Potenzgleichungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lösungen der Potenzgleichung[Bearbeiten]

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To-Do:

@Stephan Kulla: Abschnitt überarbeiten

In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung zu bestimmen.

1. Fall: a ist 0[Bearbeiten]

Hier ist die einzige Lösung der Gleichung für alle . Zum einen folgt aus , dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist für alle , da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist die einzige Lösung von .

2. Fall: a positiv und n gerade[Bearbeiten]

Sei und mit eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage , falls eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist , so ist , und daher . Ist andererseits , so ist , und somit .

Damit folgt für unsere Potenzgleichung

Nun ist aber . Also ist nach der Definition der Wurzel . Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung genau die beiden Lösungen:

und

3. Fall: a negativ und n gerade[Bearbeiten]

In diesem Fall hat die Gleichung keine Lösung, wie wir oben schon erwähnt hatten. Es gilt nämlich für alle reellen . Damit gilt aber auch .

4. Fall: a positiv und n=2k+1 ungerade[Bearbeiten]

In diesem Fall hat die Gleichung die eindeutige Lösung

Nach Definition der Wurzel ist die einzige positive Lösung der Potenzgleichung . Weitere negative Lösungen kann diese nicht haben, denn für jedes gilt

5. Fall: a negativ und n=2k+1 ungerade[Bearbeiten]

In diesem Fall hat die Gleichung die eindeutige Lösung

Aufgabe (Lösung der Potenzgleichung)

Begründe dies, indem du den 5. Fall auf den 4. Fall zurückführst.

Lösung (Lösung der Potenzgleichung)

Zunächst gilt . Da ungerade ist, folgt . Also ist die Potenzgleichung äquivalent zu

Da , ist dies nach Fall 4 äquivalent zu , also zu . Dies bedeutet aber

Verständnisfrage: Wie lauten die Lösungen der folgenden Potenzgleichungen, falls vorhanden:

Antworten:

  • Die Lösungen lauten und .
  • hat keine Lösung.
  • Die Lösung lautet .
  • Die Lösung lautet .

Anwendung: abc-Formel[Bearbeiten]

Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen , die für beliebige die Gleichung

erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h. ) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.

Setzen wir nun und , so erhalten wir die Potenzgleichung . Diese ist lösbar, falls

ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen und . Also ist

und

Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist

Wir erhalten damit die zwei Lösungen

und

Anmerkungen zur abc-Formel:

  • Die Zahl , welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt

  • Setzen wir , und , so erhalten wir die Lösungen der Gleichung mit der pq-Formel:

Aufgabe (Lösung quadratischer Gleichungen)

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

Beweis (Lösung quadratischer Gleichungen)

  1. Mit der abc-Formel erhalten wir . Also lauten die Lösungen und .
  2. Mit der pq-Formel erhalten wir . Also erhalten wir als einzige Lösung der Gleichung .
  3. Hier ist . Also besitzt die Gleichung keine Lösung.
  4. Es gilt . Also lauten die Lösungen und .
  5. Es gilt . Also lauten die Lösungen und .
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To-Do:

@Benutzer:Stephan Kulla: Abschnitt Korrektur lesen.