Aufgaben zur Irrationalität von Wurzeln
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Aufgabe (Irrationalität von Wurzel 3)
Zeige die folgenden Aussagen:
- Ist eine natürliche Zahl durch drei teilbar, so auch ihr Quadrat.
- Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch drei teilbar, so auch die Zahl selbst.
ist irrational.
Wie kommt man auf den Beweis? (Irrationalität von Wurzel 3)
Teilaufgabe 1 zeigen wir durch direktes Nachrechnen.
Teilaufgabe 2 zeigen wir durch Kontraposition, indem wir zeigen, dass das Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Zahl wieder nicht durch drei teilbar ist. Dazu müssen wir zwei Fälle unterscheiden.
Teilaufgabe 3 zeigen wir analog zur Irrationalität von
durch Widerspruch. Dazu müssen wir Teilaufgabe 2 verwenden.
Aufgabe (Intervallschachtelung für Quadratwurzel)
Seien
, und die Intervalle
seien für alle
rekursiv definiert durch
und
![{\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}\ (=H(a_{n},b_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c721fc5222c9114241d43574ef0d5f4cd38e94)
und
Zeige:
bildet eine Intervallschachtelung.
für alle
.
.
Lösung (Intervallschachtelung für Quadratwurzel)
Teilaufgabe 1: Nach Definition der Intervallschachtellung müssen wir zeigen:
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq I_{n}=[a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cdde88a6cdddd5f9cc9b85a0a6b64f20d450d8)
- Für jedes
gibt es ein
mit ![{\displaystyle |I_{n}|=b_{N}-a_{N}<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9233180df192638d7cb55b620e368014228089)
Zu 1.: Genauer haben wir zu zeigen:
Für alle
gilt
, sowie
Weiter gilt
und
Zu 2.: Für alle
gilt
Setzen wir diese Abschätzung nun sukzessive fort, so erhalten wir
Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gibt es zu jedem
ein
mit
. Also gibt es zu jedem
ein
mit
Nach 1. und 2. ist
tatsächlich eine Intervallschachtelung.
Teilaufgabe 2: Zunächst gilt
Daraus folgt mit Hilfe der AGHM-Ungleichung
Da
ist, und wegen der Monotonie der Wurzel folgt daraus
Ganz genauso folgt
und daraus
Insgesamt erhalten wir für alle
:
Da auch für
gilt
, folgt die Behauptung
für alle
.
Teilaufgabe 3: Es gilt
Wie kommt man auf den Beweis? (Rechenregeln für Wurzeln)
Zunächst potenzieren wir die Gleichungen, um die Wurzeln wegzubekommen und die Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten anwenden zu können.
Beweis (Rechenregeln für Wurzeln)
Teilaufgabe 1: Es gilt
Wegen
folgt daraus
.
Teilaufgabe 2: Es gilt
Wegen
folgt daraus
.