beiden Seiten mit $k$ potenzierten Gleichung

$({\sqrt[{l}]{\sqrt[{k}]{a}}})^{kl}=(({\sqrt[{l}]{\sqrt[{k}]{a}}})^{l})^{k}\,{\overset {1.}{=}}\,({\sqrt[{k}]{a}})^{k}\,{\overset {1.}{=}}\,({\sqrt[{kl}]{a}})^{kl}$

Daraus folgt (siehe Hilfssatz), dass ${\sqrt[{l}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{kl}]{a}}$.

Regel 6: Es gilt

${\sqrt[{mk}]{a^{ml}}}\,{\overset {5.}{=}}\,{\sqrt[{k}]{\sqrt[{m}]{(a^{l})^{m}}}}\,{\overset {1.}{=}}\,{\sqrt[{k}]{a^{l}}}$

Nützliche Ungleichungen

Ungleichung vom arithmetischen, geometrischen und harmonischem Mittel

Definition (Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel)

Für positive reelle Zahlen $a$ und $b$ ist das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel definiert als

$A(a,b)={\frac {a+b}{2}}$, $G(a,b)={\sqrt {ab}}$, $H(a,b)={\frac {2ab}{a+b}}$

Es gilt die folgende Ungleichung

Satz (AGHM-Ungleichung)

Für positive reelle $a$ und $b$ gilt

$H(a,b)\leq G(a,b)\leq A(a,b)$ oder ausgeschrieben ${\frac {2ab}{a+b}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}$

Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn $a=b$ ist.

Beweis (AGHM-Ungleichung)

1.Ungleichung: Es gilt

${\frac {2ab}{a+b}}\leq {\sqrt {ab}}\iff {\frac {(2ab)^{2}}{(a+b)^{2}}}\leq ({\sqrt {ab}})^{2}\iff {\frac {4a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}}\leq ab\iff 4ab\leq (a+b)^{2}\iff 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}\iff (a-b)^{2}\geq 0$

2.Ungleichung:

Aufgabe (AGM-Ungleichung)

Zeige die 2. Ungleichung.

Beweis (AGM-Ungleichung)

Hier gilt

${\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}\iff ab\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4}}\iff 4ab\leq a^{2}+2ab+b^{2}\iff 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}\iff (a-b)^{2}\geq 0$

Gleichheit: Es gilt

${\frac {2ab}{a+b}}={\sqrt {ab}}\iff (a-b)^{2}=0\iff a-b=0\iff a=b$, sowie ${\sqrt {ab}}={\frac {a+b}{2}}\iff (a-b)^{2}=0\iff a=b$

Monotonieungleichung

Aufgabe (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Zeige für $0\leq a\leq b$ und $k\in \mathbb {N}$:

$0\leq {\sqrt[{k}]{b}}-{\sqrt[{k}]{a}}\leq {\sqrt[{k}]{b-a}}$

Zusammenfassung des Beweises (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Wir zeigen beide Ungleichungen mittels Widerspruch, indem wir $0>{\sqrt[{k}]{b}}-{\sqrt[{k}]{a}}$ bzw. ${\sqrt[{k}]{b}}-{\sqrt[{k}]{a}}>{\sqrt[{k}]{b-a}}$ annehmen.

Bei der ersten Ungleichung benötigen wir die Aussage $0\leq x<y\Rightarrow x^{k}<y^{k}$, bei der zweiten den Binomischen Lehrsatz für einen Widerspruch.

Beweis (Nützliche Wurzel-Ungleichung)

Ungleichung 1: Wir nehmen an, es gilt $0>{\sqrt[{k}]{b}}-{\sqrt[{k}]{a}}\Leftrightarrow {\sqrt[{k}]{a}}>{\sqrt[{k}]{b}}$. Wegen $0\leq x<y\Rightarrow x^{k}<y^{k}$ müsste dann aber gelten $({\sqrt[{k}]{a}})^{k}>({\sqrt[{k}]{b}})^{k}\Leftrightarrow a>b$. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $a\leq b$.

Ungleichung 2: Hier nehmen wir an, es gilt ${\sqrt[{k}]{b}}-{\sqrt[{k}]{a}}>{\sqrt[{k}]{b-a}}\Leftrightarrow {\sqrt[{k}]{b}}>{\sqrt[{k}]{a}}+{\sqrt[{k}]{b-a}}$. Wegen $0\leq x<y\Rightarrow x^{k}<y^{k}$ müsste dann aber gelten

${\begin{aligned}\overbrace {({\sqrt[{k}]{b}})^{k}} ^{=b}&>({\sqrt[{k}]{a}}+{\sqrt[{k}]{b-a}})^{k}\\&\left\downarrow \ {\text{Binomischer Lehrsatz}}\right.\\&=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}({\sqrt[{k}]{a}})^{i}({\sqrt[{k}]{b-a}})^{k-i}\\&=\underbrace {({\sqrt[{k}]{b-a}})^{k}} _{=b-a}+\underbrace {\sum _{i=1}^{k-1}{\binom {k}{i}}({\sqrt[{k}]{a}})^{i}({\sqrt[{k}]{b-a}})^{k-i}} _{\geq 0}+\underbrace {({\sqrt[{k}]{a}})^{k}} _{=a}\\&\geq b-a+a\\&=b\end{aligned}}$

Dies ist ein Widerspruch.

Bemerkungen zur Ungleichung

1. Ist $a=0$, $a=b$ oder $k=1$, so gilt "=", in allen anderen Fällen "<".
2. Die Ungleichung hat durchaus praktische Anwendungen. Die erste Ungleichung besagt, dass die Wurzelfunktion (streng) monoton steigend ist. Mit Hilfe der zweiten Ungleichung lässt sich die Wurzelregel für Grenzwerte und die Stetigkeit der Wurzelfunktion beweisen.

To-Do:

Gegebenenfalls sollte hier beweisen werden, dass die Wurzelfunktion stetig ist.