Arkussinus und Arkuskosinus – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).

Definition und Herleitung[Bearbeiten]

Arkussinus und Arkuskosinus
  •  arcsin (x)
  •  arccos (x)
  • Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion die Definitionsmenge und die Zielmenge haben. Insbesondere sind beide Funktionen nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijjektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv ist.

    In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen und getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit viel größer als ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:

    Graph der Sinusfunktion

    Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge . Dadurch erhalten wir eine neue Funktion , welche definiert ist als . Beachte, dass ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge.

    Als nächstes überlegen wir uns, wie wir injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen oder streng monoton:

    Auf den markierten Bereichen ist der Sinus streng monoton

    Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:

    Auf analog Weise wird zunächst definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:

    Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:

    Dialog-information.svg
    Definition (Arkussinus und Arkuskosinus)

    Wir definieren die Funktionen (Arkussinus) und (Arkuskosinus) durch

    Eigenschaften[Bearbeiten]

    Übersicht über die Eigenschaften[Bearbeiten]

      Arkussinus Arkuskosinus
    Funktions-
    Graphen
    Arcsin Arccos
    Definitionsbereich
    Wertebereich
    Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
    Symmetrien Ungerade Funktion: Punktsymmetrie zu
    Asymptoten für für
    Nullstellen
    Unstetigkeitsstellen keine keine
    Polstellen keine keine
    Extrema keine keine
    Wendepunkte

    Symmetrie[Bearbeiten]

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Der Arkussinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskosinus ist punktsymmetrisch zum Punkt .

    Applications-office.svg

    Beweis

    Wir nutzen aus, dass und die Umkehrfunktionen von und sind.

    Qsicon inArbeit.png
    To-Do:

    Beweis ergänzen

    Stetigkeit[Bearbeiten]

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Der Arkussinus und der Arkuskosinus sind stetig.

    Applications-office.svg

    Beweis

    Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Sinus- und Kosinusfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von und , da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).

    Es gilt also: und sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Sinus und Kosinus jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen und sind stetig.

    Ableitung[Bearbeiten]

    In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.


    Blue pen icon.svg

    Satz (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

    Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen , sind differenzierbar, und es gilt

    Hinweis: Zwar sind und auf definiert und stetig, jedoch nur auf differenzierbar.

    Applications-office.svg

    Beweis (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

    Ableitung von :

    Für die Sinusfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen für alle , auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion

    Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes :

    Ableitung von :

    Für die Cosinusfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen , streng monoton fallend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion

    ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes gilt:

    Integral[Bearbeiten]

    In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Die Funktionen und haben und als Stammfunktion. Es gilt:

    Applications-office.svg

    Beweis

    Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

    Accessories-text-editor.svg

    Aufgabe

    Zeige:

    Applications-office.svg

    Lösung

    Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

    Blue pen icon.svg

    Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

    Der Arkussinus und der Arkuskosinus haben eine Stammfunktion

    Für alle gilt:

    Applications-office.svg

    Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

    Wir zeigen dies anhand des Arkussinus, für den Arkuskosinus geht das ganze analog.

    Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

    Als nächstes wollen wir das Integral bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel. Wir raten die Substitution . Dann gilt und umgestellt . Da wir die Stammfunktion herausfinden wollen, ist es hier nicht notwendig, die Grenzen zu ersetzen. Es folgt also:

    Insgesamt folgt also:

    Accessories-text-editor.svg

    Aufgabe (Stammfunktion von Arkuskosinus)

    Zeige:

    Applications-office.svg

    Lösung (Stammfunktion von Arkuskosinus)

    Wir gehen analog zum vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

    Monotonie[Bearbeiten]

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Der Arkussinus ist streng monoton steigend und der Arkuskosinus ist streng monoton fallend.

    Applications-office.svg

    Beweis

    Aus der Ableitungsfunktion des Arkussinus kann man direkt ablesen, dass im Intervall streng monoton steigend ist. Der Arkussinus ist darüber hinaus stetig und springt daher an den Randpunkten und nicht. Daraus folgt, dass der Arkussinus auf der gesamten Definitionsmenge streng monoton steigt.

    Mit analoger Argumentation zeigt man, dass der Arkuskosinus streng monoton fällt.

    Maxima und Minima[Bearbeiten]

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Der Arkussinus hat das absolute Minimum bei und das absolute Maximum bei .

    Der Arkuskosinus hat das absolute Minimum bei und das absolute Maximum bei .

    Applications-office.svg

    Beweis

    Die Arkussinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall definiert. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum existiert also eine Maximalstelle und eine Minimalstelle. Da die Funktion streng monoton steigt, folgt direkt mit der Definition eines Minimums und Maximums, dass die Minmal- und Maximalstellen bei und liegen. Da die Arkussinusfunktion die Umkehrfunktion von ist, folgt und .

    Die Arkuskosinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall definiert und dort streng monoton fallend. Mit analoger Argumentation wie beim Arkussinus folgt die Behauptung.

    Relationen[Bearbeiten]

    Blue pen icon.svg

    Satz

    Es gilt für alle folgende Relation zwischen den beiden Arkusfunktionen:

    Applications-office.svg

    Beweis

    Sei beliebig. Wir stellen die obige Gleichung nach um und wenden auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an. Wir erhalten: . Nun nutzen wir die bereits bekannte Relation und erhalten die Gleichung: . Letztere Gleichung ist offensichtlich wahr und mit der ursprünglichen äquivalent (alle vorgenommenen Schritte waren Äquivalenzumformungen!).

    Qsicon inArbeit.png
    To-Do:

    weitere Eigenschaften?! Nullstellen, Wendepunkte, Asymptoten und Stammfunktion