Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Die Hyperbolischen Funktionen - Kosinus Hyperbolikus, Sinus Hyperbolikus und Tangens Hyperbolikus
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

einleitungstext

Definition von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition (Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)

Wir definieren die Funktionen (Sinus Hyperbolicus) und (Kosinus Hyperbolicus) durch

Hinweis

Als Merkhilfe für das Vorzeichen: Sinus und Minus reimt sich.

Definition von Tangens Hyperbolicus[Bearbeiten]

Definition (Tangens Hyperbolicus)

Über die Funktionen und definieren wir die Funktion (Tangens Hyperbolicus) durch

Eigenschaften der Hyperbolischen Funktionen[Bearbeiten]

Symmetrie[Bearbeiten]

Der Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also:

Man sagt auch ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade.

Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen:

Beweis

Ableitungen[Bearbeiten]

Mit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen.

Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.

Beziehung zwischen den Hyperbolischen Funktionen[Bearbeiten]

Analog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von und . Der Unterschied liegt im Vorzeichen.

Beweis

Asymptotik[Bearbeiten]

Im Grenzwert divergieren und . Um zu bestimmen ob der Grenzwert oder ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.

Da und bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Der Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen.