Arkustangens und Arkuskotangens – Mathe für Nicht-Freaks

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Beim Arkustangens und Arkuskotangens handelt es sich um die Umkehrfunktionen von der trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens (wenn man ihren Definitionsbereich geeignet einschränkt).

Definition und Herleitung[Bearbeiten]

Wir wissen bereits, dass die Tangens- und Kotangensfunktion die Definitionsmenge bzw. und die Ziel- und Wertemenge haben. Die beiden Funktionen sind surjektiv, jedoch nicht injektiv, da unterschiedliche Argumente existieren, die auf die gleichen Funktionswerte abbilden. Insbesondere sind sie auch nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist nur dann bijjektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

In den folgenden Grafiken der Tangens- und Kotangensfunktion sieht man, dass jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen wird und die Funktionen somit nicht injektiv sein können:

Graph der Tangensfunktion
Graph der Kotangensfunktion

Wir müssen und also überlegen, wie wir und injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abbilden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir und auf eines ihrer Monotonieintervall ohne dazwischenliegenden Definitionslücken einschränken. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel wären beim Tangens die Intervalle oder und beim Kotangens die Intervalle oder geeignet.

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches dieser Intervalle die Definitionsmengen eingeschränkt werden. Allerdings ist es in der Literatur üblich, für den Tangens das Intervall und für den Kotangens zu nehmen. Die bijektiven, eingeschränkten Tangens- und Kotangens lauten daher:

und

Graph des Arkustangens
Graph des Arkuskotangens

Beide Funktionen sind nun auch injektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkustangens und der Arkuskotangens:

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Definition (Arkustangens und Arkuskotangens)

Wir definieren die Funktionen (Arkustangens) und (Arkuskotangens) durch

Eigenschaften[Bearbeiten]

Übersicht über die Eigenschaften[Bearbeiten]

Arkustangens Arkuskotangens
Funktions-
Graphen
Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich
Bildmenge
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
Punktsymmetrie zu
Asymptoten für für
für
Nullstellen keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte

Symmetrie[Bearbeiten]

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Satz

Der Arkustangens ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskotangens ist punktsymmetrisch zum Punkt .

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To-Do:

Beweis ergänzen

Stetigkeit[Bearbeiten]

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Satz

Der Arkustangens und der Arkuskotangens sind stetig.

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Beweis

Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Tangens- und Kotangensfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von und , da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).

Es gilt also: und sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Tangens und Kotangens jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen und sind stetig.

Ableitung[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.

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Satz (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen , sind differenzierbar, und es gilt

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Beweis (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Für die Tangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton steigend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist damit differenzierbar, und nun für gilt:

Integral[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.

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Satz

Die Funktionen und haben und als Stammfunktion. D.h. es gilt:

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Beweis

Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Aufgabe

Zeige:

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Lösung

Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Der Arkustangens und der Arkuskotangens haben eine Stammfunktion

Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir leiten die Stammfunktion für die Arkustangensfunktion her, für den Arkuskotangens funktioniert das genauso.

Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

Als nächstes wollen wir das Integral bestimmen. Dazu benutzen wir den Spezialfall der Substitutionsregel, die logarithmische Integration. Alternativ kann man natürlich auch mit der Substitution vorgehen. Es folgt:

Insgesamt folgt also:

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Zeige:

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Lösung (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Wir gehen analog zum vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

Monotonie[Bearbeiten]

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Satz

Der Arkustangens ist auf ganz streng monoton steigend. Der Arkuskotangens ist auf ganz streng monoton fallend.

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Beweis

Für die Ableitungsfunktion des Arkustangens gilt: . Also ist der Arkustangens streng monoton steigend.

Analog gilt für die Ableitung des Arkuskotangens: . Der Arkuskotangens ist also streng monoton fallend.

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To-Do:

weitere Eigenschaften? Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Stammfunktionen, Asymptoten