Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Nützliche Identitäten von Sinus und Kosinus

Aufgabe (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Zeige, dass für $x\in \mathbb {R}$,

$\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\sin(2x)\right)$

gilt.

Beweis (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Wir beginnen mit der rechten Seite:

${\begin{aligned}&\sin(2x)\\[0.3em]=\ &\sin(x+x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Sinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)\\[0.3em]=\ &2\sin(x)\cos(x)\end{aligned}}$

Diese Identität kann beim Lösen von Integralen hilfreich sein.

Aufgabe (Produkt von Sinusfunktionen)

Seien $x$ und $y\in \mathbb {R}$. Zeige

$\sin(x)\sin(y)={\frac {1}{2}}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$

Beweis (Produkt von Sinusfunktionen)

Wir fangen wieder auf der rechten Seite an und nutzen die Additionstheoreme.

${\begin{aligned}&\cos(x-y)-\cos(x+y)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(-y)-\sin(x)\sin(-y)-\left(\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \sin(-y)=-\sin(y){\text{ und }}\cos(-y)=\cos(y)\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)-\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\\[0.3em]=\ &2\sin(x)\sin(y)\end{aligned}}$

Aufgabe (Quadrat des Sinus)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass

$\sin ^{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(1-\cos(2x)\right)$

gilt.

Beweis (Quadrat des Sinus)

Diese Aussage ist ein Spezialfall der vorherigen Aufgabe. Wir setzen dafür $y=x$:

${\begin{aligned}&\sin ^{2}(x)=\sin(x)\sin(x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \sin(x)\sin(y)={\frac {1}{2}}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(\cos(x-x)-\cos(x+x)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \cos(0)=1\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(1-\cos(2x)\right)\end{aligned}}$

Alternativer Beweis (Quadrat des Sinus)

Wir können die Aufgabe aber auch anders lösen:

${\begin{aligned}&1-\cos(2x)\\[0.3em]=\ &1-\cos(x+x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &1-\left(\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ 1=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\right.}\\[0.3em]=\ &\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)\\[0.3em]=\ &2\sin ^{2}(x)\end{aligned}}$

Nullstellen von Sinus und Kosinus

Aufgabe (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Zeige, dass $\sin ^{-1}\{0\}=\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$.

Man soll zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z\notin \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$ und dass für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(w)=0$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass $\sin(w)=0$ für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$.

Das zeigen wir durch Kontraposition. Wir betrachten ein $z\in \mathbb {C}$ mit $\sin(z)=0$ und zeigen $z\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$.

Sei $z\in \mathbb {C}$ mit $z=a+ib$ für $a,b\in \mathbb {R}$ und es gelte $\sin(z)=0$.

Frage: Wie kann man $\sin(z)$ durch die Exponentialfunkton und mit $a$ und $b$ darstellen?

${\begin{aligned}&\sin(z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Formel der Sinusfunktion mit der Exponentialfunktion}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2i}}(\exp(iz)-\exp(-iz))={\frac {1}{2i}}(\exp(i(a+ib)-\exp(-i(a+ib))\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2i}}(\exp(-b+ia)-\exp(b-ia))\\[0.3em]\end{aligned}}$

Wegen $\sin(z)=0$ folgt $\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)=0$.

Frage: Wie kann man $\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)=0$ weiter umformen? Bringe alle Terme mit $a$ auf eine Seite und alle Terme mit $b$ auf die andere Seite!

Es gilt also $\exp(-b+ia)=\exp(b-ia)$. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit $\exp(b+ia)$ (wir haben bei den Aufgaben zur Exponentialfunktion gezeigt, dass das eine Zahl ungleich $0$ ist) und erhalten

$\exp(2b)=\exp(2ia)$

Frage: Was kann man daraus über $b$ herleiten? Betrachte den Betrag der Zahlen!

Es gilt $|\exp(2ia)|=1$, da $a$ reell ist und somit $2ia$ komplett imaginär ist. Wegen $b\in \mathbb {R}$ ist $\exp(2b)\in \mathbb {R}$ und aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion für reelle Argumente muss $\exp(2b)=1$ gelten. Daraus folgt wiederum $b=0$.

Die Zahl $z$ ist also reell. Die Menge aller reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist $\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$. Daher ist $z\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und die Aussage ist bewiesen.

Beweis (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass $\sin(w)=0$ für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$.

Sei also $z=a+ib\in \mathbb {C}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$, so dass $\sin(z)=0$. Dann gilt

$0=\sin(a+ib)={\frac {1}{2i}}\left(\exp(i(a+ib))-\exp(-i(a+ib))\right)={\frac {1}{2i}}\left(\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)\right)$

Folglich ist

${\frac {\exp(ia)}{\exp(b)}}=\exp(-b+ia)=\exp(b-ia)={\frac {\exp(b)}{\exp(ia)}}$

Damit folgt $\exp(2b)=\exp(2ia)$. Wegen $|\exp(2ia)|=1$ und $b\in \mathbb {R}$ ist $\exp(2b)=1$. Also ist $b=0$.

Daraus folgt, dass $z$ eine reelle Zahl ist. Die Menge der reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist aber genau $\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$. Also ist dies auch die Menge der komplexen Nullstellen der Sinusfunktion.

To-Do:

• $\sin ^{-1}\{0\}\cap \mathbb {R} =\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ zeigen

Aufgabe

Zeige, dass $\cos ^{-1}\{0\}=\{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\}$ ist.

Man soll zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z\notin \{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}|k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\cos(z)\neq 0$ und dass für alle $w\in \{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}|k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\cos(w)=0$.

Man soll die Aufgabe zu den Nullstellen der Sinusfunktion nutzen.

Beweis

Es gilt für alle $z\in \mathbb {C}$, dass $\cos(z)=\sin(z+{\frac {\pi }{2}})$. Somit ist

$\cos ^{-1}\{0\}=\{x+{\frac {\pi }{2}}{\Big |}x\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}\}=\{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\}$