MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 12

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${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$	DEINE FESTE BEGLEITERIN
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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
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THEORIE

Klassen

Integral von Potenzfunktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen.

$i)\ x(y)=y^{7}\quad ii)\ a(c)=(b+1)\ c^{b}\quad iii)\ z(w)={\frac {d}{w}}$

Antwort

$\textstyle \textstyle i)\ {\frac {1}{8}}\ y^{8}+c\qquad ii)\ =c^{b+1}+c\qquad$ $\textstyle iii)\ d\ \ln w+c\qquad$

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Integrale von weiteren Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
an der Stelle 2,4 und ihrer Stammfunktion zwischen den
Stellen −2,3 und −1

$\ b(t)=2\ \sin t-{\frac {5}{t}}+{\frac {0{,}2}{t^{4}}}+4$
$\ v(b)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{b^{3}}}}-\cos b+b-b^{-3}$
$\ t(g)=5\ e^{g}-{\sqrt[{4}]{\frac {625}{g^{5}}}}-\sin g\quad$

Antwort

$\ \int b(t)dt=-{2}\ \cos t-5\ \ln |t|-{\frac {0{,}2}{3v^{3}}}+4\ t+c\ \quad b(2{,}4)\approx 3{,}27\quad \int _{-2{,}3}^{-1}b(v)dv\approx 7{,}01$
$\ \int v(b)db=20\ {\sqrt[{4}]{b}}-\sin b+{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {1}{2\ t^{2}}}+c\ \quad v(2{,}4)\approx 5{,}66\quad \int _{-2{,}3}^{-1}v(b)db\ {\text{undefinierbar}}$
$\ \int t(g)dg=5\ e^{g}-{\frac {20\ }{\ {\sqrt[{4}]{g}}}}+\cos g+c\ \quad t(2{,}4)\approx 52{,}8\quad \int _{-2{,}3}^{-1}t(g)dg\$ undefiniert

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Fläche zwischen zwei Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen

$\ g(x)=2\log(0{,}5x-2)\$ und $\ f(x)=-0{,}5x^{3}+2\$
und zwischen den Stellen 2 und 3.

Antwort

$\int g(x)dx\$ erst ab 4 definierbar

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Normalverteilung[Bearbeiten]

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung[Bearbeiten]

Der

Bluthochdruck ist einer der „vier großen Gesundheitsrisikofaktoren“. Blutdruck ist Normalverteilt und bei gesunden Erwachsenen gilt:

\mu =119{,}2\ mm\,Hg,\ \sigma =7{,}4\ mm\,Hg.\

Laut WHO-Definition hat eine Person Bluthochdruck ab einen Wert von

140\ mm\,Hg.\

Welcher Anteil der gesunden Menschen wäre nach dieser Definition als krank eingestuft?

In welchem symmetrischen Intervall liegen 30% der Fälle?

Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus!

Welche Eigenschaften hat der Punkt C?

Beschriften Sie die x-Achse!

Zeichnen Sie eine Verteilung mit größerem

\mu

und größerem

\sigma

Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass der Blutdruck kleiner als 114,8 mmHg ist!

Im nebenstehenden Diagramm ist der Erwartungswert der "spitzeren" Funktion 12,5 und die Standardabweichung 3.

Wie viel ist der Erwartungswert der anderen Funktion?

Die Standardabweichung dieser anderen Funktion ist 4. Beschriften Sie die Stellen, die eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen!

Antwort

z\approx 0{,}2\%

ca. zwischen 116,3 und 122,1 mmHg

111,8 119,2 bzw. 126,6 mmHg

Wendepunkt (Stelle mit einer

\sigma

Abstand von

\mu

Bei

\mu

119,2 mmHg, jede Einheit

2{,}4{\dot {6}}

m

die ganz flache (blaue) im Vergleich zur lila links

Fläche links von 114,8 schraffieren (fängt ein bisschen links von der Mitte an)

Auch 12,5

Auf der x-Achse, 8 kleine Einheiten links und rechts von

\mu

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Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten[Bearbeiten]

Der Hämoglobinwert (ähnlich wie Hämatokrit) ist normalverteilt. 20% der Frauen werden von einer Blutspende ausgeschlossen, weil dieser Wert unterhalb von 125 g/l liegt. Wie viel hätte die Standardabweichung sein sollen, wenn der Erwartungswert 133 g/l wäre?

85% der Männer haben einen Wert über 135 g/l und dürfen nach diesem Kriterium Blut spenden. Wie viel soll der Erwartungswert sein, wenn wir annehmen, dass die Standardabweichung 4,7 g/l ist? Zwischen welchen (symmetrischen) Werten liegt dann 95% der Männer?

Antwort

$\sigma \approx 9{,}51\ {\text{g/l}}\quad -/-\quad \mu \approx 139{,}9,\$ ${\text{Grenzen: }}130{,}7-149{,}1\ {\text{g/l}}$

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Normalverteilung und Funktionen[Bearbeiten]

Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass
Standardabweichung und Erwartungswert voneinander abhängig sind:

\textstyle \sigma ={\mu }^{0{,}4}

.
Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein,
damit 95 % der Werte oberhalb vom Wert 69 bleibt?

Antwort

$\mu \approx 78{,}4\ \ \sigma \approx 5{,}7$

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