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Die Hyperbolischen Funktionen - Kosinus Hyperbolikus, Sinus Hyperbolikus und Tangens Hyperbolikus
Definition von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus [ Bearbeiten ]
Definition (Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)
Wir definieren die Funktionen
sinh
{\displaystyle \sinh }
(Sinus Hyperbolicus) und
cosh
{\displaystyle \cosh }
(Kosinus Hyperbolicus) durch
sinh
:
R
→
R
,
x
↦
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
cosh
:
R
→
R
,
x
↦
1
2
(
e
x
+
e
−
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})\\[0.3em]&\cosh :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})\end{aligned}}}
Hinweis
Als Merkhilfe für das Vorzeichen: Sinus und Minus reimt sich.
Definition von Tangens Hyperbolicus [ Bearbeiten ]
Eigenschaften der Hyperbolischen Funktionen [ Bearbeiten ]
Der Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also:
cosh
(
x
)
=
cosh
(
−
x
)
sinh
(
x
)
=
−
sinh
(
−
x
)
tanh
(
x
)
=
−
tanh
(
−
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x)&=\cosh(-x)\\\sinh(x)&=-\sinh(-x)\\\tanh(x)&=-\tanh(-x)\\\end{aligned}}}
Man sagt auch
cosh
{\displaystyle \cosh }
ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade .
Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen:
Beweis
cosh
(
−
x
)
=
1
2
⋅
(
e
−
x
+
e
−
(
−
x
)
)
=
1
2
⋅
(
e
−
x
+
e
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
−
x
)
=
1
2
⋅
(
e
−
x
−
e
−
(
−
x
)
)
=
1
2
⋅
(
e
−
x
−
e
x
)
=
−
sinh
(
x
)
tanh
(
−
x
)
=
sinh
(
−
x
)
cosh
(
−
x
)
=
−
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
=
−
tanh
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(-x)&={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{-(-x)})={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{x})=\cosh(x)\\\sinh(-x)&={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}-e^{-(-x)})={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}-e^{x})=-\sinh(x)\\\tanh(-x)&={\frac {\sinh(-x)}{\cosh(-x)}}={\frac {-\sinh(x)}{\cosh(x)}}=-\tanh(x)\end{aligned}}}
Mit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen.
cosh
(
x
)
′
=
sinh
(
x
)
sinh
(
x
)
′
=
cosh
(
x
)
tanh
(
x
)
′
=
1
cosh
(
x
)
2
=
tanh
(
x
)
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x)^{\prime }&=\sinh(x)\\\sinh(x)^{\prime }&=\cosh(x)\\\tanh(x)^{\prime }&={\frac {1}{\cosh(x)^{2}}}=\tanh(x)^{2}-1\end{aligned}}}
Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.
Beziehung zwischen den Hyperbolischen Funktionen [ Bearbeiten ]
Analog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von
sinh
{\displaystyle \sinh }
und
cosh
{\displaystyle \cosh }
. Der Unterschied liegt im Vorzeichen.
cos
(
x
)
2
+
sin
(
x
)
2
=
1
cosh
(
x
)
2
−
sinh
(
x
)
2
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)^{2}&{\color {red}+}\sin(x)^{2}&=1\\\cosh(x)^{2}&{\color {red}-}\sinh(x)^{2}&=1\end{aligned}}}
Beweis
cosh
(
x
)
2
−
sinh
(
x
)
2
=
(
e
x
+
e
−
x
2
)
2
−
(
e
x
−
e
−
x
2
)
2
=
1
4
[
(
e
2
x
+
e
−
2
x
+
2
e
x
e
−
x
)
−
(
e
2
x
+
e
−
2
x
−
2
e
x
e
−
x
)
]
↓
e
x
e
−
x
=
1
=
1
4
⋅
4
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x)^{2}-\sinh(x)^{2}&=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left[\left(e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}\right)-\left(e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}\right)\right]\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ e^{x}e^{-x}=1\right.}\\&={\frac {1}{4}}\cdot 4=1\end{aligned}}}
Im Grenzwert
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
divergieren
cosh
{\displaystyle \cosh }
und
sinh
{\displaystyle \sinh }
. Um zu bestimmen ob der Grenzwert
∞
{\displaystyle \infty }
oder
−
∞
{\displaystyle -\infty }
ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.
lim
x
→
∞
cosh
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
2
e
x
⏟
→
∞
+
1
2
e
−
x
⏟
→
0
=
∞
lim
x
→
−
∞
cosh
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
2
e
x
⏟
→
0
+
1
2
e
−
x
⏟
→
∞
=
∞
lim
x
→
∞
sinh
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
2
e
x
⏟
→
∞
−
1
2
e
−
x
⏟
→
0
=
∞
lim
x
→
−
∞
sinh
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
2
e
x
⏟
→
0
−
1
2
e
−
x
⏟
→
∞
=
−
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }\cosh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to \infty }+{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to 0}=\infty \\\lim _{x\to -\infty }\cosh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to 0}+{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to \infty }=\infty \\\lim _{x\to \infty }\sinh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to \infty }-{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to 0}=\infty \\\lim _{x\to -\infty }\sinh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to 0}-{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to \infty }=-\infty \end{aligned}}}
Da
sinh
(
i
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle \sinh(ix)=\sin(x)}
und
cosh
(
i
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle \cosh(ix)=\cos(x)}
bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.
sinh
(
x
±
y
)
=
sinh
x
cosh
y
±
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
±
y
)
=
cosh
x
cosh
y
±
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}}
Der Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen .