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Beim Arkustangens und Arkuskotangens handelt es sich um die Umkehrfunktionen von der trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens (wenn man ihren Definitionsbereich geeignet einschränkt).
Definition und Herleitung[Bearbeiten]
Wir wissen bereits, dass die Tangens- und Kotangensfunktion die Definitionsmenge
bzw.
und die Ziel- und Wertemenge
haben. Die beiden Funktionen sind surjektiv, jedoch nicht injektiv, da unterschiedliche Argumente existieren, die auf die gleichen Funktionswerte abbilden. Insbesondere sind sie auch nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist nur dann bijjektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.
In den folgenden Grafiken der Tangens- und Kotangensfunktion sieht man, dass jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen wird und die Funktionen somit nicht injektiv sein können:
Wir müssen und also überlegen, wie wir
und
injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abbilden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir
und
auf eines ihrer Monotonieintervall ohne dazwischenliegenden Definitionslücken einschränken. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel wären beim Tangens die Intervalle
oder
und beim Kotangens die Intervalle
oder
geeignet.
Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches dieser Intervalle die Definitionsmengen eingeschränkt werden. Allerdings ist es in der Literatur üblich, für den Tangens das Intervall
und für den Kotangens
zu nehmen. Die bijektiven, eingeschränkten Tangens- und Kotangens lauten daher:
und
Beide Funktionen sind nun auch injektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkustangens und der Arkuskotangens:
Definition (Arkustangens und Arkuskotangens)
Wir definieren die Funktionen
(Arkustangens) und
(Arkuskotangens) durch
Übersicht über die Eigenschaften[Bearbeiten]
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Arkustangens
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Arkuskotangens
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Funktions- Graphen
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Definitionsbereich
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Bildmenge
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Monotonie
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streng monoton steigend
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streng monoton fallend
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Symmetrien
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Ungerade Funktion:
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Punktsymmetrie zu 
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Asymptoten
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für
|
für 
für
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Nullstellen
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keine
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Sprungstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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keine
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keine
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Extrema
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keine
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keine
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Wendepunkte
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Satz
Der Arkustangens
ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskotangens
ist punktsymmetrisch zum Punkt
.
Satz
Der Arkustangens
und der Arkuskotangens
sind stetig.
Beweis
Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Tangens- und Kotangensfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von
und
, da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).
Es gilt also:
und
sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Tangens und Kotangens jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen
und
sind stetig.
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.
Satz (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
,
sind differenzierbar, und es gilt
Beweis (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)
Für die Tangensfunktion
gilt:
. Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton steigend. Weiter ist
. Also ist
surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist damit differenzierbar, und nun für
gilt:
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.
Beweis
Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:
Aufgabe
Zeige:
Lösung
Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:
Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)
Wir leiten die Stammfunktion für die Arkustangensfunktion her, für den Arkuskotangens funktioniert das genauso.
Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe
. Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:
Als nächstes wollen wir das Integral
bestimmen. Dazu benutzen wir den Spezialfall der Substitutionsregel, die logarithmische Integration. Alternativ kann man natürlich auch mit der Substitution
vorgehen. Es folgt:
Insgesamt folgt also:
Aufgabe (Stammfunktion von Arkus Kotangens)
Zeige:
Lösung (Stammfunktion von Arkus Kotangens)
Wir gehen analog zum
vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:
Beweis
Für die Ableitungsfunktion des Arkustangens gilt:
. Also ist der Arkustangens streng monoton steigend.
Analog gilt für die Ableitung des Arkuskotangens:
. Der Arkuskotangens ist also streng monoton fallend.
To-Do:
weitere Eigenschaften? Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Stammfunktionen, Asymptoten