MathemaTriX ⋅ Theorie. Vertiefendes Niveau 2

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AUFGABEN

Grundniveau 1 Grundniveau 2 Vertiefend 1 Vertiefend 2 Experten 1 Experten 2

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Dieses Kapitel wird im mittleren Niveau 2 fortgeführt

Schluss und Prozentrechnung

Prozentrechnung

Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% länger (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Der Wert ganz am Anfang (100%) ist hier gegeben (5 Stunden). Das wurde um 70% geschnitten, es bleiben also 100-70=30%. Schreiben wir diese Information auf:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\30\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}5$  Stunden.

Der Film war dann den Produzenten doch zu kurz. Diesen geschnittenen Film (also die 1,5 Stunden) haben sie dann um 20% verlängern. Diese 1,5 Stunden sind daher der neue Anfangswert, also 100%! Der Wert am Ende ist daher 100+20=120% von 1,5 Stunden (vom geschnittenen Film):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\120\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{1,5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}8$  Stunden.

*Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

Das hier ist eine Kombination von zwei Umkehraufgaben. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Sie ist um 15% länger als die erste geschnittene Version. In diesem Fall haben wir am Anfang die geschnittene Version, diese ist also 100% und wurde um 15% auf 1,61 Stunden verlängert. 1,61 Stunden sind daher 115%, der Wert am Anfang (100%) ist noch unbekannt:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\115\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,61 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=1{,}4$  Stunden.

Der Schnitt ist 1,4 Stunden nachdem er geschnitten wurde. Die Dauer am Anfang (100%), vor dem Schnitt, ist noch unbekannt. 80% wurden geschnitten, also 100-80=20% sind nach dem Schnitt geblieben. Nach dem Schnitt (80%) war der Film 1,4 Stunden:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\20\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,4 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=7$  Stunden.

Das Filmmaterial am Anfang (die ursprüngliche Dauer) war daher 7 Stunden!

Prozentrechnung für Fortgeschrittene

Es gibt einen viel schnelleren Weg um Aufgaben mit Prozentrechnung zu lösen. Nehmen wir die zwei Aufgaben aus dem letzten Kapitel.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Die Dauer nach dem Schnitt ist 100%-70%=30%. Wie am Anfang des Kapitels über Prozentrechnung erwähnt, 30% ist 0,3 ($\textstyle 30\%={\frac {30}{100}}=0{,}3$).

Wenn der Anfangswert gegeben ist, muss man mit dem Prozentsatz (als Zahl, also nicht 30, was %, also Hundertstel, ist, sondern 0,3) multiplizieren:

5·0,3=1,5 (Stunden).

Den nächsten Schritt kann man genauso machen. Nach 20% Erhöhung (aufpassen: des geschnittenen Films) haben wir $\textstyle 120\%={\frac {120}{100}}=1{,}2$.

1,5·1,2=1,8 (Stunden).

Das ganze kann man sogar in einem Schritt berechnen:

5·0,3·1,2=1,8 (Stunden).

Betrachten wir noch einmal den ersten Schritt. Wir wollen wissen, wie viele Stunden 30% von 5 Stunden sind. 30% bedeutet $\textstyle {\frac {30}{100}}$. Man soll daher die 5 Stunden in 100 teilen und 30 Teile davon nehmen:

${\frac {5}{100}}\cdot 30={\frac {5\cdot 30}{100}}=5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\$ (Stunden)

Der Anfangswert (Grundwert) wird daher mit 0,3 multipliziert.

Das kann man auch feststellen, wenn man die Schlussrechnung wie bisher gelernt durchführt:

${\begin{matrix}30\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{5 Stunden}}\end{matrix}}$      $\left(5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\right)\qquad x=1{,}5\ {\text{Stunden}}$.

${\begin{matrix}120\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,5 Stunden}}\end{matrix}}$$\qquad \left(1{,}5\cdot {\frac {120}{100}}=1{,}5\cdot 1{,}2\right)\qquad x=1{,}8\ {\text{Stunden}}$

Aber 1,5 in der letzten Rechnung ist so viel wie 5·0,3, wie man in der ersten Rechnung sehen kann. Daher kann man in der letzten Berechnung schreiben:

$\qquad x=1{,}5\cdot 1{,}2=5\cdot 0{,}3\cdot 1{,}2\qquad =1{,}8\ {\text{(Stunden)}}$

Die Schlussrechnungen können durch eine einfache und schnelle Multiplikation ersetzt werden!

In der Umkehraufgabe soll man die Gegenrechnung der Multiplikation benutzen, also die Division.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

$\textstyle 100\%-80\%=20\%={\frac {20}{100}}=0{,}2$

$\textstyle 100\%+15\%=115\%={\frac {115}{100}}=1{,}15$

1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Schon fertig!

Man kann auch so denken:

x⋅0,2⋅1,15=1,61         |:1,15:0,2

x=1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Wenn der Wert am Ende (der Prozentanteil) gegeben ist, muss man durch den Prozentsatz (als Zahl) dividieren.

Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

Denken wir an eine Flasche Wasser. Der Produzent verkauft sie dem Supermarkt für einen Preis von, sagen wir mal, 2€ und der Supermarkt will dazu 1,2€ gewinnen. Um wie viel Geld wird dann das Produkt verkauft? Man könnte denken: 2+1,2=3,2€. Das ist aber doch nicht alles. Der Staat verlangt für jedes verkauftes Gut und für jede verkaufte Leistung Steuer. Diese Steuer nennt man Umsatzsteuer (USt.). Die USt. ist in Deutschland für Grundgüter 7% und für den Rest 19%, in Österreich 10% für Grundgüter und 20% für den Rest. In anderen Staaten gibt es andere Steuersätze (5%, 13% usw.). Diese Steuer wird vom Einkäufer bezahlt und ist daher Teil des Preises. Die Flasche Wasser wird daher nicht für 3,2€ verkauft, sondern um 10% mehr (ein Getränk ist ein grundlegendes Gut, also ist die USt. 10%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\110\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=3{,}52{\text{€}}\qquad \qquad$.

Nettoverkaufspreis (NVP) (100%) USt. Bruttoverkaufspreis (BVP)

Die Ware wird also um 3,52€ verkauft. Diesen Preis nennt man Bruttoverkaufspreis (BVP). Die 3,2€ (den Preis ohne Steuer) nennt man Nettoverkaufspreis (NVP). Die USt. in dieser Aufgabe ist 10% des Nettoverkaufspreises:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\10\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=0{,}32{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

BVP=NVP + USt.

(in diesem Beispiel: 3,52=3,2+0,32 und 110%=100%+10%)

Rabatt

Aus verschiedenen Gründen (z.B. wenn eine Ware nicht so leicht verkauft wird oder am Ende einer Saison) kann ein Verkäufer eine Ware billiger als für den gewöhnlichen Preis verkaufen. Das nennt man Rabatt (oder Skonto). Im vorherigen Beispiel kann der Supermarkt die Flasche Getränk um 6% billiger verkaufen. Der Preis vor dem Rabatt ist in diesem Fall 3,52€ (Wert am Anfang, 100%). Nach dem Rabatt bleibt noch 100-6=94%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\94\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 3{,}31{\text{€}}\qquad \qquad$.

Preis vor Rabatt (PVR) (100%) Preis nach Rabatt (PNR) Rabatt (R)

Der Rabatt in diesem Fall ist 6% des Preises vor dem Rabatt:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 0{,}21{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

PNR=PVR-R

(in diesem Beispiel: 3,31=3,52-0,21 und 94%=100%−6%)

USt. und Rabatt Kombination

USt. und Rabatt Gegebener Anfangswert

• Der Nettoverkaufspreis einer Ware ist 65€. Berechnen Sie den Verkaufspreis nach einem 12% Rabatt, wenn die USt. 12% ist.

Die Aufgabe kann man in zwei Schritten lösen. Erst den Bruttoverkaufspreis berechnen (Der Bruttoverkaufspreis, also der Preis nach USt. ist 12% mehr also 100+12=112%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\112\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{65€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\quad x=72{,}8{\text{€}}\qquad \qquad$  Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Dann kann man den Preis nach dem Rabatt berechnen. Der Preis nach dem Rabatt wird 12% weniger sein, also 100%-12%=88%.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\88\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{72,8€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x\approx 64{,}06{\text{€}}\qquad \quad$  Das ist der Preis nach dem Rabatt (PNR).

VORSICHT:

Wenn man Brutto- (BVP) und Nettoverkaufspreis (NVP) vergleicht (und USt. berechnet) ist nicht der Brutto- sondern der Nettoverkaufspreis der Grundwert (100%)

Wenn man aber Bruttoverkaufspreis (BVP) und Preis nach Rabatt (PNR) vergleicht, ist der Bruttoverkaufspreis doch der Grundwert (100%):

${\begin{matrix}NVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \ \ \ \\BVP\quad ......\quad 100\%+USt.\neq 100\%\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{matrix}BVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \qquad \\PNR\quad ......\quad 100\%-{\text{Rabatt}}\neq 100\%\end{matrix}}$

Bemerkung Erhöhen und Reduzieren um den gleichen Prozentsatz

Wie man in der letzten Aufgabe feststellen kann, wenn man den Preis um 12% erhöht und dann wieder um 12% vermindert, ist der Preis am Ende nicht gleich dem Preis am Anfang! Warum passiert das? Weil wir zwei unterschiedlichen Anfangswerte haben! Erst haben wir den Nettoverkaufspreis als Anfangswert (100%) und den Bruttoverkaufspreis als Endwert (112%). Dann ist aber der Bruttoverkaufspreis der Anfangswert (100% und nicht mehr 112%) und der Endwert der Preis nach dem Rabatt (88%).

Das ganze kann man auch wieder in einem Schritt berechnen:

65€·1,12·0,88≈64,06€ !

Man muss also immer aufpassen, welcher der Anfangswert ist!

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

*Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist.

Der Preis nach dem Rabatt (56,1€) ist 100%-15%=85%. Vor dem Rabatt (100%) ist er daher:

${\begin{matrix}{\text{56,1€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}85\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$ $\qquad x=66{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Der Bruttoverkaufspreis nach 10% USt. ist 66€. Das ist also 110%. Der Nettoverkaufspreis (Anfangswert) ist 100% und gesucht!

${\begin{matrix}{\text{66€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}110\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$$\qquad x=60{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Nettoverkaufspreis.

Das ganze kann man selbstverständlich auch in einem Schritt berechnen:

56,1€:0,85:1,1=60€

Warum gibt es Steuer?

Der Staat verlangt für jede verkaufte Ware und für jede erbrachte Leistung Steuer. Mit diesem Steuergeld werden (im Idealfall) die verschiedenen Leistungen, die der Staat anbietet, finanziert (z.B. Schule, Polizei, Armee, Krankenhäuser).

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)

Zinsrechnung Begriffe

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

Der Begriff Zinsen hat mit den Bankinstitutionen zu tun, der Begriff KESt. mit dem Staat. Eine Bank ist eine Institution, die Geschäfte mit Geld macht. Als Privatkunde kann jede Person ihr Geld in einer Bank anlegen. Das Geld befindet sich dann auf einem sogenannten Konto. Die Bank gibt dem Kunden Zinsen, die nach einem jährlichen Prozentsatz, den sogenannten Zinssatz berechnet wird. Der Grundwert für den Zinssatz ist das Guthaben am Anfang G₀. Die Zinsen werden durch die Staat versteuert. Diese Steuer, Kapitalertragssteuer (KESt.) genannt, ist im deutschsprachigem Raum ca. 25% der Zinsen und dieser Prozentsatz wird im Folgenden immer benutzt.

Es gibt verschiedene Gründe, warum die Bank jedes Jahr den Kunden Zinsen gibt. Einerseits verliert das Geld durch die Inflation (Erhöhung der Preise) an seinen Wert, andererseits erzielen die Banken durch Investitionen und Kredite einen Gewinn, der ein Vielfaches der Zinsen ist.

Wie schon erwähnt, die Zinsen werden versteuert, daher bleiben im Ḱonto nicht die ganzen Zinsen, die die Bank gibt, sonder ein Teil davon, die sogenannten effektiven Zinsen. Da die Steuer 25% ist, sind die effektiven Zinsen der Rest 75% der Zinsen, die die Bank gibt (75% ist das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$ der Zinsen.

Guthaben am Anfang G₀ ist das Geld, das ein Privatkunde in ein Bankkonto anlegt.

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden dazu gibt, sozusagen als Belohnung für sein Vertrauen an der Bank (und als Teil des Gewinns, den die Bank mit diesem Geld macht).

Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. In diesem Fall ist das Guthaben am Anfang (für das erste Jahr G₀) der Grundwert (also 100%).

Kapitalertragssteuer KESt. ist eine Steuer auf die Zinsen. Sie wird vom Staat genommen, um Funktionen des Staates zu finanzieren. in diesem Buch wird sie immer 25% sein. Der Grundwert allerdings ist in diesem Fall nicht das Guthaben am Anfang, sondern die Zinsen Z, die die Bank dem Kunden gibt.

Effektive Zinsen eZ ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ die Summe des Guthabens am Anfang G₀ und der effektiven Zinsen.

Effektiver Zinssatz eZs ist ein Prozentsatz. Er ist 75% (also das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$) des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, wird das Guthaben nach einem Jahr G₁ um so viel mehr Prozent als das Guthaben am Anfang G₀, wie der effektive Zinssatz.

G1 = G0 + eZ	$\textstyle \mathbf {{\text{Z=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{Zs}}{100}}}$	KESt.= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	$\textstyle \mathbf {{\text{eZ=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{eZs}}{100}}}$	G1 = G0 · $\textstyle \mathbf {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$

Zinsen

Wenn man Geld auf einem Konto hat, bekommt man jedes Jahr Zinsen. Die Bank benutzt das Geld vom Konto, um es zu investieren. Teil des Gewinns aus den Investitionen bekommt der Kontoinhaber als Zinsen (zu diesem Thema lernen wir mehr im Kapitel über Wachstum).

Die Zinsen werden nach einem Jahreszinssatz berechnet. Wenn man z.B. 4000€ im Konto (Anfangswert: 100%) hat und der Zinssatz 0,5%, dann bekommt man am Ende des Jahres:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\0{,}5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{4000€}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $x=20{\text{€ }}$Zinsen.

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

Wenn man ein Bankkonto hat, bekommt man von der Bank jedes Jahr Zinsen. Diese werden vom Staat versteuert. Diese Steuer nennt man Kapitalertragssteuer (KESt.). Der Zinssatz für die Berechnung der Steuer ist ungefähr auch 25%. Das bedeutet im vorherigen Beispiel, dass ein Teil (25%) von den 20€ dem Staat (und nicht dem Kontoinhaber) gegeben wird. Wie viel Geld gelangt dann auf das Konto? In dieser Frage sind die Zinsen (und nicht das Geld am Anfang) der Grundwert (also 100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\25\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\KESt.\end{matrix}}$      $KESt.=5{\text{€}}$  KESt.

Daher bleiben auf dem Konto nicht 20€ mehr am Ende des Jahres sondern:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\eZ.\end{matrix}}$      $\qquad eZ.=15{\text{€}}$  effektive Zinsen.

(nicht vergessen: $\textstyle 25\%=0,25={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}},\qquad 75\%=0,75={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}$,  also 3/4 der Zinsen bleibt im Konto und 1/4 geht zum Staat als Steuer KESt.)

Diese Zinsen, die auf dem Konto bleiben, nennt man effektive Zinsen, den entsprechenden Zinssatz, effektiven Zinssatz. Man kann die effektiven Zinsen offenbar auch einfacher berechnen: eZ = Z – KESt.=20€−5€=15€

Das bedeutet dann, dass das Geld am Ende des Jahres (Guthaben G₁):

G₁=4000€+15€=4015€ ist.

Man kann dann als Formel schreiben:

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

G1 = G0 + eZ	Z = G0 · Zs : 100	KESt.= Z ⋅ $\textstyle {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	eZ = G0 · eZS : 100	G1 = G0 · $\textstyle {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$

Exponential und Logarithmus Funktion

Wachstums- und Zerfallsprozessen

Wachstum

Bevölkerungswachstum

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre mit Hilfe der Schlussrechnung (direkte Proportionalität):

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\qquad \left(750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\right)\qquad {\text{also }}\qquad x_{1}=768{,}75\ {\text{Millionen}}\\{\text{man kann daher schreiben:}}\qquad \qquad x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\left(768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\right)\ \ {\text{also }}\ \ x_{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 768{,}75=750\cdot 1{,}025\qquad {\text{und daher }}\\787{,}97=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\ \ {\text{also }}\\x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das dritte Jahr geht man ähnlich vor:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}787,97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1,025\approx 807{,}67\qquad {\text{also }}\qquad x_{3}\approx 807{,}67\ \ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 787{,}97=750\cdot 1{,}025^{2}\qquad {\text{und daher }}\\{\text{und daher }}807{,}67\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\ \ {\text{also }}\\x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Wenn man das Ergebnis nach 50 Jahren berechnen will, müsste man mit der Strategie die gleiche Rechnung insgesamt 50 mal durchführen! Es gibt aber einen schnelleren Weg, die Aufgabe mit Hilfe eines Taschenrechners zu lösen. Betrachten wir unsere Ergebnisse (man muss immer mit der entsprechende schon gemachte Schlussrechnung vergleichen):

$x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})$

$x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})$

$x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})$

Jedes Jahr multiplizieren wir einmal weiter mit $\ 1{,}025$, jedes Jahr wird die Hochzahl um 1 größer! Das erste Jahr ist die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ 1, das zweite Jahr 2, das dritte Jahr 3 und so weiter. Man kann sofort erkennen, dass die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ nach 50 Jahren 50 sein wird und daher:

$x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!

Hier ist die Periode (also die Zeit in der die Bevölkerung um 2,5% wächst) ein Jahr. In anderen Aufgaben kann sie etwas anderes sein (Woche, Monat, Tag, Stunde und so weiter). Wenn der Anfangswert A ist, der Wert am Ende E, der Prozentsatz des Wachstums P und die Anzahl der Perioden n (wie viele Perioden wir haben), dann kann man folgende Formel schreiben:

$E=A\cdot (1+P:100)^{n}$

Man kann schon sehen, dass die Bevölkerung Chinas sehr groß gewesen wäre, wenn das Wachstum so hoch geblieben wäre. Die Wirtschaft Chinas war schon 1966 geplant und die zuständigen Personen haben damals schon festgestellt, dass die Wirtschaft ein solches Wachstum der Bevölkerung nicht würde verkraften können. Die Leute würden an Hunger sterben oder man würde Kriege führen müssen, um die Bevölkerung zu verringern oder neue Ressourcen zu erschließen. Deshalb haben die Zuständigen die „ein-Kind-Politik“ eingeführt, die das Wachstum der Bevölkerung ohne Hungertod oder größere Kriege in gewissen Grenzen gehalten hat. Die Bevölkerung ist doch gewachsen, aber nicht so viel.

Ein kleiner (oder doch sehr großer?) Kommentar:
Manche könnten sagen, dass die Verdoppelung nach 50 Jahren nicht so viel ist. Wenn jemand dieser Meinung ist, sollte er die Bevölkerung nach 1000 Jahren berechnen (also, die Hochzahl sollte 1000 und nicht mehr 50 sein) und versuchen, sich vom Ergebnis nicht schockieren zu lassen ... Hier ist die Berechnung für 500 Jahre:

$x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}$also Trillionen!

Allerdings könnte man die Haltung von der Bevölkerung in ärmeren Staaten psychologisch gesehen schon verstehen: Sie haben keine Kenntnisse und glauben, dass mehrere Kinder eine bessere Zukunft gewährleisten, beziehungsweise die Versorgung im Alter besser sicherstellen. Oft spielt dabei die Religion eine dazu verstärkende Rolle.

Was ist aber mit den Wirtschaftswissenschaftlern? Die notwendigen Mathematikkenntnisse haben diese Personen mit Sicherheit. Dummheit nach dem berühmten Spruch von Einstein mag man ihnen grundsätzlich nicht gleich unterstellen wollen. Trotzdem behaupten sie, dass ein unendliches wirtschaftliches Wachstum (was mit Sicherheit auch ein unendliches Wachstum zum Beispiel des Energieverbrauchs und der Ressourcen voraussetzt) für das Überleben der Wirtschaft notwendig sei!

Die logische Schlußfolgerung ist daher, dass aus der nicht verfügbaren Unendlichkeit ein zwangsläufiges Scheitern dieser Wirtschaftsstrategie folgen muss, also kein Überleben möglich ist. Die Folgen für die Bevölkerung zu bedenken, bleibt den LeserInnen überlassen ...

Zurück zum mathematischen Problem, dazu eine Methode, die nicht funktioniert, also ein falscher Weg:

Viele versuchen, diese Aufgabe so zu lösen, indem sie 2,5% mit 50 multiplizieren, also 50 mal miteinander addieren. Kommen wir so zum selben Ergebnis?

50⋅2,5%=125%,     100%+125%=225%=2,25,     750 Millionen ⋅ 2,25=1687,5 Millionen.

Das ist allerdings falsch!

Der Fehler liegt darin, dass man 2,5% immer auf die Bevölkerung von 1966 bezieht. Die Bevölkerung aber wächst jedoch jedes Jahr um 2,5% in Bezug auf das vorherige Jahr und nicht auf 1966. Daher muss man jedes Mal mit 1,025 und nicht einmal mit 2,25 multiplizieren. Die Rechnung ist mal 1,025 hoch 50 und nicht mal 50, was ein ziemlich unterschiedliches Ergebnis bedeutet.

Zerfall

Radioaktivität

Zerfall ist das Gegenteil von Wachstum. Zerfall liegt vor, wenn jede Periode (Jahr, Monat und so weiter) die vorhandene Menge um den gleichen Prozentsatz weniger wird. Ein geeignetes Beispiel dafür ist die Radioaktivität:

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Wir können hier sofort die Formel des vorherigen Absatzes benutzen [E = A · (1+P:100)ⁿ], indem wir berücksichtigen, dass wir einen Zerfall und kein Wachstum haben, also die Atome werden weniger statt mehr. Wir müssen daher minus statt plus benutzen:

$\textstyle E=A\cdot (1-P:100)^{n}=250000{\text{ Atome}}\cdot \left(1-{\frac {8,3}{100}}\right)^{21}=$

$=250000\cdot \left({\frac {91,7}{100}}\right)^{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad$

(hier müssen wir auf eine ganze Zahl runden; warum denn? Die Hochzahl allerdings ist 21 und nicht 3; wieso?)

Bei der Radioaktivität gibt es eine für das jeweilige Isotop charakteristische Periode, die sogenannte „Halbwertszeit“. Das ist die Zeit, die notwendig ist, damit die Anzahl der radioaktiven Atome sich halbiert, also auf 50% abnimmt, daher der Name. Bei ¹³¹I ist diese Zeit 8 Tage. Bei Atomen, die in Kernkraftwerken benutzt werden, ist diese Zeit deutlich größer (zum Beispiel 4,5 Milliarden Jahren für ²³⁸U Uran). So entsteht radioaktiver Müll, mit dem nicht einfach umzugehen ist. Dieser Müll kann kaum mit technisch oder kommerziell vertretbarem Aufwand entsorgt werde. Oft wird er illegal auf Gefahr der Gesundheit der Bevölkerung entsorgt. Das und die Gefahr eines Unfalls (wie z.B. neulich in Fukushima), machen die Nutzung der Kernspaltung sehr gefährlich. Interessant ist dabei allerdings, dass ein einwandfrei funktionierendes Kernkraftwerk allein durch den Betrieb keine Radioaktivität nach außen freisetzt, das passiert erst bei entsprechenden Pannen.

Kohle enthält ebenfalls radioaktive Atome als unerwünschte Beigabe, wie übrigens praktisch jegliches Material, welches durch Bergbau gefördert wird. Mit der Abluft von Kohlekraftwerken wird durch den reinen Betrieb also mehr Radioaktivität in der Umwelt freigesetzt als durch ein Kernkraftwerk gleicher Leistung. Das Kohlekraftwerk produziert allerdings keinen zusätzlichen radioaktiven Müll und setzt keine zusätzliche Radioaktivität bei einer Panne frei.

Zinseszins

Wachstumsprozesse sind auch für das Banksystem sehr relevant. Das Guthaben in einem Konto wächst jährlich um den Zinssatz.

Wenn man kein Geld aufhebt oder einzahlt, kann man das Guthaben nach beliebigen Jahren mit Hilfe der Formel [E_n = A ∙ (1+P:100)ⁿ] berechnen.

(A ist hier das Kapital am Anfang, E das Guthaben nach n Jahren, P der Zinssatz)

• Berechne das Guthaben in einem Konto nach 20 Jahren, wenn das Kapital am Anfang 100000€ ist und der effektive Zinssatz 0,45%. Wie groß sind die Zinsen Z?

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+0,45:100)²⁰ ≈ 109395,34€    

(Warum muss man hier auf 2 Nachkommastellen runden?)

Die Zinsen kann man dann leicht berechnen: Z=E − A=109395,34€ − 100000€ = 9395,34€

Die Bank benutzt unseres Geld, um Geld zu investieren, zum Beispiel, um Geld anderen auszuleihen. Die Bank aber verlangt einen viel höheren Kreditzinssatz als den Zinssatz, den sie für unseres Geld im Konto gibt.

• Berechne, wie viel Geld eine Bank nach 20 Jahren gewinnt, wenn sie 100000€ mit 2,5% Zinssatz ausleiht.

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+2,5:100)²⁰ ≈163861,64€

Der Gewinn für die Bank ist daher: 163861,64€ − 100000€ ≈ 63861,64€ Das ist eindeutig viel mehr, als das Geld, das die Bank dem Kontoinhaber zurückgibt! Das reicht aber doch nicht aus! Banken dürfen mit unserem Geld mehrere Kredite vergeben. Quasi schöpfen sie so fiktives Geld mit jedem bereitgestellten Kredit. Sie dürfen, sagen wir mal, zehn Kredite vergeben. Sofern die Kreditgeber alles samt Zinsen zurückzahlen, ist der reine Gewinn für die Bank:

10 ⋅ 63861,64€ − 9395,34€ ≈ 629221,10€

Natürlich können Kredite ausfallen, werden also nicht zurückgezahlt. Ein solcher Ausfall ist zunächst einmal das Risiko der Bank. Zudem hat die Bank die Angestellten und die Infrastruktur (Bankgebäude, Computersysteme etc) zu finanzieren.

Ein Kommentar noch finde ich hier allerdings notwendig:

Diesen nicht gerade kleinen Gewinn rechtfertigen die Banken durch das genannte Risiko, das sie beim Ausleihen übernehmen. Je höher das Risiko des Kredits, desto höher der Kredit-Zinssatz.

Das Risiko wird aber schon dadurch reduziert, dass mehr Kredite vergeben werden, als Geld angelegt wurde. Die Tatsache, dass die Banken bei der letzten Finanzkrise doch Geld vom Steuerzahler bekommen haben, um einen Bankrott abzuwenden, ohne die geringste Forderung, das Geld zurückzugeben, zeigt eindeutig, dass sie das Risiko dem Staat übertragen haben, als etwas schief gegangen ist. Dass etwas schief geht, wird allerdings bei der angedeuteten Geldschöpfung durch Banken immer wieder der Fall sein wird.

Arbeiten mit Termen

Dieses Kapitel wird im mittleren Niveau 2 fortgeführt.

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Dieses Kapitel wird im mittleren Niveau 2 fortgeführt.

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lageparameter

Vergleichen von Mittelwerten

 

Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. (Vorausgesetzt, dass alle Werte positiv sind)

Um zu verstehen, was das bedeuten soll, schauen wir folgende vier Säulendiagramme an:

• 
  1: Ungleichmäßige Verteilung
• 
  2: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  3: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  4: Ungleichmäßige Verteilung

Nehmen wir an, dass diese vier Bilder die Vermögensverteilung in vier verschiedenen Staaten zeigen. Wenn die verschiedenen Diagramme verglichen werden, wird festgestellt, dass ungleichmäßige Diagramme (wo es weniger großen Werte gibt und viele kleinere) einen größeren Durchschnitt als der Median haben. Je ungleichmäßiger das Diagramm, desto größer der Unterschied zwischen Durchschnitt und Median. Das ist also mit dem ersten Satz dieses Kapitels gemeint: Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. Allerdings, wenn es negative Werte gibt, die die größeren Werte ausgleichen, gilt diese Regel nicht mehr.

Im ersten Diagramm kommt der Reihe nach vier mal die eins, vier mal die zwei, vier mal die vier, zwei mal die sechs, ein mal zwanzig und ein mal Hundert. Der Median ist also 3, der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist ziemlich ungleichmäßig, Median und Durchschnitt weichen stark ab.

Im zweiten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die sieben, sieben mal die acht und ein mal die achtzehn. Der größte Wert (18) ist ca. 2,5 mal wie der kleinste (7). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ gleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind nah zueinander.

Im dritten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die fünf, zwei mal die zehn, vier mal die fünfzehn und dann ein mal siebzehn und ein mal 23. Der größte Wert (23) ist ca. 4,5 mal wie der kleinste (5). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber wieder nah zueinander.

Im vierten Diagramm kommt der Reihe nach sechs mal die eins, zwei mal die zwei, sieben mal die zehn und dann ein mal 80. Der größte Wert (80) ist 80 mal wie der kleinste (1). Der Median ist 6 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist stark ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber relativ nah zueinander.

Nur im ersten Diagramm weichen Median und Durchschnitt stark voneinander ab, da können wir sicher sein, dass die Verteilung ungleichmäßig ist. In den anderen drei Diagrammen können wir feststellen, dass ein relativ kleiner Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nicht aussagekräftig sein kann, da wir sowohl ein relativ gleichmäßige als auch eine relativ ungleichmäßige Verteilung haben können. Aber auch bei großen Unterschieden zwischen Median und Durchschnitt können wir immer noch nicht sagen, ob eine Ungleichmäßigkeit auch innerhalb der obersten Hälfte vorhanden ist oder nicht.Wenn z. B. 50 Werte 1 sind und 49 Werte 1000, dann ist der Durchschnitt (495,45) extrem größer als der Median (1), es sind aber immerhin fast die Hälfte der größeren Werte gleich.

Ein gutes Beispiel solcher Unterschiede ist die Vermögensverteilung in Europa und in der Welt. In Europa ist die Ungleichmäßigkeit in Deutschland und Österreich ziemlich ausgeprägt, wie ein Studium der europäischen Zentralbank gezeigt hat. Das erste Diagramm könnte wohl die Verteilung in diesen zwei Ländern repräsentieren. Was die Welt betrifft, sind nach einigen Studien die Ungleichmäßigkeiten noch (und viel) stärker.

Der Vergleich zwischen Durchschnitt und Median kann seine Aussagekraft über die Ungleichmäßigkeit der Verteilung (sogar völlig) verlieren, wenn manche Werte negativ sind. Das einfachste Beispiel dafür, ist, wenn wir drei Werte haben: −8, 1 und 10. In diesem Fall sind sowohl Durchschnitt als auch Median gleich 1, die Verteilung ist allerdings extrem ungleichmäßig. Beim Vermögen würde diese Verteilung beispielsweise bedeuten, dass eine Person stark verschuldet, eine knapp nicht verschuldet und eine reich ist. Der Vergleich zwischen Median und Durchschnitt ist in diesem Fall nutzlos.

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im mittleren Niveau 2 weitergeführt.

Geometrie der Ebene

Anwendung der Formeln

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

Abstrakt umformen bedeutet hier, Umformungen nur (oder fast nur) mit Symbolen durchzuführen. Wir haben z.B. eine Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises, wenn sein Radius bekannt ist, aber wie sollte umgekehrt allgemein der Radius berechnet werden, wenn die Fläche gegeben ist?

Wir finden die Figur (hier Kreis) in der Formelsammlung und fangen mit der Formel der gegebenen Eigenschaft (hier Fläche) an:

$A=\pi \cdot r^{2}$

Wir brauchen eine Formel für den Radius, also das entsprechende Symbol (r) muss am Ende allein bleiben. Der erste Schritt in diesem Beispiel dafür, wäre das π von der rechten auf die linke Seite zu bringen:

$A=\pi \cdot r^{2}\quad |:\pi$

${\frac {A}{\pi }}=r^{2}$

Wir haben hier die Gegenrechnung von mal benutzt (also Division). Die Gegenrechnung fürs Quadrat ist Wurzel ziehen, das wird unser nächster Schritt sein:

${\frac {A}{\pi }}=r^{2}\quad |{\sqrt {x}}$

${\sqrt {\frac {A}{\pi }}}=r$

Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

$r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Diese ist also die allgemeine Formel für die Berechnung des Radius eines Kreises, wenn seine Fläche gegeben ist.

Noch ein Beispiel für die Berechnung der Länge a eines Rechtecks, wenn sein Umfang u und die Breite b gegeben sind:

$u=2a+2b\quad |-2b$

$u-2b=2a|:2$

${\frac {u-2b}{2}}=a\quad$ also

$a={\frac {u-2b}{2}}$

In diesem Fall müssen wir selbstverständlich darauf aufpassen, dass die Einheiten übereinstimmen.

Satz von Pythagoras

Geschichte des Satzes von Pythagoras

Obwohl der Satz nach dem griechischen Philosoph Pythagoras genannt wird, wurde er nicht von ihm entdeckt. Der Satz wurde zumindest 1000 Jahre früher benutzt. Es gibt Tontafel aus Babylonien, die sogenannte pythagoreische Tripeln beinhalten. Eine pythagoreische Tripel sind drei Zahlen, die den Satz von Pythagoras erfühlen. Die Entdeckung zeigt eine hochentwickelte antike Zivilisation, Die Berechnungen mancher Tripel ohne technische Mittel sind ziemlich kompliziert und brauchen viel Geduld und Zeit.

Formulierung des Satzes von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras lautet:

In einem rechtwinkeligem Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Der Satz gilt daher nur bei Dreiecken, die einen rechten Winkel haben.

Selbstverständlich versteht man den Satz viel besser, wenn man eine Figur sieht:

Die Seiten an der rechten Winkel nennt man Katheten (im Bild mit a und b), die Seite gegenüber Hypotenuse (im Bild mit c).Es gilt: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Nehmen wir drei Zahlen: 2, 3 und 4. Sind diese eine pythagoräische Tripel? Die größte Zahl sollte die längste Seite sein, die Hypotenuse, also c. Hier ist es die Zahl 4. Dann wären die Katheten 2 und 3. Die entsprechenden Quadrate der Katheten sind 2²=4 und 3²=9, ihre Summe 4+9=13. Das Quadrat der Hypotenuse wäre 4²=16. Es gilt 2²+3²≠4² (13 ist nicht gleich 16!). Das bedeutet: Es gibt kein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten 2 und 3 und dessen Hypotenuse 4 Einheiten (z.B. Meter) sind.

2,3 und 4 sind daher keine Pythagoreische Tripel. Wie ist es mit 3, 4 und 5? Sind diese Zahlen eine Pythagoräische Tripel?     3²+4² = 25   aber auch 5² = 25.  Es gilt also: 3²+4²=5².  Das bedeutet nicht nur, dass es ein rechtwinkeliges Dreieck gibt, dessen Katheten 3 und 4 und dessen Hypotenuse 5 Einheiten ist, sondern auch umgekehrt, dass ein Dreieck, dessen Seiten 3, 4 und 5 Einheiten sind, einen rechten Winkel haben muss!

In den Aufgaben muss man aufpassen. Wenn die Katheten angegeben sind und die Hypotenuse gefragt, dann kann man die gegebene Formel benutzen:

• Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Katheten 6 und 8 cm lang. Berechnen Sie die Hypotenuse!

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\qquad$ wobei $a=6$ und $b=8$ also

$6^{2}+8^{2}=c^{2}\ \Rightarrow \ 36+64=c^{2}\ \Rightarrow \ 100=c^{2}\ \Rightarrow \ c={\sqrt {100\ }}=10cm$

Wenn aber die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind, dann muss man die Formel erst umformen:

• Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die eine Kathete 21mm und die Hypotenuse 0,29dm lang. Berechnen Sie die andere Kathete!

Erst müssen wir auf die Einheiten aufpassen: 0,29dm=29mm

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\qquad |-a^{2}$

$b^{2}=c^{2}-a^{2}\qquad |-a^{2}$also$\qquad b^{2}=29^{2}-21^{2}=841-441=400\qquad$$b={\sqrt {400}}=20\ mm$

Also: Wenn beide Katheten angegeben sind müssen wir die Quadrate addieren, wenn nur eine Kathete und die Hypotenuse, müssen wir vom größeren Quadrat das kleinere subtrahieren. In beiden Fällen ziehen wir dann die Wurzel des Ergebnisses.

Geometrie Beweise

Beweis des Satzes von Pythagoras

Binomische Formeln und Geometrie

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel fängt im mittleren Niveau 3 an.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Funktionen

Funktion allgemein

Wenn man z.B. die Temperaturen um gewissen Uhrzeiten an einem Tag misst, dann hat man schon eine Art von Funktion. Man sagt, dass die Temperatur die abhängige Variable ist und die Uhrzeit die unabhängige. Für jeden Wert der unabhängigen Variable gibt es einen Wert der abhängigen Variable aber für jeden Wert der abhängigen Variable kann es keine, eine oder mehrere Werte der unabhängigen Variable geben.

In unserem Beispiel: für jede Uhrzeit gibt es genau eine Temperatur (es kann nicht mehrere geben), eine Temperatur aber kann nie, einmal oder mehrmals vorkommen. Man kann die ganze Information in einer Tabelle schreiben und mit Hilfe der Tabelle, kann man auch ein Diagramm erstellen:

Wie man im Diagramm ablesen kann, es gibt nur eine Temperatur für jede Uhrzeit (z.B. um 10 Uhr ist die Temperatur 14°C und nicht gleichzeitig 18°C) aber für jede Temperatur kann es keine (z.B. 5°C gibt es nicht), eine (z.B. 10° C gibt es nur um 6 Uhr) oder mehrere Zeiten (z.B. 15°C kommt 2 mal vor, man kann sogar raten, dass es die gleiche Temperatur irgendwann zwischen 10 Uhr und 12 Uhr gab!).

Lineare Funktion

Was ist eine lineare Funktion

Wenn das Diagramm einer Funktion eine Gerade ist, dann geht es um eine sogenannte lineare Funktion. Ein lineare Funktion hat die allgemeine Form:

y=s x +A

wo y die abhängige Variable ist, x die unabhängige Variable und s und A irgendwelche Konstanten (Zahlen, die sich nicht ändern, wie die Variablen). So sind die folgende Funktionen linear:

y=3x – 2$\qquad$ y=-0,5x+130 $\qquad$y= ¾ x – 2,3$\qquad$ y=-√3 x -5

In der ersten Funktion y=3x – 2 ist s=3 und A=-2.

In der zweiten Funktion y=-0,5x+130 ist s=-0,5 und A=130.

In der dritten Funktion y= ¾ x – 2,3 ist s= ¾ und A=-2,3.

In der vierten Funktion y=-√3 x -5 ist s=-√3 und A=-5.

Selbstverständlich kann man statt x und y andere Symbole benutzen:

y=3x – 2, a=3b – 2 und V=3h – 2 sind Darstellungen der gleichen Funktion, es werden nur andere Symbole für x und y benutzt. y= ¾ x – 2,3 ist doch eine andere Funktion, weil s und A (die Konstanten) anders sind. Wenn allein s oder allein A oder beide s und A in zwei Funktionen anders sind, dann haben wir zwei unterschiedlichen linearen Funktion. Wenn s und A in zwei Funktionen gleich sind, dann haben wir die gleiche Funktion, egal welche Symbole wir für x und y benutzen.

In einer linearen Funktion  $\textstyle y=s\cdot x+A$  wird die Konstante, mit der x multipliziert wird (hier mit s bezeichnet), Steigung der Funktion genannt. Die Steigung ist ein sehr wichtiger Begriff in der höheren Mathematik. Die Konstante, die dann addiert wird (hier mit A bezeichnet) nennt man y-Achsenabschnitt. Man muss auch sagen: in verschiedenen Staaten benutzt man unterschiedliche Symbole für s und A, z.B.

$y=mx+n$

Hier ist dann m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Deutschland) .

$y=kx+d$

Hier ist dann k die Steigung und d der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Österreich) .

$y=mx+q$

Hier ist dann m die Steigung und q der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in der Schweiz) .

$y=mx+b$

Hier ist dann m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Spanien) .

$y=ax+b$

Hier ist dann a die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Frankreich und auf Englisch) .

Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

Für jede Funktion kann man eine Tabelle machen. Diese Tabelle kann man dann als Punkte in einem Diagramm darstellen. Als Beispiel benutzen wir die Funktion y=3x – 2:

Diagramm einer linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten erstellen

Um diese Funktion in einem Diagramm darzustellen braucht man nur zwei Punkte. Einen Punkt schreibt man mit einem Wertepaar P:(x|y), wobei erst immer der x-Wert geschrieben wird und dann der y-Wert (innerhalb von Klammern). Benutzen wird beispielsweise P_A:(-1|-5) und P_B:(2|4) (erstes Bild). Mit Hilfe dieser Punkte kann man eine Gerade ziehen (zweites Bild). Wie man dann feststellen kann, liegen alle Wertepaare der Tabelle auf dieser Gerade! (Drittes Bild)

• 
• 
• 

Das ist genau die Sache. Alle Wertepaare einer linearen Funktion liegen auf der gleichen Gerade! Die Darstellung einer linearen Funktion auf einem Koordinatensystem ist eine Gerade!

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Gleichsetzungsverfahren

Bei diesem Verfahren formt man zwei Gleichungen auf einer Variable um und setzt dann die andere Seiten beider Gleichungen gleich. Dieses Verfahren ist nur bei bestimmten einfachen Aufgaben leicht zu verwenden und daher nicht besonders zu empfehlen. Warum das so ist, kann man gleich im Beispiel des Einsetzungsverfahrens feststellen:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Formen wir beide Gleichungen auf $x$ um:

• Die erste Gleichung geht leicht:

$x+y=8\quad$ daher

$x=8-y$

• Die zweite Gleichung ist etwas schwerer:

$3x+5y=36$	|-5y
$3x=36-5y$	|:3
$\textstyle x={\frac {36-5y}{3}}$

Das Gleichungssystem sieht jetzt wie in Folgendem aus:

${\begin{matrix}x=8-y\\x=\textstyle {\frac {36-5y}{3}}\end{matrix}}$

Da beide Ausdrücke rechts der beiden Gleichungen gleich mit $x$ sind, sind sie auch zueinander gleich:

$\textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannte, was man mit Umformen lösen kann:

$\textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y$	|⋅3
$36-5y=3(8-y)$	|(Klammer auflösen)
$36-5y=24-3y$	|−36+3y
$-2y=-12$	|:(−2)
$y=6$

und daher

$x=8-y=8-6=2$

Die Antwort ist:

$x=2$ und $y=6$

also genau wie vorher, wie es zu erwarten war.

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

Lineare Funktion

Wenn man zwei Punkte einer linearen Funktion hat, kann man nicht nur die entsprechende Gerade im Diagramm zeichnen, sondern auch die Funktion selber finden, wenn man sie nicht kennt. Nehmen wir die folgenden zwei Punkte P und Q, die man auch vom Diagramm ablesen kann:

$P:(2|4),\ Q:(5|-2)$

Mit Hilfe der beide Punkten kann man die Funktion in einem Koordinatensystem darstellen, wie im Bild. Wie viel ist die Steigung dieser Funktion und wie viel der y-Achsenabschnitt?

Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion ist:

$\ y=s\ x+A$

wobei hier mit s die Steigung gemeint ist und mit A der y-Achsenabschnitt.

Um die Steigung und den y-Achsenabschnitt der im Diagramm dargestellten Funktion zu berechnen, werden wir hier das sogenannte Gleichsetzungsverfahren benutzen. Setzen wir die Wertepaare für die zwei gegebenen Punkten in der allgemeinen Gleichung der linearen Funktion ein:

$\left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(2|4)&4&=s\ 2+A&\\P(5|-2)&-2&=s\ 5+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}$
Formen wir beide Gleichungen auf A um:
$\left({\begin{array}{rl}4&=s\cdot 2+A\\-2&=s\cdot 5+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot 2\ {\text{also}}\ -2\ s\\|-s\cdot 5\ {\text{also}}\ -5\,s\\\end{array}}$
$\Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}4-2\,s&=\mathbf {A} \\-2-5\,s&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A), sollen auch die linken gleich sein.
${\begin{array}{rll}4-2\,s&=-2-5\,s\quad &|-4+5s\\3\,s&=-6\quad &|:3\\s&=-2&\end{array}}$
und daher
$\quad A=4-2\,s=4-2\cdot (-2)=8$
Die Funktion lautet daher:

$y=-2\ x+8\qquad$

Für die direkte Berechnung der Steigung s gibt es allerdings eine Formel. Es gilt:

$s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

wobei Δy die Differenz der y-Werte der zwei Punkte und Δx die Differenz der x-Werte ist.

In unserem Beispiel sind die Punkte $P:(2|4)$ und $Q:(5|-2)$, also die y-Werte 4 und -2 und die x-Werte 2 und 5. Die entsprechenden Differenzen sind: Δy=4 − ( − 2)=6 und Δx=2-5=-3. Daher ist die Steigung der abgebildeten linearen Funktion, die durch die Punkte P und Q geht:

$\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {6}{-3}}=-2$

Graphische Lösung eines linearen Gleichungssystems

Im Kapitel über lineare Funktionen wird erklärt, wie man in einem Koordinatensystem eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten zeichnen kann (zwei Punkte sind eine hinreichende und notwendige Voraussetzung, um eine lineare Funktion zu definieren; daher reichen zwei Punkte um die Funktion zu zeichnen). Nehmen wir die erste Funktion vom folgendem Gleichungssystem:

$x+y=8$	(Funktion A)
$3x+5y=36$	(Funktion B)

• 
  Funktion A
• 
  Funktion B
• 
  Funktion A und B

Man kann zwei Punkte für die Funktion finden, indem man willkürlich Werte für x angibt und die entsprechenden Werte für y findet. Für $x=0$ ist:

$x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-0$ → $y=8$.

Für $x=1$ ist:

$x+y=8$ → $y=8-x$ → $y=8-1$ → $y=7$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion A: $P_{A1}(0|8)$ und $P_{A2}(1|7)$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion $x+y=8$ entspricht, wie im Bild „Funktion A“.

Entsprechend kann man Punkte für die Funktion B finden. Für $x=0$ ist:

$3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 0$ → $5y=36$ → $y=7{,}2$.

Für $x=1$ ist :

$3x+5y=36$ → $5y=36-3x$ → $5y=36-3\cdot 1$ → $5y=33$ → $y=6{,}6$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion B: $P_{B1}(0|7{,}2)$ und $P_{B2}(1|6{,}6)$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion $3x+5y=36$ entspricht, wie im Bild „Funktion B“.

Wenn wir jetzt beide Funktionen in einem Koordinatensystem zeichnen, dann bekommen wir das Bild „Funktion A und B“. Da kann man klar sehen, dass die Funktionen einander an einem einzigen Punkt schneiden, den Punkt $L(2|6)$. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems der Funktionen A und B. Leider kann man i.d.R. den $x$- und den $y$-Wert nicht genau ablesen, daher ist diese Methode nicht so genau, wie die drei Verfahren der vorherigen Absätzen.