MathemaTriX ⋅ Theorie. Vertiefendes Niveau 1

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AUFGABEN

Grundniveau 1 Grundniveau 2 Vertiefend 1 Vertiefend 2 Experten 1 Experten 2

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Bruchrechnungen

Bruchrechnungen und Vorrang

Bei Kombinationen von Bruchrechnungen muss man auf der Reihenfolge (siehe Vorrang der Rechenarten) aufpassen:

${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$

Man muss zuerst die Klammern machen:

• Erste Klammer

${\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}={\frac {6-9}{7}}=-{\frac {3}{7}}$   Hier haben wir nur eine Strichrechnung und zwar mit dem gleichen Nenner.

• Zweite Klammer

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}$      Hier müssen wir erst die Punktrechnung machen und dann die Strichrechnung.

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}\cdot {\frac {7}{4}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16\cdot 7}{21\cdot 4}}$      Hier soll man erst kürzen.

${\frac {2}{5}}-{\frac {{\cancelto {4}{16}}\cdot 7}{21\cdot {\cancelto {1}{4}}}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4\cdot {\cancelto {1}{7}}}{{\cancelto {3}{21}}\cdot 1}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4}{3}}$   $\textstyle \left(^{\text{Vorgang: }}{\frac {2}{5}}{\underline {\xcancel {-}}}{\frac {4}{3}}\right)$  $={\frac {2\cdot 3-4\cdot 5}{5\cdot 3}}={\frac {6-20}{15}}=-{\frac {14}{15}}$

Jetzt kann man in der Rechnung die Ergebnisse für die Klammern einsetzen:

${\frac {2}{3}}+{\cancelto {-{\frac {3}{7}}}{\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)}}\cdot {\cancelto {-{\frac {14}{15}}}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)}}=$

${\frac {2}{3}}+\left(-{\frac {3}{7}}\right)\cdot \left(-{\frac {14}{15}}\right)$$^{\text{(minus mal minus ist plus)}}=$

${\frac {2}{3}}+{\frac {{\cancelto {1}{3}}\cdot {\cancelto {2}{14}}}{{\cancelto {1}{7}}\cdot {\cancelto {5}{15}}}}$$^{\text{(hier erst kürzen)}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 5}}={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{5}}=$

${\frac {2\cdot 5+2\cdot 3}{3\cdot 5}}={\frac {16}{15}}$

Primfaktorzerlegung

Anwendungen

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

Schauen wir folgendes Beispiel an:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir haben schon gesehen, wie man zwei Brüche addiert oder subtrahiert. Was ist es aber, wenn man mehrere Brüche hat? Man könnte selbstverständlich erst die zwei Brüche machen, das Ergebnis mit dem nächsten Bruch usw. Das kann lang dauern und Brüche mit sehr große Nennern als Ergebnis haben. Es gibt eine Methode, die schneller ist und die Primfaktorzerlegung (PFZ) benutzt. Schauen wir ein Beispiel an. In unserem Beispiel wandeln wir erst die gemischten Zahlen in „unechten“ Brüchen um:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}={\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Jetzt machen wir die PFZ der Nenner:

36	2
18	2
9	3
3	3
1

24	2
12	2
6	3
3	3
1

45	3
15	3
5	5
1

40	2
20	2
10	2
5	5
1

also:

36 = 2·2·3·3

24 = 2·2·2·3

45 = 3·3·5

40 = 2·2·2·5

Als nächstes sollen wir das sogenannte „kleinste gemeinsame Vielfache“ (kgV) bilden. Das geht so: Wir schauen welche Faktoren in den Nennern vorkommen. In unserem Fall sind es 2, 3 und 5. Dann schauen wir, wo jeder von diesen Faktoren am häufigsten vorkommt.

2 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 drei mal vor, in 45 kein mal und in 40 wieder drei mal vor. Am häufigsten also kommt 2 drei mal vor (in 36 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 2 am häufigsten in irgendeinem Nenner drei mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 2 drei mal benutzen.

3 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 ein mal, in 45 zwei mal und 40 kein mal vor. Am häufigsten kommt 3 also zwei mal vor (in 36 oder in 45, wir benutzen also nur 36 oder nur 45, also die 3 zwei mal). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 3 zwei mal benutzen.

5 kommt in 36 kein mal, in 24 auch kein mal, in 45 ein mal und 40 auch ein mal vor. Am häufigsten kommt 5 also ein mal vor (in 45 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 5 am häufigsten in irgendeinem Nenner ein mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 5 ein mal benutzen.

Also die 2 kommt in kgV als drei mal Faktor vor, die 3 zwei mal und die 5 ein mal vor:

kgV=2·2·2·3·3·5=360

Für den nächsten Schritt gibt es verschiedene Wege, wir schreiben hier den Weg, den wir für den einfachsten halten. Unsere Rechnung nach dem ersten Schritt (gemischte Zahlen in unechten Brüchen umwandeln) ist jetzt:

${\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir multiplizieren unser kgV jeweils mit dem Zähler und dividieren jeweils durch den Nenner für jeden Bruch. Die Ergebnisse schreiben wir in einem Zähler auf, mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen. Im Nenner kommt das kgV (hier 360) vor. Also:

Für den ersten Bruch: 360⋅83:36=830
Für den zweiten Bruch: 360⋅85:24=1275
Für den dritten Bruch: 360⋅44:45=352
Für den vierten Bruch: 360⋅1:40=9

Diese vier Zahlen kommen im Zähler mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen vor, im Nenner kommt das kgV vor. Im Zähler machen wir dann auch die Strichrechnungen:

${\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}$

In diesem Fall können wir den Bruch auch weiter kürzen (hier mit 6). Daher ist das Ergebnis:

$-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Wiederholen wir das Ganze:

$\ 2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}=\qquad \qquad (kgV=360)$ $\ =\overbrace {\frac {83}{36}} ^{360\cdot 83:36=830}-\overbrace {\frac {85}{24}} ^{360\cdot 85:24=1275}+\overbrace {\frac {44}{45}} ^{360\cdot 44:45=352}-\overbrace {\frac {1}{40}} ^{360\cdot 1:40=9}=$ $={\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Berechnung kgV: 36=2⋅2⋅3⋅3 24=2⋅2⋅2⋅3 45=3⋅3⋅5 40=2⋅2⋅2⋅5 kgV=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5 =360

Schluss und Prozentrechnung

Exponential und Logarithmus Funktion

Dieses Kapitel fängt mit Grundniveau 3 an.

Arbeiten mit Termen

Potenzen

Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^{3}\cdot 4^{6}=4^{3+6}=4^{9}\quad \quad a^{t}\cdot a^{q}=a^{t+q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^{3}\cdot 4^{6}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4} _{3\ mal}\cdot \underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{6\ mal}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{9\ mal}=4^{9}\quad _{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^{7}\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^{5}\quad \quad a^{t}\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können. Für den Fall von natürlichen Hochzahlen können wir schreiben:

$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n\ mal}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{m\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n+m\ mal}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^{3}+4^{6}\neq 4^{9}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man dividieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Differenz der Hochzahlen (oben minus unten!) schreibt.

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}=a^{7-5}=7^{2}\quad \quad {\frac {7^{74}}{7^{5}}}=7^{74-5}=7^{69}\quad \quad {\frac {4^{z}}{4^{x}}}=4^{z-x}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}={\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot a\cdot a}{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {a\cdot a}{1}}=a^{2}\quad _{=(a^{7-5})}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

${\frac {w^{5}}{w^{-7}}}=w^{5}:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}$

${\frac {a^{-7}}{a^{5}}}=a^{-7}:a^{5}=a^{-7-5}=a^{-12}$

${\frac {4^{-7}}{4^{-c}}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Umformen einfache Kombinationen

Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Im Folgenden werden alle Terme mit der gesuchten Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht (das geht aber selbstverständlich auch umgekehrt). Schauen wir ein Beispiel an:

5x − 7 = 3x + 11

Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).

5x − 7 − 3x = 11

7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):

5x − 3x = 11 + 7

Das Ganze kann man in einem Schritt machen:

5x − 7 = 3x + 11

5x − 3x = 11 +7

2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).

Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:

x = $\textstyle {\frac {18}{2}}$ und daher x = 9

Man kann das ganze auch so erklären:

5x − 7 = 3x + 11

Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)

5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x

2x − 7 = 11

Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.

2x − 7 = 11      | +7

2x − 7 + 7 = 11 + 7

2x = 18

Jetzt bleibt nur die Division:

2x = 18      | :2

x = 18 : 2      (Man kann auch  $\textstyle x={\frac {18}{2}}$  schreiben)

x = 9

Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x+7

2x = 18      | :2

x =  $\textstyle {\frac {18}{2}}$

x = 9

Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21

4y − 15y = 11 − 6y −21 | +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

− 5y = −10 | : (−5)

y=2

Wenn man y durch 2 in der Anfangsgleichung 4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y ersetzt, stellt man fest, dass die Gleichung tatsächlich stimmt.

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4·2 + 3 (7 − 5·2) = 11 − 6·2

8 + 3 ·(−3) = 11 − 12

8 − 9 = − 1

In der Tat ist 2 der einziger Wert von y, für den die Gleichung wirklich stimmt. Die LeserInnen können andere Werte ausprobieren und feststellen, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt.

Das Gleichheitszeichen in Umformungen

Die Gegenrechnungen und den ganzen Vorgang beim Umformen nennt man auch Äquivalenzumformungen.

Im Kapitel über die Grundrechenarten haben wir gelernt, dass das Gleichheitszeichen auch in Kettengleichungen benutzt werden kann. Das ist in der Regel nicht der Fall bei Äquivalenzumformungen. Wie wir gesehen haben, wird jeder Schritt nacheinander gemacht und die Gleichung (mit so vielen Gleichheitszeichen wie am Anfang, also hier mit einem Gleichheitszeichen) wieder darunter geschrieben. Jeder Schritt wird an den Rand geschrieben und in jedem Teil der Gleichung (hier rechts und links des Gleichheitszeichens) durchgeführt.

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y

4y + 21 − 15y + −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

Es ist falsch zu schreiben:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

Die folgenden beiden Teile sind doch nicht gleich: 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y (falsch). Wenn man die Gleichungen nebeneinander schreiben will, gibt es ein anderes Zeichen dafür, den doppelten Folgepfeil:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y ⇔ 4y − 15y + 6y = 11 − 21 (richtig)

Diese Schreibweise wird allerdings nur in fortgeschrittener Mathematik und nur unter bestimmten Bedingungen benutzt.

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Zahlendarstellungen

Die Geschichte von Null

Binäre Zahlen

Weitere Zahlensysteme

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Siehe Mittelwerte beim Säulendiagramm weiter unten.

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im mittleren Niveau 2 weitergeführt.

Geometrie der Ebene

Anwendung der Formeln

Umformen in der Geometrie konkret

Beim Umformen haben wir am Anfang eine Formel, in der eine bestimmte Variable durch eine Beziehung von anderen Variablen und Zahlen ausgedrückt wird. Diese bestimmte Variable steht allein auf einer Seite (i.d.R. die rechte). Diese Formel wird dann so geändert, dass eine andere Variable der Formel allein auf einer Seite steht. Dafür benutzen wir u.A. die Gegenrechnungen (siehe Kapitel „Umformen“). Z.B. ist plus die Gegenrechnung von minus (und umgekehrt), mal von plus (und umgekehrt), Wurzel von Quadrat (und umgekehrt). „Konkret“ wird in diesem Buch das Umformen dann genannt, wenn die Variablen (außer einer) durch Zahlen ersetzt werden. Wenn dies nicht der Fall ist, wird die Rede von „abstraktem“ Umformen sein. Im letzten Fall bleiben alle Variablen (alle „Buchstaben“) vorhanden. Hier zwei Beispiele aus der Geometrie der Ebene:

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Seite und die Fläche!

Wir finden die Figur (hier Quadrat) in der Formelsammlung. Wir fangen mit der Formel der gegebenen Eigenschaft (hier Umfang) an:

u=4a

Hier ist der Umfang gegeben, man braucht die Seite. Zwischen 4 und a steht nichts, also ist mal gemeint. Die Gegenrechnung von mal ist durch und der Umfang ist 12, also:

$u=4a\quad |:4$

${\frac {u}{4}}=a$    Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

$a={\frac {u}{4}}={\frac {\cancelto {12}{u}}{4}}={\frac {12}{4}}$  also

a=3 cm

Die Formel für die Fläche, die man auch in der Formelsammlung finden kann ist dann:

$A=a^{2}$$_{(a=3)}\ \$$=3^{2}=9$   also  $A=9\ cm^{2}$

Auch wenn die Seite erst nicht gefragt wäre, wäre es doch notwendig diese erst einmal zu berechnen, um dann mit Hilfe des Wertes für die Seite auch die Fläche berechnen zu können.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel fängt im mittleren Niveau 1 an.

Diagramme

Säulendiagramm

Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

Bei einem Säulendiagramm kann man auch Mittelwerte finden. Nehmen wir das gleiche Diagramm:

Aus dem Diagramm kann man eine Tabelle erzeugen!

	Bananen pro Packung	Anzahl der Packungen	Gesamte Bananen in diesen Packungen
	0	4	0⋅4=	0
	1	2	1⋅2=	2
	2	3	2⋅3=	6
	3	0	3⋅0=	0
	4	5	4⋅5=	20
	5	1	5⋅1=	5
		4+2+3+0+5+1=		0+2+6+0+20+5=
	Summe	15 Packungen		33 Bananen

Es gibt also 33 Bananen in 15 Packungen. Der Durchschnitt ist daher:  $\textstyle {\frac {33}{15}}=2,2$ B/P (Bananen pro Packung) im Durchschnitt.

Man kann auch den Median finden. Man soll die Werte (wie viele Bananen) einordnen. Wir haben 4 Packungen mit 0 Bananen (also die null kommt vier mal vor), 2 mit einer Banane, 3 mit 2 Bananen usw.:

$\underbrace {0,0,0,0,1,1,2,} _{\longleftarrow {\text{7 Werte}}}$  $\underbrace {2} _{Median}$  $\underbrace {,2,\overbrace {\color {Red}4,4,4,4,4} ^{Modus},5} _{{\text{7 Werte}}\longrightarrow }$

Wie man sehen kann, 3 kommt nicht vor. Wir haben ja keine Packung mit 3 Bananen, also der Wert 3 Bananen kommt nicht vor! Wir haben insgesamt 15 Werte (15 Packungen). Der Wert in der Mitte ist der achte Wert, also 2. Der Median ist 2.

Welcher Wert kommt öfters vor? 4 Bananen kommt 5 mal vor (in 5 Packungen). Alle andere Werte kommen nicht so oft vor. Also 4 ist der Modalwert.

Funktionen

Diese Kapitel fängt im mittleren Niveau 1 an.

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Einsetzungsverfahren

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Wie löst man so eine Aufgabe? Man benutzt ein sogenanntes lineares Gleichungssystem. Wir werden uns hier mit der einfachste Form eines Gleichungssystems beschäftigen, einem Gleichungssystem mit zwei unbekannten und zwei Gleichungen. Es gibt verschiedene Wege so ein System zu lösen, wir werden hier zunächst einmal einen Weg zeigen.

Hier gibt es zwei unbekannte, die Anzahl der Tische für 3 Personen und die Anzahl der Tische für 5 Personen. Wenn man in Mathematik etwas nicht kennt, benutzt man ein Symbol dafür, in der Regel $x$ (kann aber a, b, z, A₁, oder irgendwas sein). Lass uns dann mit $x$ die Anzahl der Tische für 3 Personen bezeichnen. Wir wissen nicht, ob die Anzahl der Tische für 5 Personen gleich so groß wie die Anzahl der Tische für 3 Personen ist. Daher müssen wir für die Anzahl der Tische für 5 Personen ein anderes Symbol benutzen, z.B. $y$. Also:

$x$: die Anzahl der Tische für 3 Personen

$y$: die Anzahl der Tische für 5 Personen

Wie schon gesagt, wir wissen nicht, wie viele Tische es für 3 oder für 5 Personen gibt. Wir wissen aber schon, dass es insgesamt 8 Tische gibt. Also die x Tische und die y Tische zusammen sind 8 Tische:

$x+y=8$

Die $x$ Tische sind für 3 Personen. Wir wissen zwar nicht, wie viel $x$ ist, aber wir können sagen, dass

1 Tisch   →	(3 · 1 =)	3	Personen
2 Tische →	(3 · 2 =)	6	Personen
5 Tische →	(3 · 5 =)	15	Personen
8 Tische →	(3 · 8 =)	24	Personen also
x Tische →	(3 · x =)	$3x$	Personen

da wir x Tische haben, anstatt eine bestimmte Zahl, wie 1, 2, 5 oder 8 Tische.

In der gleichen Weise kann man sagen, dass die $y$ Tische (für 5 Personen) $5y$ Gäste bedienen können.

Wir haben also $3x$ Personen an den $x$ Tischen und $5y$ Personen an den $y$ Tischen.

Wir wissen jetzt nicht, wie viel 3x oder 5y ist (das sind Personen), wir wissen aber, dass insgesamt 36 Personen bedient werden können, also:

$3x+5y=36$

Wir schreiben jetzt beide Gleichungen zusammen:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Mit einer Gleichung können wir weder x noch y finden, wir können aber hier die erste Gleichung (am einfachsten) umformen:

$x=8-y$

Da wir es wissen, dass x=8−y ist, können wir dann in der zweiten Gleichung statt x, 8−y schreiben:

$3{\cancel {x}}^{(=8-y)}+5y=36$    (x wird also durch 8-y ersetzt)

$3\cdot \overbrace {(8-y)} ^{(hier\ war\ x)}+5y=36$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einem Unbekannten. So was können wir schon lösen, wie wir beim Kapitel Umformen gelernt haben:

$3\cdot (8-y)+5y=36$	|Klammer auflösen
$24-3y+5y=36$	|-24 (und y zusammenrechnen)
$2y=12$	| :2
$y=6$

y sind die Tische mit 5 Personen. Es gibt also 6 Tische für 5 Personen. Wie viele sind die restlichen? Wir benutzen unsere Gleichung:

$x=8-{\cancel {y}}^{=6}\ \ \rightarrow \ \ x=8-6=2$

Es gibt also x=2 Tische für 3 Personen und y=6 Tische für 5 Personen. Somit haben wir die Aufgabe gelöst!

Lineare Gleichungssysteme Begriffe

Lass uns jetzt ein paar Begriffe erklären.

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der das Symbol „=“ („ist“, „gleich“ oder „ist gleich“ ausgedrückt) zumindest einmal beinhaltet und bei dem auf beide Seiten des Symbols „=“ andere mathematische Ausdrücke stehen. „6+3=“ ist noch keine Gleichung, „6+3=9“ oder „6+3=x“ oder „6+y=x“ schon.

Wenn alle Variablen in der Gleichung ohne Hochzahl oder sonst was vorkommen, dann spricht man von einer linearen Gleichung⁽¹⁾. $6+3=x$ oder $6+y=x$ oder $\textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}$ sind lineare Gleichungen. $6+3=x^{2}$, $6+3={\sqrt {x}}$ oder $\textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}$ hingegen nicht (letztere weil $x$ im Nenner ist).

Eine Gleichung kann keine, eine oder mehrere Variablen beinhalten. $6+3=9$ hat keine Variable (und ist allerdings eine wahre Aussage: 6+3 ist tatsächlich 9). $6+3=x$, $6+3=x^{2}$, $6+3={\sqrt {x}}$ haben eine Variable. $6+y=x$, $\textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}$ und $\textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}$ haben zwei Variablen.

Wenn man zwei oder mehrere Gleichungen irgendwie verbindet, dann hat man ein Gleichungssystem. In diesem Kapitel haben wir 2 Gleichungen je mit 2 unbekannten gehabt:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Da beide Gleichungen hier linear sind, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. So ein System kann man in verschiedenen Wege lösen. Der Weg, den wir hier benutzt haben, nennt man Einsetzungsverfahren. Es gibt dann noch das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren (wir werden sie gleich lernen). Das Einsetzungsverfahren ist sehr wichtig (auch in anderen Wissenschaften, wie in der Physik), da man es leicht auch bei nicht lineare Gleichungssysteme anwenden kann. Dieses Thema ist von einem höheren Niveau und daher nicht in diesem Buch behandelt.

Die Zahlen (manchmal aber auch Symbole), die vor den Variablen stehen und mit diesen multipliziert werden, nennt man Koeffizienten. In der zweiten Gleichung ($3x+5y=36$) ist der Koeffizient von $x$ 3 und von $y$ 5. In der ersten Gleichung ($x+y=8$) steht keine Zahl vor den Variablen. Trotzdem sagt man dann, dass der Koeffizient 1 ist (es gilt ja, dass $1\cdot x=x$ und $1y=y$ ist). Bei $\textstyle {\frac {x}{5}}-{\frac {3y}{7}}-z+c\ v=d$ ist der x-Koeffizient ${\frac {1}{5}}$, der y-Koeffizient $-{\frac {3}{7}}$ und der z-Koeffizient $-1$. Die Symbole c und d sind in dieser Gleichung nicht Variablen (das ist aber nicht immer klar, man soll in solchen Fällen immer die Vorgaben lesen). Wenn ein Symbol benutzt wird, der eine feste Zahl (und daher keine Variable) darstellt, dann nennt man diese Symbol eine Konstante. Die Konstante c ist hier gleichzeitig der Koeffizient der Variablen v. Die Konstante d hingegen ist keiner Koeffizient.

Ein Gleichungssystem kann keine, zwei oder unendlich viele Lösungen haben. Das ist allerdings Thema eines anderen Kapitels.

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Im Kapitel über das Einsetzungsverfahren haben wir uns mit einer Textaufgabe beschäftigt. Dort haben wir schon gelernt, wie Textaufgaben zu lösen sind. Die Aufgabe war:

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Schauen wir die Denkweise genauer an. Die Anzahl der Tische ist bekannt, als auch die der Personen insgesamt. Was ist hier unbekannt (und letztendlich auch gefragt)? Wie viele Tische für 5 Personen und wie viele für 3 Personen es gibt. Für die Unbekannten in jedem mathematischem Problem benutzt man irgendwelche Symbole. Wir haben x und y benutzt, dass könnte aber genauso a und b, oder m und n, oder f und d oder irgendwas anders sein. Wichtig: Es gibt zwei Unbekannte, wir müssen also zwei verschiedenen Symbole dafür benutzen. Wenn es drei Unbekannte gibt, dann soll mal drei unterschiedlichen Symbole benutzen usw. (wie werden uns aber hier nur mit Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten beschäftigen).

Am Anfang muss man definieren, was jedes Symbol darstellt. In dieser Aufgabe haben wir gesagt, dass die Tische für 3 Personen und y die Tische für 5 Personen sind:

x: die Tische für 3 Personen

y: die Tische für 5 Personen

Dieser Schritt sollte nicht so schwer sein. Man gibt einfach Namen (Symbole) für die unbekannten Sachen. Beim nächsten Schritt haben viele Menschen die größten Schwierigkeiten. Dabei ist die Sache nicht wirklich so schwer. Man soll das Problem vorsichtig lesen und den Text in die mathematische Sprache umsetzen. Dafür muss man nicht den ganzen Text verstehen, sondern auf Schlüsselworte beachten. In dieser Aufgabe steht, dass es 8 Tische gibt. Auch wenn man nicht wüsste, was ein Tisch ist, kann man schon schreiben, dass die Tische zusammen 8 sind. Welche Rechenart steht in Mathematik für zusammen? Die Addition. Also:

x+y=8

Wir haben zwei Unbekannte, also wir brauchen zwei Gleichungen, um die Aufgabe eindeutig zu lösen. Die zweite Gleichung zu erzeugen war in dieser Aufgabe nicht so leicht. Wir haben gesagt: Wenn es 2 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 2⋅3=6 Personen, es 5 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 5⋅3=15 Personen usw. Man merkt, dass damit wir die Personen berechnen, die Anzahl der Tische mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3 Personen pro Tisch) multiplizieren müssen. Wir wissen aber nicht, wie viele Tische für drei Personen es gibt. Wir haben aber doch ein Symbol dafür benutzt: das sind x Tische. Dieses Symbol muss man also mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3) multiplizieren, um durch einen Term zu zeigen, wie viele Personen an diesen Tischen sitzen können: 3x! Dass ist (noch) nicht eine bestimmte Zahl, das sind aber doch die Personen die an diesen x Tischen sitzen können. Entsprechend können an den y Tischen für 5 Personen insgesamt 5y Personen sitzen (Anzahl der Tische y mal Personen pro Tisch, hier 5). In der Aufgabe steht, dass das Café insgesamt 36 Personen bedienen kann. Also die Anzahl der Personen, die an den zwei Tischkategorien (eine Kategorie die 3-Personen Tische, zweite Kategorie die 5-Personen Tische) sitzen können ist insgesamt 36 Personen. Welche Rechenart wird hier angedeutet? Wieder Addition. Die Personen der beiden Kategorien zusammen (also plus) sind 36:

3x+5y=36

Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte.

x+y=8

3x+5y=36

Jetzt kann man eine der dargestellten Wege benutzen, um x und y herauszufinden. In unserem Beispiel haben wir das Ersetzungsverfahren benutzt.

Erzeugen wir das Gleichungssystem für noch ein paar Textaufgaben:

Iris ist 2,5 mal älter als ihr Bruder Andreas. Zusammengezählt sind ihre Altersjahren 14. Wie viele Jahren alt sind die beiden Geschwister?

Gefragt sind die Lebensalter der beiden Geschwister. Wir schreiben mit i das Lebensalter von Iris und mit a von Andreas. Iris ist 2,5 mal älter und zusammen sind die Jahre 18:

i=2,5⋅a     und     i+a=14

Dieses System lässt sich sehr leicht durch das Ersetzungsverfahren lösen. Wir ersetzen i in der zweiten Gleichung durch 2,5a (da i=2,5a, wie es schon in der ersten Gleichung steht):

i+a=18 → 2,5a+a=14 → 3,5a=14 (:3,5) → a=4 und sofort i=2,5a=2,5⋅4 → i=10 (also tatsächlich i+a=14)

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht. Berechnen sie die Zahlen.

Viele finden solche Aufgaben extrem schwer. Dabei muss man einfach Schritt für Schritt vorgehen. Erst gibt man Symbole für die zwei unbekannten Zahlen.

e ist die erste Zahl

z ist die zweite Zahl

Gehen wir Schritt für Schritt vor:

Die Summe des Fünffachen einer Zahl.... Die erste Zahl haben wir e genannt. Das fünffache bedeutet 5e. Über die Summe wissen wir noch nichts, außer dass der erste Summand 5e sein wird.

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4.... Hier erkennen wir den zweiten Summand: 4. Also bisher haben wir: 5e+4

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie.... ...ist so viel wie in der mathematische Sprache umgesetzt ist nichts mehr und nichts mehr als das Symbol für gleich (=). Also bisher haben wir: 5e+4=

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die zweite (die "andere") Zahl haben wir z genannt und sie wird um 1 reduziert also z−1. Bisher haben wir: 5e+4=z−1 Hier endet der erster Satz. Wir haben also schon unsere erste Gleichung!

5e+4=z-1

Fangen wir jetzt mit dem zweiten Satz an: Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl.... Über die Differenz kenne wir nur den Minuend. Er ist das dreifache der zweiten Zahl. Die zweite Zahl haben wir z genannt, also ist ihr Dreifaches 3z. Bisher haben wir daher: 3z−...

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 Jetzt haben wir auch den Subtrahend der Differenz: 3z−43

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie ...ist so viel wie bedeutet ist gleich: 3z−43=

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht Die erste Zahl ist e und sie wird um 14 erhöht (also plus 14): 3z−43=e+14. Wir haben jetzt auch die zweite Gleichung! Das Gleichungssystem lautet:

5e+4=z−1

3z−43=e+14

Dieses System kann man dann mit einem der präsentierten Verfahren lösen. Die Antwort ist e=3 und z=20, wie man überprüfen kann:

5⋅3+4=20−1    ✔    und

3⋅20−43=3+14    ✔

Viele Menschen denken, dass solche Aufgaben schwer wären. Wie man hier sieht, wenn man die Aufgabe Schritt für Schritt löst, ist es nicht so schwer. Das braucht einfach etwas Konzentration, ist aber durchaus fast für jeden möglich.

In einer Flups gibt es 37 Tröpats. Manch davon haben 4 Hupals, die restlichen 7 Hupals. Die Flups beihaltet damit 190 Hupals. Wie viele Tröpats mit 4 bzw. 7 Hupals gibt es?

Man mag hier fragen, was zum Teufel Flups, Tröpats und Hupals sind. Meine Antwort ist dann eine weitere Frage: Ist diese Kenntnis für die Lösung der Aufgabe notwendig? Die Antwort ist ganz einfach NEIN! Wenn in einer Prüfungssituation jemand eine unbekanntes Wort trifft, soll man erst entscheiden, ob dieses Wort für die Lösung wichtig ist, sonst verliert man Zeit, die für eine Prüfung i.d.R. sehr wichtig ist. Ziel dieser Aufgabe ist darauf aufmerksam zu machen. In der Aufgabe wird NICHT gefragt, was Flups usw sind. Ḿan braucht es daher auch nicht wissen. Wichtig sind nur Schlüsselworte und -phrasen, wie z.B. In... gibt es, was darauf hinweist, dass die Tröpats insgesamt 37 sind. Der erste Schritt ist für jede Unbekannte ein Symbol einzusetzen. Wenn v die Tröpats mit 4 Hupals sind und s die Tröpats mit 7 Hupals, dann haben wir die erste und die zweite Gleichung, genau wie im ersten Beispiel in diesem Teilkapitel:

v+s=37

4v+7s=190

Das System kann man dann in einer beliebige Weise lösen. Die Antwort ist 23 Tröpats mit 4 Hupals und 14 Tröpats mit 7 Hupals (was das auch immer sein könnte ).