Arkussinus und Arkuskosinus – „Mathe für Nicht-Freaks“

Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).

Definition und Herleitung

Arkussinus und Arkuskosinus

 arcsin (x)

 arccos (x)

Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion $\sin(x)$ die Definitionsmenge $D=\mathbb {R}$ und die Zielmenge $Z=\mathbb {R}$ haben. Insbesondere sind beide Funktionen nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv, als auch injektiv ist.

In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen $-1$ und $1$ getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit $\mathbb {R}$ viel größer als $[-1,1]$ ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:

Graph der Sinusfunktion

Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge $[-1,1]$. Dadurch erhalten wir eine neue Funktion $\sin _{2}$, welche definiert ist als $\sin _{2}:\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$. Beachte, dass $\sin _{2}\neq \sin$ ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge.

Als nächstes überlegen wir uns, wie wir $\sin _{2}$ injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir $\sin _{2}$ auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$ oder $\left[{\tfrac {5}{2}}\pi ,{\tfrac {7}{2}}\pi \right]$ streng monoton:

Auf den markierten Bereichen ist der Sinus streng monoton

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall $[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$ zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall $[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$ nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:

$\sin _{2}\left|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}\right.:\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\to [{-1},1]$

Auf analog Weise wird zunächst $\cos _{2}:\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \cos(x)$ definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:

$\cos _{2}\left|_{\left[0,\pi \right]}\right.:[0,\pi ]\to [{-1},1]$

Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:

Definition (Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir definieren die Funktionen $\arcsin$ (Arkussinus) und $\arccos$ (Arkuskosinus) durch

${\begin{aligned}&\arcsin :[{-1},1]\to \,[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]:x\mapsto \left(\sin _{2}\left|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}\right.\right)^{-1}(x)\\[0.5em]&\arccos :[{-1},1]\to \,[0,\pi ]:x\mapsto \left(\cos _{2}\left|_{\left[0,\pi \right]}\right.\right)^{-1}(x)\end{aligned}}$

Eigenschaften

Übersicht über die Eigenschaften

	Arkussinus	Arkuskosinus
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$x\in [-1,1]$	$x\in [-1,1]$
Wertebereich	$-{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq +{\frac {\pi }{2}}$	$0\leq f(x)\leq \pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arcsin(-x)=-\arcsin(x)\!$	Punktsymmetrie zu $\left(x=0\;,\;y={\tfrac {\pi }{2}}\right),$ $\arccos(x)=\pi -\arccos(-x)\!$
Asymptoten	$f(x)\to \pm {\frac {\pi }{2}}$ für $x\to \pm 1$	$f(x)\to {\frac {\pi }{2}}\mp {\frac {\pi }{2}}$ für $x\to \pm 1$
Nullstellen	$x=0\!$	$x=1\!$
Unstetigkeitsstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0\!$	$x=0\!$

Symmetrie

Satz

Der Arkussinus $\arcsin$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskosinus $\arccos$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$.

Beweis

Wir nutzen aus, dass $\arcsin$ und $\arccos$ die Umkehrfunktionen von $\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}^{-1}$ und $\cos _{2}|_{\left[0,\pi \right]}^{-1}$ sind.

To-Do:

Beweis ergänzen

Stetigkeit

Satz

Der Arkussinus $\arcsin :[{-1},1]\to \,[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$ und der Arkuskosinus $\arccos :[{-1},1]\to \,[0,\pi ]$ sind stetig.

Beweis

Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Sinus- und Kosinusfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von $\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ und $\cos _{2}|_{\left[0,\pi \right]}$, da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).

Es gilt also: $\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ und $\cos _{2}|_{\left[0,\pi \right]}$ sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Sinus und Kosinus jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen $\arcsin$ und $\arccos$ sind stetig.

Ableitung

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.

Satz (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen $\arcsin$, $\arccos$ sind differenzierbar, und es gilt

${\begin{aligned}\arcsin '({\tilde {x}})&={\frac {1}{\sqrt {1-{\tilde {x}}^{2}}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde {x}}\in (-1,1),\\\arccos '({\tilde {x}})&=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\tilde {x}}^{2}}}}\quad {\text{ für alle }}{\tilde {x}}\in (-1,1),\\\end{aligned}}$

Hinweis: Zwar sind $\arcsin$ und $\arccos$ auf $[-1,1]$ definiert und stetig, jedoch nur auf $(-1,1)$ differenzierbar.

Beweis (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

Ableitung von $\arcsin$:

Für die Sinusfunktion $\sin :(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to \mathbb {R}$ gilt: $\sin '=\cos$. Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen $\cos(x)>0$ für alle $x\in (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$, auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist $\sin((-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}))=(-1,1)$. Also ist $\sin :(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to (-1,1)$ surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion

$\arcsin :(-1,1)\to (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})\to \mathbb {R}$

Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes ${\tilde {x}}\in (-1,1)$:

$\arcsin '({\tilde {x}})={\frac {1}{\sin '(\arcsin({\tilde {x}}))}}={\frac {1}{\cos(\arcsin({\tilde {x}}))}}{\underset {\text{Pythagoras}}{\overset {\text{Trigonometrischer}}{=}}}{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin({\tilde {x}}))}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\tilde {x}}^{2}}}}$

Ableitung von $\arccos$:

Für die Cosinusfunktion $\cos :(0,\pi )\to \mathbb {R}$ gilt: $\cos '=-\sin$. Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen $-\sin(x)|_{(0,\pi )}<0$, streng monoton fallend. Weiter ist $\cos((0,\pi ))=(-1,1)$. Also ist $\cos :(0,\pi )\to (-1,1)$ surjektiv. Die Umkehrfunktion

$\arccos :(-1,1)\to (0,\pi )\to \mathbb {R}$

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes ${\tilde {x}}\in (-1,1)$ gilt:

$\arccos '({\tilde {x}})={\frac {1}{\cos '(\arccos({\tilde {x}}))}}={\frac {1}{-\sin(\arcsin({\tilde {x}}))}}{\underset {\text{Pythagoras}}{\overset {\text{Trigonometrischer}}{=}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos({\tilde {x}}))}}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\tilde {x}}^{2}}}}$

Integral

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.

Satz

Die Funktionen $f:(-1,1)\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ und $g:(-1,1)\to \mathbb {R} ,\ g(x)=-{\tfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ haben $\arcsin$ und $\arccos$ als Stammfunktion. Es gilt:

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\mathrm {d} x=\arcsin(x)+C$

$\int -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\mathrm {d} x=\arccos(x)+C$

Beweis

Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\underbrace {\arcsin(x)} _{=F^{-1}(x)}+C&=\underbrace {\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}} _{={\frac {1}{F'(F^{-1}(x))}}}+0\\&={\frac {1}{\cos(\arcsin(x)}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Trigonometrischer Pythagoras:}}\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\Longrightarrow \cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}\right.}\\&={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}$

Aufgabe

Zeige:

$\int -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\mathrm {d} x=\arccos(x)+C$

Lösung

Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\overbrace {\arccos(x)} ^{=G^{-1}(x)}+C&=\overbrace {\frac {1}{\cos '(\arccos(x))}} ^{={\frac {1}{G'(G^{-1}(x))}}}+0\\&={\frac {1}{-\sin(\arccos(x)}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Trigonometrischer Pythagoras:}}\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\Longrightarrow \sin(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\right.}\\&={\frac {1}{-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}$

Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Der Arkussinus $\arcsin :[-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ und der Arkuskosinus $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$ haben eine Stammfunktion

Für alle $x\in [-1,1]$ gilt:

$\int \arcsin(x)\;\mathrm {d} x=x\cdot \arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arccos(x)\;\mathrm {d} x=x\cdot \arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir zeigen dies anhand des Arkussinus, für den Arkuskosinus geht das ganze analog.

Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe $\arcsin(x)=1\cdot \arcsin(x)=f'\cdot g$. Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

${\begin{aligned}\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x&=\int 1\cdot \arcsin(x)\,\mathrm {d} x\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Partielle Integration von }}f'\cdot g=1\cdot \arcsin(x)\right.}\\&{}=\underbrace {x\cdot \arcsin(x)} _{f\cdot g}-\int \underbrace {x\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} _{f\cdot g'}\,\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$

Als nächstes wollen wir das Integral $\int x\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$ bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel. Wir raten die Substitution $t=1-x^{2}$. Dann gilt $\mathrm {d} t=-2x\mathrm {d} x$ und umgestellt $\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2x}}\mathrm {d} t$. Da wir die Stammfunktion herausfinden wollen, ist es hier nicht notwendig, die Grenzen zu ersetzen. Es folgt also:

${\begin{aligned}&\int x\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Substitution }}t=1-x^{2}\right.}\\&{}=\int x\cdot {\frac {1}{\sqrt {t}}}(-{\frac {1}{2x}})\,\mathrm {d} t\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen}}\right.}\\&{}=\int -{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Integration von }}-{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}\right.}\\&{}=[-{\sqrt {t}}]\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Rücksubstitution}}\right.}\\&{}=-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\end{aligned}}$

Insgesamt folgt also:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Aufgabe (Stammfunktion von Arkuskosinus)

Zeige:

$\int \arccos(x)\;\mathrm {d} x=x\cdot \arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Lösung (Stammfunktion von Arkuskosinus)

Wir gehen analog zum $\arcsin$ vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

${\begin{aligned}\int \arccos(x)\,\mathrm {d} x&=\int 1\cdot \arccos(x)\,\mathrm {d} x\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Partielle Integration mit }}(f'(x)=1\ {\text{und}}\ g(x)=\arccos(x))\ \Longrightarrow \ (f(x)=x\ {\text{und}}\ g'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}})\right.}\\&{}=\underbrace {x\cdot \arccos(x)} _{f\cdot g}-\int \underbrace {x\cdot (-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}})} _{f\cdot g'}\,\mathrm {d} x\\&x\cdot \arccos(x)+\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Substitution: }}t=1-x^{2}\Longrightarrow ({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}=-2x\iff \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} t}{-2x}})\right.}\\&{}=x\cdot \arccos(x)+\int {\frac {x}{\sqrt {t}}}(-{\frac {1}{2x}})\,\mathrm {d} t\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen}}\right.}\\&{}=x\cdot \arccos(x)+\int -{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Integration von }}-{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}\right.}\\&{}=x\cdot \arccos(x)-{\sqrt {t}}+C\\&{}{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Rücksubstitution}}\right.}\\&{}=x\cdot \arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\end{aligned}}$

Monotonie

Satz

Der Arkussinus $\arcsin :[{-1},1]\to \,[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]$ ist streng monoton steigend und der Arkuskosinus $\arccos :[{-1},1]\to \,[0,\pi ]$ ist streng monoton fallend.

Beweis

Aus der Ableitungsfunktion des Arkussinus kann man direkt ablesen, dass $\arcsin$ im Intervall $]{-1},1[$ streng monoton steigend ist. Der Arkussinus ist darüber hinaus stetig und springt daher an den Randpunkten $-1$ und $1$ nicht. Daraus folgt, dass der Arkussinus auf der gesamten Definitionsmenge $[{-1},1]$ streng monoton steigt.

Mit analoger Argumentation zeigt man, dass der Arkuskosinus streng monoton fällt.

Maxima und Minima

Satz

Der Arkussinus $\arcsin$ hat das absolute Minimum $-{\frac {\pi }{2}}$ bei $x=-1$ und das absolute Maximum ${\frac {\pi }{2}}$ bei $x=1$.

Der Arkuskosinus $\arccos$ hat das absolute Minimum $0$ bei $x=1$ und das absolute Maximum $\pi$ bei $x=-1$.

Beweis

Die Arkussinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall $[-1,1]$ definiert. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum existiert also eine Maximalstelle und eine Minimalstelle. Da die Funktion $\arcsin$ streng monoton steigt, folgt direkt mit der Definition eines Minimums und Maximums, dass die Minmal- und Maximalstellen bei $x=1$ und $x=-1$ liegen. Da die Arkussinusfunktion die Umkehrfunktion von $\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ ist, folgt $\arcsin(-1)=-{\frac {\pi }{2}}\Leftrightarrow -1=\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}(-{\frac {\pi }{2}})$ und $\arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}\Leftrightarrow 1=\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}({\frac {\pi }{2}})$.

Die Arkuskosinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall $[-1,1]$ definiert und dort streng monoton fallend. Mit analoger Argumentation wie beim Arkussinus folgt die Behauptung.

Relationen

Satz

Es gilt für alle $x\in [-1,1]$ folgende Relation zwischen den beiden Arkusfunktionen:

$\arcsin(x)+\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}$

Beweis

Sei $x\in [-1,1]$ beliebig. Wir stellen die obige Gleichung nach $\arcsin(x)$ um und wenden auf beiden Seiten die Umkehrfunktion $\sin _{2}|_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ an. Wir erhalten: $x=\sin _{2}({{\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)})$. Nun nutzen wir die bereits bekannte Relation $\sin _{2}({\frac {\pi }{2}}-x)=\cos _{2}(x)$ und erhalten die Gleichung: $x=\cos _{2}(\arccos(x))\Leftrightarrow x=x$. Letztere Gleichung ist offensichtlich wahr und mit der ursprünglichen äquivalent (alle vorgenommenen Schritte waren Äquivalenzumformungen!).

To-Do:

weitere Eigenschaften?! Nullstellen, Wendepunkte, Asymptoten und Stammfunktion