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Satz (Antisymmetrie des Sinus)
Für alle
gilt
.
Beweis (Antisymmetrie des Sinus)
Sei
. Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:
Satz (Symmetrie des Kosinus)
Für alle
gilt
.
Beweis (Symmetrie des Kosinus)
Sei
. Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:
Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit
beziehungsweise
für
. Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.
To-Do:
- Einführung schreiben
- Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
- mit Bild
Trigonometrischer Pythagoras[Bearbeiten]
Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.
To-Do:
- Einleitung schreiben
- anschaulich die Identität erklären
Satz (Trigonometrischer Pythagoras)
Für alle
gilt
To-Do:
Wie kommt man auf den beweis
Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)
Sei
, dann gilt
Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:
Alternativer Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)
Sei
. Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:

und
Nun berechnen wir
To-Do:
Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern
Definition von
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Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion.
Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe
,
denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge
. Somit ist auch anschaulich klar, dass
gilt.
Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen.
Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl
rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von
als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.
Die Idee ist nun,
einfach so zu definieren, dass
gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass
die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll (
ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.
Satz
Die Funktion
besitzt eine kleinste positive Nullstelle.
Zusammenfassung des Beweises
Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass
gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert
angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.
Jetzt können wir endlich
definieren.
Definition (Kreiszahl
)
Die Kreiszahl
ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:
Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass
gilt. Wir haben also
.
Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion[Bearbeiten]
Dass
die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhalten
der Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass
bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz
unmittelbar
aus den Funktionswerten auf
hervorgehen.
Verhalten auf
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Die Kosinusfunktion auf dem Intervall
![{\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c406038f382a4125601d91fe4ee36262cbb60fef)
Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt
, also
, sodass wir den Kosinus als Funktion
auffassen können.
Wäre
für ein
, so gäbe es wegen
nach dem Zwischenwertsatz ein
mit
,
doch das steht im Widerspruch dazu, dass
die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall
sogar als Funktion
auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.
Satz
Die Funktion
ist bijektiv und streng monoton fallend.
Beweis
An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten
und
. Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen
und
alle Werte aus
angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität.
Seien also
mit
. Wir wollen
zeigen. Wir führen die Zahlen
und
ein.
Dann sind nämlich
und wir haben
sowie
(damit ist
). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun
Falls
und
beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht
.
Andernfalls gilt
oder
. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein
mit
.
Damit ist
Weil aber
die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich
ist, muss
gelten.
Wegen
ist demnach
. Daraus folgt jedoch
im Widerspruch zu
.
Fortsetzung auf
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Wir stellen zunächst fest, dass sich aus
folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle
beschreiben könnte.
Satz
Für alle
gilt
Beweis
Es gilt
Daraus folgt die Behauptung.
Indem wir
in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall
eine Funktion
darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.
Insgesamt ergibt sich also:
Satz
Die Funktion
ist bijektiv und streng monoton fallend.
Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.
Fortsetzung auf
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Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.
Satz
Für alle
gilt
Beweis
Wir schreiben in obigem Satz
anstelle von
und erhalten
Zusammen mit
folgt die Behauptung.
Indem wir nun
wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall
die entsprechenden Werte auf dem Intervall
lediglich gespiegelt werden.
Die Einschränkungen
und
sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.
Fortsetzung auf
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Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:
Satz
Für alle
gilt
Beweis
Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten
Auf den Intervallen
verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall
untersucht haben.
Mit anderen Worten:
Satz
Für alle
ist
bijektiv und streng monoton fallend,
bijektiv und streng monoton fallend,
bijektiv und streng monoton steigend,
bijektiv und streng monoton steigend.
Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall
zurückführen lassen.
Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]
Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte
,
und
angenommen werden.
Wir haben bereits gezeigt, dass
für alle
gilt. Wir beweisen jetzt, dass
die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als
-periodische Funktion zu bezeichnen.
Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von
, womit
die kleinste Periodenlänge ist.
Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion[Bearbeiten]
In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leicht
auf die Sinusfunktion übertragen.
Funktionswert bei
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Wir überlegen uns zunächst, was
ist. Da
gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort
.
Es gilt also entweder
oder
. Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für
folgende Abschätzung:
Wir wissen ja, dass
gilt. Somit ist
und es folgt
.
Zusammenhang zur Kosinusfunktion[Bearbeiten]
Satz
Für alle
gilt
Beweis
Nach dem Additionstheorem gilt
Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um
nach rechts.
Verhalten auf
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Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz
leicht bestimmen.
Satz
Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge
und für alle
ist
bijektiv und streng monoton steigend,
bijektiv und streng monoton fallend,
bijektiv und streng monoton fallend,
bijektiv und streng monoton steigend.
Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]
Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um
nach rechts.
Ableitung und Integral[Bearbeiten]
Satz (Ableitung vom Sinus)
Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle
gilt:
Beweis (Ableitung vom Sinus)
Für
ist
Satz (Ableitung des Kosinus)
Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit
Beweis (Ableitung des Kosinus)