Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Nützliche Identitäten von Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Aufgabe (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Zeige, dass für ,

gilt.

Beweis (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Wir beginnen mit der rechten Seite:

Diese Identität kann beim Lösen von Integralen hilfreich sein.

Aufgabe (Produkt von Sinusfunktionen)

Seien und . Zeige

Beweis (Produkt von Sinusfunktionen)

Wir fangen wieder auf der rechten Seite an und nutzen die Additionstheoreme.

Aufgabe (Quadrat des Sinus)

Sei . Zeige, dass

gilt.

Beweis (Quadrat des Sinus)

Diese Aussage ist ein Spezialfall der vorherigen Aufgabe. Wir setzen dafür :

Alternativer Beweis (Quadrat des Sinus)

Wir können die Aufgabe aber auch anders lösen:

Nullstellen von Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

Aufgabe (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Zeige, dass .

Man soll zeigen, dass für alle mit gilt und dass für alle gilt .

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass für alle und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle gilt .

Das zeigen wir durch Kontraposition. Wir betrachten ein mit und zeigen .

Sei mit für und es gelte .

Frage: Wie kann man durch die Exponentialfunkton und mit und darstellen?

Wegen folgt .

Frage: Wie kann man weiter umformen? Bringe alle Terme mit auf eine Seite und alle Terme mit auf die andere Seite!

Es gilt also . Nun multiplizieren wir beide Seiten mit (wir haben bei den Aufgaben zur Exponentialfunktion gezeigt, dass das eine Zahl ungleich ist) und erhalten

Frage: Was kann man daraus über herleiten? Betrachte den Betrag der Zahlen!

Es gilt , da reell ist und somit komplett imaginär ist. Wegen ist und aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion für reelle Argumente muss gelten. Daraus folgt wiederum .

Die Zahl ist also reell. Die Menge aller reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist . Daher ist und die Aussage ist bewiesen.

Beweis (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass für alle und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle gilt .

Sei also mit , so dass . Dann gilt

Folglich ist

Damit folgt . Wegen und ist . Also ist .

Daraus folgt, dass eine reelle Zahl ist. Die Menge der reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist aber genau . Also ist dies auch die Menge der komplexen Nullstellen der Sinusfunktion.

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To-Do:
  • zeigen

Aufgabe

Zeige, dass ist.

Man soll zeigen, dass für alle mit gilt und dass für alle gilt .

Man soll die Aufgabe zu den Nullstellen der Sinusfunktion nutzen.

Beweis

Es gilt für alle , dass . Somit ist