MathemaTriX ⋅ Theorie. Grundniveau 1

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AUFGABEN

Grundniveau 1 Grundniveau 2 Vertiefend 1 Vertiefend 2 Experten 1 Experten 2

Grundrechenartenvorrang

Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

$6+3-7+5$:

• Wenn man von links nach rechts liest, dann: $\ 6+3=9,\ 9-7=2,\ 2+5=7\quad$ also Ergebnis 7.
• Wenn man von rechts nach links liest, dann: $\ {\overleftarrow {{\color {red}12}=7+5}},\ {\overleftarrow {{\color {lime}9}=3-{\color {red}12}}},\ {\overleftarrow {15=6+{\color {lime}9}}}\quad$ also Ergebnis 15.

Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:

$6+5+11=5+6+11=11+5+6=5+11+6=22$

$2\cdot 4\cdot 5=4\cdot 2\cdot 5=2\cdot 5\cdot 4=40$

In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.

Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?

$2+3\cdot 4$

Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$

Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation: $2+4\cdot 3$

und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis: $2+4=6\ \to \ 6\cdot 3=18$

Es gilt auch:

• Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$
• Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis: $3\cdot 4=12\ \to 2+12=14$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:

$2+3\cdot 4\$ und $\ 3+2\cdot 4$

Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:

$2+3\cdot 4\ =2+12=14\$ und $\ 3+2\cdot 4=3+8=11$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!

Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:

$(2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20\$ Hier ist das Ergebnis doch $20$

$2+(3\cdot 4)=2+12=14\$ ...und hier ist das Ergebnis wieder $14$.

Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:

Klammer vor Punkt vor Strich.

(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)

Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:

$5+36:(3\cdot 5-6)-(56:7-2)\cdot 3=?$

Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:

$5+$	$36:$	${\underline {({\underline {3\cdot 5}}-6)}}\ -$	${\underline {({\underline {56:7}}-2)}}$	$\cdot 3$	$=$	In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
		$15-6\quad$	$8-2$			und dann die Strichrechnung in Klammer
		$9$	$6$			Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen

$5+$	$36:$	${\cancelto {9}{(3\cdot 5-6)}}\ -$	${\cancelto {6}{(56:7-2)}}$	$\cdot 3=$
$5+$	$36:$	$9-$	$6$	$\cdot 3=$	Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:

$5+36:9-6\cdot 3\qquad \qquad$ Hier muss man erst die Punktrechnungen machen

$5+{\cancelto {4}{36:9}}-{\cancelto {18}{6\cdot 3}}=$

$5+4-18=-9$

Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:

Alle Schritte kompakt dargestellt: ${\begin{array}{c}5+36:\underbrace {(\underbrace {3\cdot 5} _{15}-6)} _{9}-\underbrace {(\underbrace {56:7} _{8}-2)} _{6}\cdot 3=\\5+\underbrace {36:9} _{4}-\underbrace {6\cdot 3} _{18}=\\5+4-18=-9\end{array}}$

Bruchrechnungen

Definitionen

Strichrechnungen

Wenn man zwei Brüche addiert oder subtrahiert, dann muss man auf den Nenner aufpassen:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern (blaue Pfeile) und entsprechend für den zweiten Bruch (rote Pfeile)!

$={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}$$={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Punktrechnungen

Bei einer Multiplikation zwischen zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner (Oben mal Oben, Unten mal Unten):

${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 7}}={\frac {15}{28}}$

Bei der Division von zwei Brüchen multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweitens Bruches:

${\frac {5}{4}}:{\frac {3}{7}}={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{3}}={\frac {5\cdot 7}{4\cdot 3}}={\frac {35}{12}}$   ($\textstyle {\frac {7}{3}}$ ist der Kehrwert von  $\textstyle {\frac {3}{7}}$)

Hier spielt der Nenner keine Rolle (im Gegenteil zu den Strichrechnungen).

Direkte Proportionalität

Fangen wir direkt mit einem Beispiel an.

• 5 Tische kosten 315€. Wie viel kosten 2 Tische?

Hier spricht man von einer sogenannten direkte Proportionalität. Weniger Tische werden weniger Geld kosten. Das Beispiel besteht aus zwei Sätze:

was gegeben ist: „5 Tische kosten 315€“. Diese Daten schreibt man auf ein Zeile nebeneinander. Man schreibt also am Anfang:

5 Tische ... 315€

was gefragt ist: „Wie viel kosten 2 Tische?“ Hier ist der Preis der Tische in € gefragt. Man schreibt eine zweite Zeile unter die erste: Dabei schreiben wir das Gefragte (Preis der Tische) als x und die Anzahl der Tische unter der Anzahl Tische von der ersten Zeile:

5 Tische ... 315€

2 Tische ... x

Man fängt mit der gefragten Größe an (hier €), also mit der Zahl, die an der gleichen
Spalte mit x steht, und multipliziert diese Zahl mit der Zahl schräg gegenüber.

315·2=630.

Das Ergebnis dividiert man mit der verbliebenden Zahl (hier 5).

630:5=126

Jetzt kommt die Frage: 126 was? Was haben wir hier gerechnet? Sicherlich nicht Frösche und auch nicht Äpfel. Wie kann man herausfinden, was hier gerechnet wurde? Eine Möglichkeit ist es, die folgende Frage zu stellen: „Wieviel kosten 2 Tische?“ Kosten sind gefragt, also €. Das Ergebnis ist daher der Wert in €. Ein anderer Weg ist es darauf zu schauen, wo x steht: Es steht unterhalb von „315€“. Wir haben gesagt, dass in jeder Spalte die Sachen (in Mathematik „Einheiten“ genannt) übereinstimmen müssen. Unterhalb von € müssen € stehen. Daher sollte die Einheit von x auch € sein. Somit ist die Antwort:

„Zwei Tische kosten 126€.“

Der ganze Prozess noch einmal Schritt für Schritt:

Noch ein Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 0,0175 Liter?

b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Hier gibt es zwei Fragen, das gegebene ist aber in beiden Fällen das gleiche, nämlich der erste Satz.

a) Für die erste Frage schreiben wir das gegebene an einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen unter gleichem):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\uparrow :\\{\text{0,0175 Liter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Die Zahl, die an der gleichen Spalte mit x steht, mal die Zahl schräg gegenüber und durch die andere Zahl:

$\left({\frac {14{,}7\cdot 0{,}0175}{3{,}5}}\right)\qquad x=0{,}735\ \ kg$

Noch einmal stellt sich die Frage: 0,735 was? Was haben wir hier gerechnet? Wieso haben wir kg geschrieben? Die Frage war „Wie viel wiegen 0,0175 Liter?“ Also muss die Einheit vom Ergebnis kg sein. Wenn wir die Schlussrechnung betrachten, sehen wir ebenfalls, dass x unterhalb von „14,7 kg“ steht. In einer Spalte müssen die Einheiten übereinstimmen, unterhalb von kg müssen gleichfalls kg stehen. Somit ist die Antwort:

„0,0175 Liter des Stoffes wiegen 0,735kg.“

b) Für die zweite Frage schreiben wir wieder das gegebene in einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen (Einheiten) unter gleiche):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\:\uparrow \\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{ Liter}}$

Ob man die Liter links oder rechts schreibt oder das gegebene oben oder unten, spielt keiner Rolle. Wichtig ist: das Gegebene in einer Zeil und gleiche Sachen (Einheiten) in der gleichen Spalte!

${\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\\uparrow :\\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{Liter}}$

In diesen Aufgaben ist es wichtig zu verstehen: Man braucht nicht wissen, was die Wörter bedeuten! Man soll einfach die Struktur der Sätze der Aufgabe verstehen!

Prozentrechung Begriffe

Grundaufgaben der Prozentrechnung

Nicht vergessen: Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%

• Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist der Prozentsatz eines Teils von 55 Personen gefragt. 55 Personen sind 100%. (Nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das so auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\\uparrow :\\{\text{11 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 11}{55}}\right)\qquad x=20\%$.

• Wie viele Personen sind 11% von 55 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist ein Prozentsatz von 55 Personen gefragt, also haben wir am Anfang 55 Personen, die dann 100% sind! (Also nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 11}{100}}=6{,}05\right)\qquad x\approx 6\ {\text{Personen}}$.

• Wie viel % von 23 kg sind 5329kg?

Hier steht nach „von“ 23 kg, also sind 23kg 100%

${\begin{matrix}{\text{23 kg}}\\\uparrow :\\{\text{5329 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 5329}{23}}\right)\qquad x\approx 23170\%$.

• Wie viel ist 0,3% von 0,26 Liter?

${\begin{matrix}{\text{0,26 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\0{,}3\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}26\cdot 0{,}3}{100}}\right)\qquad x=0{,}00078\ {\text{Liter}}$.

• Von wie vielen Personen sind 55 Personen 11%?

Hier steht nach dem Wort „von“ eine Frage. Das Gefragte schreibt man in der Mathematik mit x. Daher ist x 100%. Das Gefragte ist 100%.

${\begin{matrix}x\\{}\\{\text{55 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nearrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\downarrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 100}{11}}\right)\qquad x=500\ {\text{Personen}}$.

Klammer auflösen

Term Definition

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. $\textstyle {\color {Red}3+4}$,  $\textstyle {\color {Blue}s+x}$,  $\textstyle {\color {Red}t^{2}}$,  $\textstyle {\color {Cyan}r^{2}x-4r}$,  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   sind alles Terme, wobei  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   aus mehreren Teiltermen besteht.

Potenzen

Potenz Definition

Jeder Term der Form mⁿ ist eine Potenz. Was unten steht (hier m) nennt man Basis, was oben rechts (hier n) Hochzahl.

Potenz    $4_{\ \leftarrow {\text{Basis}}}^{3\ \ \leftarrow {\text{Hochzahl}}}$     Was bedeutet diese Schreibweise?

Wenn man 4+4+4 hat, kann man auch 3·4 schreiben: $\textstyle \underbrace {4+4+4} _{3\ mal}=3\cdot 4$. Eine Multiplikation zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst addiert.

Wenn man 4·4·4 hat, dann kann man 4³ schreiben. Eine Potenzzahl (hier 4³) zeigt, wie oft (so oft, wie die Hochzahl, hier 3) man eine Zahl (die Basis, hier 4) mit sich selbst multipliziert.

Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Wir haben gelernt, dass eine Multiplikation uns zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb einer Summe vorkommt. Beispielsweise ist $\textstyle \ \underbrace {4+4+4+4+4+4+4} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 4$. Das bedeutet allerdings auch, dass $\textstyle \ 2a+5a=7a\$ ist, weil $\textstyle \ 2a+5a=\underbrace {a+a} _{{\color {red}2}\ mal}+\underbrace {a+a+a+a+a} _{{\color {red}5}\ mal}=\underbrace {a+a+a+a+a+a+a} _{{\color {red}7}\ mal}=({\color {red}2+5})\cdot a={\color {red}7}a$

Eine Potenzzahl zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb eines Produktes vorkommt. Beispielsweise: $\textstyle \ \underbrace {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5} _{{\color {red}6}\ mal}=5^{\color {red}6}$.

Was ist jetzt, wenn wir Potenzzahlen addieren (oder subtrahieren)?

Eine Vereinfachung einer Strichrechnung zwischen Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzzahl die gleiche Basis und die gleiche Hochzahl hat.

Nehmen wir ein Beispiel: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}$.

Bei 3a² und 7a² hat die Potenzzahl a² die gleiche Basis a und die gleiche Hochzahl 2. Diese Potenzen können zusammengerechnet werden:

$\textstyle \ 3a^{2}+7a^{2}=10a^{2}$

Entsprechend können wir mit a⁴ arbeiten:

$\textstyle \ 5a^{4}-2a^{4}=3a^{4}$

a² und a⁴ können wir hingegen nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Basis a aber nicht die gleiche Hochzahl (2 bzw. 4) haben.

a² und b² können wir auch nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Hochzahl 2 aber nicht die gleiche Basis (a bzw. b) haben.

Daher ist: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}=10a^{2}+3a^{4}-6b^{2}$

Warum ist es so? Wie schon erwähnt, können nur gleiche Summanden durch eine Multiplikation ersetzt werden:

$\textstyle \ \underbrace {3+3+3+3+3+3+3} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 3$

Wenn wir 3⁴ und 3² anstatt 3 haben, sind die Summanden nicht gleich, da 3⁴=3·3·3·3=81 und 3²=3·3=9 ist:

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}\neq {\color {red}7}\cdot 3$

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}=81+9+81+81+9+81+81=\dots$

$\textstyle \ \dots =\underbrace {81+81+81+81+81} _{{\color {red}5}\ mal}+\underbrace {9+9} _{{\color {red}2}\ mal}={\color {red}5}\cdot 81+{\color {red}2}\cdot 9={\color {red}5}\cdot 3^{4}+{\color {red}2}\cdot 3^{2}(=423)$

Nur Potenzen, die sowohl die gleiche Basis als auch die gleiche Hochzahl haben, können zusammengerechnet werden.

Noch ein Beispiel: $\textstyle \ 11w^{3}+5c^{3}-7w^{3}+8c^{5}-12c^{3}+2w^{3}-3c^{5}=6w^{3}-7c^{3}+5c^{5}$

 

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^{3}\cdot 4^{6}=4^{3+6}=4^{9}\quad \quad a^{t}\cdot a^{q}=a^{t+q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^{3}\cdot 4^{6}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4} _{3\ mal}\cdot \underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{6\ mal}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{9\ mal}=4^{9}\quad _{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^{7}\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^{5}\quad \quad a^{t}\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können. Für den Fall von natürlichen Hochzahlen können wir schreiben:

$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n\ mal}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{m\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n+m\ mal}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^{3}+4^{6}\neq 4^{9}$

Klammer Ausmultiplizieren

Ziel des Ausmultiplizierens

Lösen Sie die Klammern auf!

$2(3x-5)\qquad (1)$

Ziel solcher Aufgaben ist, einen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben, der gleichwertig zu diesem Ausdruck (mit Klammern) ist. Probieren wir zunächst einmal die Klammern einfach wegzulassen. Zuerst soll man etwas erklären:

Wenn zwischen zwei mathematischen Ausdrücken nichts (keine Rechenart) steht, ist ein "mal" gemeint (Multiplikation) (einzige Ausnahme sind hier die gemischten Zahlen)

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-5\end{matrix}}\qquad (2)$

Probieren wir jetzt in beiden Ausdrücken eine Zahl an der Stelle von x einzusetzen, beispielsweise 0:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=0}-5)=-10$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=0}-5=-5$

Die beide Ausdrücke sind nicht gleich. Probieren wir es auch mit 1:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=1}-5)=-4$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=1}-5=1$

Wieder sind die Ausdrücke nicht gleich. Man sagt dann, dass  $2(3x-5)\neq 6x-5$  ist, dass  $2(3x-5)$  nicht gleich zu  $6x-5$  ist. Obwohl eine Zahl schon ausreichen könnte, stimmt das eigentlich für alle Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann.

Probieren wir dann beide Summanden in der Klammer mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer zu multiplizieren:

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-10\end{matrix}}\qquad (3)$

Egal mit welcher Zahl wir es jetzt ausprobieren, werden die beide Ausdrücke immer gleich sein! Beispielsweise mit $4$:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=4}-5)=14$ $(3)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=4}-10=14$

Da das immer gilt, kann man schreiben:

$2(3x-5)=6x-10$

Wir haben daher unser Ziel erreicht! Wir haben einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern!

Klammern werden aufgelöst, indem jeder Summand in Klammern mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Erklärung des Ausmultiplizierens

Denken wir an eine Kiste die 2 Zitronen und 4 Birnen hat:

Nehmen wir an, dass wir diese Kiste 3 mal haben:

In diesem Fall haben wir 3 mal 2 also 6 Zitronen und 3 mal 4 also 12 Birnen.

Den Inhalt der Kiste müssen wir mit 3 multiplizieren und zwar muss jede verschiedene Sorte, die in der Kiste ist, mit 3 multipliziert werden.

Ein Klammer ist genau so wie eine Kiste:

$3\cdot (2z+4b)=3\cdot 2z+3\cdot 4b=6z+12b$

Wir haben einfach statt Bilder für die Zitronen den Buchstabe z und für die Birnen den Buchstabe b benutzt.

Es spielt keine Rolle, ob außerhalb der Kiste eine Zahl oder ein Symbol steht:

$a\cdot (2z+4b)=a\cdot 2z+a\cdot 4b=2a\ z+4a\ b$

Zwischen 2z und 4b steht ein Plus. Der Vorgang ist der gleiche bei Minus:

$a\cdot (2z-4b)=a\cdot 2z-a\cdot 4b=2a\ z-4a\ b$

Auch wenn wir Minus haben, können wir die verschiedenen Sorten (hier 2z und 4b) Summanden nennen.

Ein Klammer wird ausmultipliziert, indem jeder Summand in der Klammer mit der Sache außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Beispiel: $\ 5a\cdot (2z-4b+3c)=5a\cdot 2z-5a\cdot 4b+5a\cdot 3c=10a\ z-20a\ b+15a\ c$  

Aufgaben mit einer Klammer

Lösen Sie die Klammern auf!

$2x^{2}(3x^{5}-7+5x)$

Die Aufgabe hier ist, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Wie eben erklärt, multipliziert man dafür den Term außerhalb der Klammer ( $2x^{2}$ ) mit jedem Summand in den Klammern (also erst mit  $3x^{5}$ , dann mit  $7$  und dann mit  $5x$ ):

Der Ausdruck am Ende ist immer gleich mit dem Ausdruck am Anfang. Wir haben also die Klammer aufgelöst!

Aufgaben mit 2 Klammern

Lösen Sie die Klammern auf!

$(2x^{2}-5)(3x^{2}-4)$

Die Aufgabe hier ist wieder, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Um das zu machen, multipliziert man jeden Summand der ersten Klammer  $(2x^{2}-5)$  mit jedem Summand der zweiten Klammer  $(3x^{2}-4)$ :

Zu bemerken ist, dass −8x²−15x² eine Strichrechnung zwischen Potenzen ist. Daher gelten hier die entsprechenden Regel der Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Hier gilt die Multiplikationsregel der Vorzeichen: plus mal plus ist plus, plus mal minus ist minus, minus mal plus ist minus, minus mal minus ist plus. (Das Gleiche gilt bei durch)

+ · + = +

+ · − = −

− · + = −

− · − = +

Hier ist darauf zu achten, dass die Regel ausschließlich bei Punktrechnungen gilt (Multiplikation und Division). Hier ein paar Beispiele, die den Zusammenhang klar machen sollten:

5−6=−1
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 MINUS 6, was insgesamt MINUS 1 beträgt.

5·(−6)=−30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen eine positive und eine negative Zahl, also hier gilt + · − = − und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30).

−20−4=−24
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen, wobei die erste Zahl negativ ist, also MINUS 20 MINUS 4, was insgesamt MINUS 24 beträgt.

−20 : (−4)=5
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (durch) zwischen zwei negative Zahlen, also hier gilt − · − = + und die Werte 20 und 4 müssen wir dividieren (20 durch 4 ist 5).

5+6=11
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 PLUS 6, was insgesamt 11 beträgt.

5·6=30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen zwei positive Zahlen, also hier gilt + · + = + und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30). Diese Berechnung ist gleichbedeutend mit (+5)·(+6)=30.

Die Berechnung 5−6=−1 ist gleichbedeutend mit 5+(−6)=−1. Hier haben wir zwar keine ausdrückliche Multiplikation, wir addieren allerdings eine negative Zahl. In solchen Fällen sollen wir schon die plus mal minus Regel anwenden, wir haben aber doch keine Multiplikation, also 5 wird NICHT mit 6 multipliziert. Die Regel gilt nur für die Vorzeichen. Daher gilt:
5+(+6)=11
5−(+6)=−1
5−(−6)=5+6=11
5+(−6)=−1
Es gilt auch: −5+6=1

Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Addition	plus	+	$2$        $+$      $7$      $=$	$9$
(addieren, erhöhen)			Summand $+$ Summand $=$	Summe
Subtraktion	minus	−	$65$      $-$      $22$      $=$	$43$
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend $-$ Subtrahend $=$	Differenz
Multiplikation	mal	⋅  (×)	$9$      $\cdot$      $13$      $=$	$117$
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor  ⋅  Faktor $=$	Produkt
Division	durch	:  (÷, /)	$84$      $:$      $7$      $=$	$12$
(dividieren, teilen)			Dividend $:$ Divisor $=$	Quotient

Mit den Grundrechenarten kann man auch Textaufgaben bilden. Bei diesen Aufgaben ist in der Regel die Bedeutung der Wörter nicht so wichtig, wie der Aufbau des Satzes:

• Dividieren Sie die Differenz von 125 und 20 mit der Summe von 4 und 3.

Schauen wir mal, wie der Satz aufgebaut ist. Erst steht, dass man dividieren muss (also durch machen). Was muss man aber dividieren? Was steht nach dem Wort dividieren? Die Zahlen 125 und 20? NEIN! Nach dem Wort dividieren (durch machen) steht das Wort Differenz! Man muss also erst eine Differenz berechnen! Welche Differenz? Die Differenz von 125 und 20(was nach dem Wort Differenz steht)! Das steht ja auch da! Die Differenz (Minus) von 125 und 20 ist 125−20=105. Diese Differenz muss man durch irgendwas dividieren. Ist das durch 4, durch 3 oder doch was anderes? Doch was anderes! Die Differenz muss man mit der Summe (Plus machen) dividieren. Man muss also erst eine Summe berechnen, die Summe von 4 und 3 (was nach dem Wort Summe steht), 4+3=7. Man soll also die Differenz (105) durch die Summe (7) dividieren:

105:7=15. 15 ist also die Antwort zur Aufgabe!