Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).
Definition und Herleitung[Bearbeiten]
Arkussinus und Arkuskosinus
arcsin (x) arccos (x)
Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion
die Definitionsmenge
und die Zielmenge
haben. Insbesondere sind beide Funktionen nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv, als auch injektiv ist.
In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen
und
getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit
viel größer als
ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:
Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge
. Dadurch erhalten wir eine neue Funktion
, welche definiert ist als
. Beachte, dass
ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge.
Als nächstes überlegen wir uns, wie wir
injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir
auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen
oder
streng monoton:
Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall
zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall
nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:
Auf analog Weise wird zunächst
definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:
Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:
Definition (Arkussinus und Arkuskosinus)
Wir definieren die Funktionen
(Arkussinus) und
(Arkuskosinus) durch
Übersicht über die Eigenschaften[Bearbeiten]
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Arkussinus
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Arkuskosinus
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Funktions- Graphen
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Definitionsbereich
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Wertebereich
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Monotonie
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streng monoton steigend
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streng monoton fallend
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Symmetrien
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Ungerade Funktion:
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Punktsymmetrie zu 
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Asymptoten
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für
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für
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Nullstellen
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Unstetigkeitsstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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keine
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keine
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Extrema
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keine
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keine
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Wendepunkte
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Satz
Der Arkussinus
ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskosinus
ist punktsymmetrisch zum Punkt
.
Satz
Der Arkussinus
und der Arkuskosinus
sind stetig.
Beweis
Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Sinus- und Kosinusfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von
und
, da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).
Es gilt also:
und
sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Sinus und Kosinus jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen
und
sind stetig.
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.
Satz (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
,
sind differenzierbar, und es gilt
Beweis (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)
Ableitung von
:
Für die Sinusfunktion
gilt:
. Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen
für alle
, auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist
. Also ist
surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion
Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes
:
Ableitung von
:
Für die Cosinusfunktion
gilt:
. Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen
, streng monoton fallend. Weiter ist
. Also ist
surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes
gilt:
In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.
Beweis
Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:
Aufgabe
Zeige:
Lösung
Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:
Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)
Der Arkussinus
und der Arkuskosinus
haben eine Stammfunktion
Für alle
gilt:
Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)
Wir zeigen dies anhand des Arkussinus, für den Arkuskosinus geht das ganze analog.
Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe
. Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:
Als nächstes wollen wir das Integral
bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel. Wir raten die Substitution
. Dann gilt
und umgestellt
. Da wir die Stammfunktion herausfinden wollen, ist es hier nicht notwendig, die Grenzen zu ersetzen. Es folgt also:
Insgesamt folgt also:
Aufgabe (Stammfunktion von Arkuskosinus)
Zeige:
Lösung (Stammfunktion von Arkuskosinus)
Wir gehen analog zum
vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:
Satz
Der Arkussinus
ist streng monoton steigend und der Arkuskosinus
ist streng monoton fallend.
Beweis
Die Arkussinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall
definiert. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum existiert also eine Maximalstelle und eine Minimalstelle. Da die Funktion
streng monoton steigt, folgt direkt mit der Definition eines Minimums und Maximums, dass die Minmal- und Maximalstellen bei
und
liegen. Da die Arkussinusfunktion die Umkehrfunktion von
ist, folgt
und
.
Die Arkuskosinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall
definiert und dort streng monoton fallend. Mit analoger Argumentation wie beim Arkussinus folgt die Behauptung.
Satz
Es gilt für alle
folgende Relation zwischen den beiden Arkusfunktionen:
To-Do:
weitere Eigenschaften?! Nullstellen, Wendepunkte, Asymptoten und Stammfunktion