Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Überblick[Bearbeiten]

Symmetrieverhalten[Bearbeiten]

Sinus[Bearbeiten]

Satz (Antisymmetrie des Sinus)

Für alle gilt .

Beweis (Antisymmetrie des Sinus)

Sei . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

Kosinus[Bearbeiten]

Satz (Symmetrie des Kosinus)

Für alle gilt .

Beweis (Symmetrie des Kosinus)

Sei . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit beziehungsweise für . Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.

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To-Do:
  • Einführung schreiben
  • Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
  • mit Bild

Satz (Additionstheoreme)

Für reelle Zahlen und gilt

Wie kommt man auf den Beweis? (Additionstheoreme)

Aus der Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass für gilt . Dadurch können wir dann auch und in Abhängigkeit von darstellen. Nämlich als und als . Also können wir so auch und für betrachten.

Außerdem kann es nützlich sein, sowie für komplexe Zahlen zu betrachten.

Beweis (Additionstheoreme)

Zuerst betrachten wir zwei komplexe Zahlen . Dann gilt

Somit folgt

und

Außerdem wissen wir, für gilt . Folglich gilt

, sowie

Seien nun und , dann gilt

Genauso folgt auch

Alternativer Beweis (Additionstheoreme)

Wir können den Satz ebenso beweisen, indem wir die rechte Seite explizit ausrechnen. Dafür nutzen wir die folgende Definition von und : Für gilt

und

Seien nun und dann folgt

Trigonometrischer Pythagoras[Bearbeiten]

Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.

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To-Do:
  • Einleitung schreiben
  • anschaulich die Identität erklären

Satz (Trigonometrischer Pythagoras)

Für alle gilt

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To-Do:

Wie kommt man auf den beweis

Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei , dann gilt

Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:

Alternativer Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei . Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:

und

Nun berechnen wir

Stetigkeit[Bearbeiten]

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To-Do:

Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern

Definition von [Bearbeiten]

Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion. Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe , denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge . Somit ist auch anschaulich klar, dass gilt.

Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen. Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.

Die Idee ist nun, einfach so zu definieren, dass gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll ( ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.

Satz

Die Funktion besitzt eine kleinste positive Nullstelle.

Zusammenfassung des Beweises

Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.

Beweis

Es gilt , denn

Weil die Kosinusfunktion stetig ist und gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .

Sei die Menge aller positiven Nullstellen des Kosinus. Wir haben gerade gezeigt. Somit existiert das Infimum . Wir wollen zeigen. Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Dann gilt

Hier wurde die Folgenstetigkeit von angewandt. Das Infimum ist also ebenfalls eine Nullstelle des Kosinus. Aber ist es auch eine positive Nullstelle? Da eine untere Schranke an ist und die kleinste untere Schranke ist, gilt . Doch ist unmöglich, da sonst wäre. Also ist und daher . Folglich ist das Minimum der Menge .

Jetzt können wir endlich definieren.

Definition (Kreiszahl )

Die Kreiszahl ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:

Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass gilt. Wir haben also .

Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion[Bearbeiten]

Dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhalten der Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz unmittelbar aus den Funktionswerten auf hervorgehen.

Verhalten auf [Bearbeiten]

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall

Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt , also , sodass wir den Kosinus als Funktion auffassen können. Wäre für ein , so gäbe es wegen nach dem Zwischenwertsatz ein mit , doch das steht im Widerspruch dazu, dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall sogar als Funktion auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.

Satz

Die Funktion ist bijektiv und streng monoton fallend.

Beweis

An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten und . Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen und alle Werte aus angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität. Seien also mit . Wir wollen zeigen. Wir führen die Zahlen und ein. Dann sind nämlich und wir haben sowie (damit ist ). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun

Falls und beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht . Andernfalls gilt oder . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein mit . Damit ist

Weil aber die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich ist, muss gelten. Wegen ist demnach . Daraus folgt jedoch im Widerspruch zu .

Fortsetzung auf [Bearbeiten]

Wir stellen zunächst fest, dass sich aus folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle beschreiben könnte.

Satz

Für alle gilt

Beweis

Es gilt

Daraus folgt die Behauptung.

Indem wir in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall eine Funktion darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-0000009E-QINU`"' geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-0000009F-QINU`"' hervor

Insgesamt ergibt sich also:

Satz

Die Funktion ist bijektiv und streng monoton fallend.

Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.

Fortsetzung auf [Bearbeiten]

Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.

Satz

Für alle gilt

Beweis

Wir schreiben in obigem Satz anstelle von und erhalten

Zusammen mit folgt die Behauptung.

Indem wir nun wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall die entsprechenden Werte auf dem Intervall lediglich gespiegelt werden.

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-000000AB-QINU`"' geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-000000AC-QINU`"' hervor

Die Einschränkungen und sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.

Fortsetzung auf [Bearbeiten]

Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:

Satz

Für alle gilt

Beweis

Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten

Auf den Intervallen verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall untersucht haben.

Die Kosinusfunktion geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-000000B5-QINU`"' hervor

Mit anderen Worten:

Satz

Für alle ist

  • bijektiv und streng monoton fallend,
  • bijektiv und streng monoton fallend,
  • bijektiv und streng monoton steigend,
  • bijektiv und streng monoton steigend.

Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall zurückführen lassen.

Die Kosinusfunktion geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall '"`UNIQ--postMath-000000BC-QINU`"' hervor

Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]

Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte , und angenommen werden.

Satz

Für alle gilt

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To-Do:

Bild

Periodizität[Bearbeiten]

Wir haben bereits gezeigt, dass für alle gilt. Wir beweisen jetzt, dass die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als -periodische Funktion zu bezeichnen.

Satz

Sei mit für alle . Dann gilt für ein .

Beweis

Wir setzen und erhalten . Somit gilt für ein . Wegen ist .

Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von , womit die kleinste Periodenlänge ist.

Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leicht auf die Sinusfunktion übertragen.

Funktionswert bei [Bearbeiten]

Wir überlegen uns zunächst, was ist. Da gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort . Es gilt also entweder oder . Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für folgende Abschätzung:

Wir wissen ja, dass gilt. Somit ist und es folgt .

Zusammenhang zur Kosinusfunktion[Bearbeiten]

Satz

Für alle gilt

Beweis

Nach dem Additionstheorem gilt

Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um nach rechts.

Übergang von Kosinus zu Sinus und umgekehrt

Verhalten auf [Bearbeiten]

Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz leicht bestimmen.

Satz

Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge und für alle ist

  • bijektiv und streng monoton steigend,
  • bijektiv und streng monoton fallend,
  • bijektiv und streng monoton fallend,
  • bijektiv und streng monoton steigend.
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To-Do:

Bild

Nullstellen, Maxima und Minima[Bearbeiten]

Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um nach rechts.

Satz

Für alle gilt

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To-Do:

Bild

Ableitung und Integral[Bearbeiten]

Ableitung Sinus[Bearbeiten]

Satz (Ableitung vom Sinus)

Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle gilt:

Beweis (Ableitung vom Sinus)

Für ist

Ableitung Kosinus[Bearbeiten]

Satz (Ableitung des Kosinus)

Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit

Beweis (Ableitung des Kosinus)