MathemaTriX ⋅ Theorie nach Thema. Schluss und Prozentrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Wachstum⋅Abnahme Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Zahlenmengen ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Durchschnitt Median⋅Modus Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Beweise $a\rightarrow b$

Schlussrechnung (Dreisatz)

Direkte Proportionalität

Fangen wir direkt mit einem Beispiel an.

• 5 Tische kosten 315€. Wie viel kosten 2 Tische?

Hier spricht man von einer sogenannten direkte Proportionalität. Weniger Tische werden weniger Geld kosten. Das Beispiel besteht aus zwei Sätze:

was gegeben ist: „5 Tische kosten 315€“. Diese Daten schreibt man auf ein Zeile nebeneinander. Man schreibt also am Anfang:

5 Tische ... 315€

was gefragt ist: „Wie viel kosten 2 Tische?“ Hier ist der Preis der Tische in € gefragt. Man schreibt eine zweite Zeile unter die erste: Dabei schreiben wir das Gefragte (Preis der Tische) als x und die Anzahl der Tische unter der Anzahl Tische von der ersten Zeile:

5 Tische ... 315€

2 Tische ... x

Man fängt mit der gefragten Größe an (hier €), also mit der Zahl, die an der gleichen
Spalte mit x steht, und multipliziert diese Zahl mit der Zahl schräg gegenüber.

315·2=630.

Das Ergebnis dividiert man mit der verbliebenden Zahl (hier 5).

630:5=126

Jetzt kommt die Frage: 126 was? Was haben wir hier gerechnet? Sicherlich nicht Frösche und auch nicht Äpfel. Wie kann man herausfinden, was hier gerechnet wurde? Eine Möglichkeit ist es, die folgende Frage zu stellen: „Wieviel kosten 2 Tische?“ Kosten sind gefragt, also €. Das Ergebnis ist daher der Wert in €. Ein anderer Weg ist es darauf zu schauen, wo x steht: Es steht unterhalb von „315€“. Wir haben gesagt, dass in jeder Spalte die Sachen (in Mathematik „Einheiten“ genannt) übereinstimmen müssen. Unterhalb von € müssen € stehen. Daher sollte die Einheit von x auch € sein. Somit ist die Antwort:

„Zwei Tische kosten 126€.“

Der ganze Prozess noch einmal Schritt für Schritt:

Noch ein Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 0,0175 Liter?

b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Hier gibt es zwei Fragen, das gegebene ist aber in beiden Fällen das gleiche, nämlich der erste Satz.

a) Für die erste Frage schreiben wir das gegebene an einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen unter gleichem):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\uparrow :\\{\text{0,0175 Liter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Die Zahl, die an der gleichen Spalte mit x steht, mal die Zahl schräg gegenüber und durch die andere Zahl:

$\left({\frac {14{,}7\cdot 0{,}0175}{3{,}5}}\right)\qquad x=0{,}735\ \ kg$

Noch einmal stellt sich die Frage: 0,735 was? Was haben wir hier gerechnet? Wieso haben wir kg geschrieben? Die Frage war „Wie viel wiegen 0,0175 Liter?“ Also muss die Einheit vom Ergebnis kg sein. Wenn wir die Schlussrechnung betrachten, sehen wir ebenfalls, dass x unterhalb von „14,7 kg“ steht. In einer Spalte müssen die Einheiten übereinstimmen, unterhalb von kg müssen gleichfalls kg stehen. Somit ist die Antwort:

„0,0175 Liter des Stoffes wiegen 0,735kg.“

b) Für die zweite Frage schreiben wir wieder das gegebene in einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen (Einheiten) unter gleiche):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\:\uparrow \\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{ Liter}}$

Ob man die Liter links oder rechts schreibt oder das gegebene oben oder unten, spielt keiner Rolle. Wichtig ist: das Gegebene in einer Zeil und gleiche Sachen (Einheiten) in der gleichen Spalte!

${\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\\uparrow :\\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{Liter}}$

In diesen Aufgaben ist es wichtig zu verstehen: Man braucht nicht wissen, was die Wörter bedeuten! Man soll einfach die Struktur der Sätze der Aufgabe verstehen!

Indirekte Proportionalität

In der direkten Proportionalität haben wir gesehen, wie man vorgeht, wenn zwei Größen gleichzeitig größer oder kleiner werden. Wenn man mehr von einer Ware kaufen will, dann muss man auch mehr bezahlen. Wenn man weniger kaufen will, dann zahlt man auch weniger. Wenn man mehr kg von einem Stoff hat, dann hat man auch mehr Liter des Stoffes. Es gibt aber auch Fälle, bei denen die Erhöhung einer Größe die Verminderung einer anderen bedeutet:

• 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Das ist also KEINE direkte sondern eine indirekte Proportionalität.

Wie bei der direkten Proportionalität schreibt man hier auch die gegebenen Größen nebeneinander und gleiche Größen untereinander.

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\x\end{matrix}}$

In diesem Fall multipliziert man mit der Zahl gerade gegenüber (und NICHT schräg gegenüber, wie in der direkten Proportionalität) und dividiert dann durch die andere Zahl:

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {15\cdot 3}{5}}\right)\qquad x=9\ {\text{Stunden}}\ \$  (die die Arbeiter in diesem Fall brauchen).

Um zu unterscheiden, ob man eine direkte oder indirekte Proportionalität hat, muss man schon die Sprache und die Zusammenhänge gut verstehen können!

Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

Wie wir in den vorherigen Absätzen gesehen haben, muss man sowohl bei der direkten als auch bei der indirekten Proportionalität die Daten, die (in der Regel in einem Satz) in Verbindung gebracht werden, in einer Zeile nebeneinander schreiben (hier bei der direkten Proportionalität 3,5 Liter und 14,7 kg und bei der indirekten 3 Arbeiter und 15 Stunden) und dafür sorgen, dass in jeder Spalte die gleichen Einheiten geschrieben werden.

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\{\text{0,0175 Lit}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\{}\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Bei beiden Vorgängen fängt man dann mit der Zahl an, die nur an der gleichen Spalte mit x steht (hier 14,7 kg in der direkten und 15 Stunden in der indirekten Proporionalität). Der Unterschied ist: bei der direkten Proportionalität geht man dann schräg, bei der indirekten gerade gegenüber, und multiplitiert mit dieser Zahl (hier 0,0175 Liter in der direkten und 3 Arbeiter in der indirekten Proporionalität). Am Ende dividiert man in beiden Fällen mit der übriggebliebenen Zahl (hier 3,5 Liter in der direkten und 5 Arbeiter in der indirekten Proporionalität).

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\uparrow :\\{\text{0,0175 Lit}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Wie kann man verstehen, ob eine direkte oder eine indirekte Proportionalität vorliegt?

Nehmen wir den folgenden Bruch b:  $\textstyle b={\frac {z}{n}}$,  wobei z der Zähler und n der Nenner ist. Wenn z=20 und n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: $\textstyle b={\frac {20}{5}}=4$. Wenn jetzt der Zähler z größer wird (z.B. z=30), dann wird der ganze Bruch b auch größer:  $\textstyle b={\frac {30}{5}}=6$. Wenn der Zählerz kleiner wird (z.B. z=10), dann wird der ganze Bruch auch kleiner:  $\textstyle b={\frac {10}{5}}=2$. Je größer der Zähler, desto größer der Bruch. Je kleiner der Zähler, desto kleiner der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man direkte Proportionalität.

Wenn jetzt der Nenner größer wird (z.B. n=10), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also kleiner:

Wenn der Zähler z=20 und der Nenner n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: $\textstyle b={\frac {20}{5}}=4$. Wird der Nenner n größer, z.B. 10, dann wird der Bruch b kleiner:  $\textstyle b={\frac {20}{10}}=2$. Wenn der Nenner kleiner wird (z.B. n=2), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also größer:  $\textstyle b={\frac {20}{2}}=10$. Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch. Je kleiner der Nenner, desto größer der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man indirekte Proportionalität.

Wenn zwei Größen (z.B. Volumen und grob gesagt Gewicht) gleichzeitig wachsen oder gleichzeitig weniger werden, dann liegt eine direkte Proportionalität vor (z.B. wenn man mehr Wasser hat, ist sowohl das Volumen als auch das Gewicht mehr). Wenn das Wachstum einer Größe zur Verminderung einer anderen führt, dann liegt eine indirekte Proportionalität vor (z.B. mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, um die gleiche Arbeit zu erledigen). So kann man verstehen, ob man direkte oder indirekte Proportionalität benutzen soll. Beim nächsten Kapitel allerdings (Prozentrechnung) kommt nur die direkte Proportionalität vor!

Prozentrechnung

Prozentrechnung allgemein

Prozentrechung Begriffe

Grundaufgaben der Prozentrechnung

Nicht vergessen: Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%

• Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist der Prozentsatz eines Teils von 55 Personen gefragt. 55 Personen sind 100%. (Nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das so auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\\uparrow :\\{\text{11 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 11}{55}}\right)\qquad x=20\%$.

• Wie viele Personen sind 11% von 55 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist ein Prozentsatz von 55 Personen gefragt, also haben wir am Anfang 55 Personen, die dann 100% sind! (Also nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 11}{100}}=6{,}05\right)\qquad x\approx 6\ {\text{Personen}}$.

• Wie viel % von 23 kg sind 5329kg?

Hier steht nach „von“ 23 kg, also sind 23kg 100%

${\begin{matrix}{\text{23 kg}}\\\uparrow :\\{\text{5329 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 5329}{23}}\right)\qquad x\approx 23170\%$.

• Wie viel ist 0,3% von 0,26 Liter?

${\begin{matrix}{\text{0,26 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\0{,}3\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}26\cdot 0{,}3}{100}}\right)\qquad x=0{,}00078\ {\text{Liter}}$.

• Von wie vielen Personen sind 55 Personen 11%?

Hier steht nach dem Wort „von“ eine Frage. Das Gefragte schreibt man in der Mathematik mit x. Daher ist x 100%. Das Gefragte ist 100%.

${\begin{matrix}x\\{}\\{\text{55 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nearrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\downarrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 100}{11}}\right)\qquad x=500\ {\text{Personen}}$.

Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme

In diesem Absatz werden wir uns mit Aufgaben beschäftigen, bei denen irgendeine Größe mehr oder weniger wird.

• Das Gehalt eines Beamten war 1800€ und wurde um 2,5% gekürzt. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt gekürzt?

Es gibt zumindest zwei Wege, um diese Aufgabe zu lösen. Wir werden hier nur den Weg lernen, der für die Umkehraufgaben (die wir im nächsten Absatz lernen werden) notwendig ist.

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Das Gehalt am Anfang war 1800€, daher sind 1800€ (der Wert am Anfang) 100%. Das Gehalt wurde gekürzt, also wurde es um 2,5% weniger. Daher bleibt dann 100%-2,5%=97,5% des Gehaltes. Wir wollen wissen, wie viel Geld in € diesen 97,5% ist:

${\begin{matrix}{\text{1800 €}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\97{,}5\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {1800\cdot 97{,}5}{100}}\right)\qquad x=1755{\text{ €}}$

Das Gehalt wurde daher um 1800€-1755€= 45€ gekürzt. Diese 45€ sind 2,5% des Gehalts (also 2,5% von 1800€).

Wenn die einzige Frage ist, wie viel das Gehalt gekürzt wurde, dann soll 2,5% bei der Schlussrechnung benutzt werden:

${\begin{matrix}{\text{1800 €}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\2{,}5\%\end{matrix}}$$\qquad \left({\frac {1800\cdot 2{,}5}{100}}\right)\qquad x=45{\text{ €}}$

Es ist dann auch möglich, in dieser Weise das Gehalt am Ende zu berechnen: 1800€-45€= 1755€. Diesen Weg kann man aber in den Umkehraufgaben (nächster Absatz) nicht mehr benutzen.

• Ein Baum ist 5,6m groß und wächst in einem Jahr auf 6m. Um wie viel % ist er gewachsen?

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Der Baum war am Anfang 5,6m, daher sind 5,6m (der Wert am Anfang) 100%. Er ist auf 6m gewachsen, also um 6m-5,6m= 0,4m größer geworden. Wir wollen wissen, wie viel % (von 5,6m) diese 0,4m sind:

${\begin{matrix}{\text{5,6 m}}\\\uparrow :\\{\text{0,4 m}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 0{,}4}{5{,}6}}\right)\qquad x\approx 7{,}14\%$.

Umkehraufgaben der Prozentrechnung

• Man hat in seinem Haus ein neues Zimmer aufgebaut. Die Fläche des Hauses ist dadurch um 15% auf 112,7m² gewachsen. Berechnen Sie die ursprüngliche Fläche!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier wissen wir nicht, wie groß das Haus am Anfang war, das ist doch gefragt! Das gefragte schreibt man in Mathematik mit x. 100% ist also x. Das Haus ist um 15% gewachsen, also die Fläche am Ende (112,7m²) ist 100%+15%=115%. Daher sind 112,7m² 115%.

Schreiben wir diese Information auf, wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\115\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{112,7 m}}^{2}\end{matrix}}$      $\left({\frac {112{,}7\cdot 100}{115}}\right)\qquad x=98\ \mathrm {m} ^{2}$.

• Ein Tisch wurde um 10% geschnitten. Die neue Länge ist 2,7m. Berechnen Sie die ursprüngliche Länge!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Er ist aber nicht gegeben. Daher ist x 100%. Der Tisch wurde um 10% geschnitten, war am Anfang 100%, daher bleibt noch 100%-10%=90%. 2,7m (der Wert am Ende) sind daher 90%. Schreiben wir das Ganze auf:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\90\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{2,7 m}}\end{matrix}}$      $x=3\ \mathrm {m}$.

Erklärung der Prozent und Schlussrechnung

Wie schon betont, bedeutet "ein Prozent" das gleiche wie ein Hundertstel. Ein Hundertstel ist ein Bruch.Für die Erklärung der Prozentrechnung kann man daher die Bruchrechnung benutzen, genauer gesagt das Erweitern von Brüchen.

Wenn wir wissen wollen, wie viel Prozent von 5kg 3kg sind, können wir mit der Darstellung von 5kg anfangen:

Drei kg kann man dann als Bruchteil von diesen 5kg darstellen, wie im folgenden Bild:

Wenn jemand das Ganze senkrecht auf 20 teilt, ist jeder kleiner Teil ein Hundertstel. Im Bild kann man schon sehen, dass die drei fünftel $3\cdot 20=60$ solche kleine Teile sind, also 60 Hundertstel, also 60%:

Wenn wir jetzt mit Brüchen arbeiten, können wir durch die Bilder leicht verstehen, dass wir den Bruch $\textstyle 3 \over 5$ mit der Zahl 20 erweitert haben:

${3 \over 5}={\frac {3\cdot 20}{5\cdot 20}}={60 \over 100}=60\%$

Wie sind wir auf die Zahl 20 gekommen? Wir haben einfach 100 durch 5 dividiert, also durch die Zahl, die den Wert des Ganzen darstellt. Wieso ist 5 das Ganze? Wir haben schon in den Definitionen gesagt, dass das Ganze nach dem Wort "von" steht, also hier die 5 kg. So wie wir die Prozentrechnung gelernt haben, bedeutet das, dass man mit der Zahl quer gegenüber multiplizieren muss und durch die andere Zahl dividieren:

${\begin{matrix}{\text{5 kg}}\\\uparrow :\\{\text{3 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$         $\left(100\cdot {3 \over 5}=3\cdot {100 \over 5}=3\cdot 20=60\right)\qquad x=60\%$

3 kg sind daher 60% (also 60 Hundertstel) von 5 kg.

Schauen wir jetzt ein Beispiel mit Zahlen, die nicht so "rund" sind:

Wie viel Prozent von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

Hier ist das Ganze die 17 Äpfel, also was nach dem Wort "von" (also in Genitiv) steht. Welcher Anteil von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

${230 \over 17}$

Diesen Bruch müssen wir so erweitern, damit im Nenner am Ende 100 steht:

${230 \over 17}={\frac {230\cdot 100:17}{17\cdot 100:17}}$

Der Nenner hier wird tatsächlich 100 sein (es gilt: ${17\cdot 100:17}=1700:17=100$). Somit haben wir:

${\frac {230\cdot 100:17}{100}}={230\cdot 100:17}\%={100\cdot 230:17}\%\approx 1352{,}94\%$

da hundertstel genau Prozent bedeutet.

Wir haben in diesem Fall tatsächlich die Prozentrechnung mit Hilfe der Schlussrechnung durchgeführt, so wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{17 Äpfel}}\\\uparrow :\\{\text{230 Äpfel}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left({\frac {100\cdot 230}{17}}\approx 1352{,}94\right)\qquad x\approx 1352{,}94\%$

230 Äpfel sind daher ca. 1352,94% von 17 Äpfel.

Was ist, wenn man 17% von 35 Stunden berechnen will?

17% bedeutet 17 Hundertstel. Wir müssen 35 Mal die 17 Hundertstel nehmen. Anders gesagt teilen wir die 35 Stunden in Hundert Teile und nehmen 17 davon:

$x=35\cdot {\frac {17}{100}}=5{,}95$

17% von 35 Stunden sind daher 5,95 Stunden.

Das ist wieder genauso, wie wir den Prozess mit Schlussrechnung gelernt haben:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\17\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{35 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left(35\cdot {\frac {17}{100}}={\frac {17\cdot 35}{100}}\right)\qquad x=5{,}95{\text{ Stunden}}$

Ähnlich denkt man bei der Schlussrechnung (genauer: bei der direkten Proportionalität). Nehmen wir folgendes Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 175 Liter?

b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Für die erste Frage denkt man erst, wie viel ein Liter wiegt. Man soll also 14,7 kg durch 3,5 dividieren, um zu finden, wie viel jedes Liter wiegt. Das ist als ob man eine Schokolade hätte und wissen wollte, wie viel jedes Teil wiegt.

$x_{1}={\frac {14{,}7}{3{,}5}}=4{,}2$

4,2 kg wiegt jedes Liter des Stoffes.

175 Liter wiegen dann 735 kg:

$175\cdot 4{,}2=735$

Als Schlussrechnung:

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\{\text{175 Liter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left(175\cdot {\frac {14{,}7}{3{,}5}}\right)\qquad x=735{\text{ kg}}$

In der zweiten Frage muss man erst finden, wie viel Volumen ein kg hat:

$x_{1}={\frac {3{,}5}{14{,}7}}\approx 0{,}238$

Ca. 0,238 Liter ist jedes kg des Stoffes.

Das Volumen von 3850 kg ist dann ca. 917 Liter:

$3850\cdot 0{,}238...=3850\cdot {\frac {3{,}5}{14{,}7}}=916{,}{\dot {6}}$

Nochmal als Schlussrechnung:

${\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\x\end{matrix}}$        $\left(3850\cdot {\frac {3{,}5}{14{,}7}}=916{,}{\dot {6}}\right)\qquad x=916{,}{\dot {6}}{\text{ Liter}}$

Bei der indirekten Prportionalität muss man ein bisschen anderes denken:

• 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Wie wir schon im entsprechenden Kapitel erklärt haben, ist das keine direkte sondern eine indirekte Proportionalität. Man muss in diesem Fall herausfinden, wie viel Zeit ein Arbeiter braucht. Ein Arbeiter wird die Arbeit von allen anderen erledigen müssen und jede der 3 Arbeiter braucht 15 Stunden. Einer Arbeiter braucht daher 45 Stunden:

$3\cdot 15=45$

Wenn jetzt diese Arbeit auf 5 Arbeiter aufgeteilt wird, wird jeder ein fünftel der Arbeit erledigen müssen. Wenn alle zusammen arbeiten, dann wird die Arbeit 9 Stunden dauern:

$45:5=9$

In diesem Fall muss man also direkt gegenüber multiplizieren, wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {15\cdot 3}{5}}\right)\qquad x=9\ {\text{Stunden}}\ \$

Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% länger (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Der Wert ganz am Anfang (100%) ist hier gegeben (5 Stunden). Das wurde um 70% geschnitten, es bleiben also 100-70=30%. Schreiben wir diese Information auf:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\30\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}5$  Stunden.

Der Film war dann den Produzenten doch zu kurz. Diesen geschnittenen Film (also die 1,5 Stunden) haben sie dann um 20% verlängern. Diese 1,5 Stunden sind daher der neue Anfangswert, also 100%! Der Wert am Ende ist daher 100+20=120% von 1,5 Stunden (vom geschnittenen Film):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\120\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{1,5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}8$  Stunden.

*Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

Das hier ist eine Kombination von zwei Umkehraufgaben. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Sie ist um 15% länger als die erste geschnittene Version. In diesem Fall haben wir am Anfang die geschnittene Version, diese ist also 100% und wurde um 15% auf 1,61 Stunden verlängert. 1,61 Stunden sind daher 115%, der Wert am Anfang (100%) ist noch unbekannt:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\115\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,61 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=1{,}4$  Stunden.

Der Schnitt ist 1,4 Stunden nachdem er geschnitten wurde. Die Dauer am Anfang (100%), vor dem Schnitt, ist noch unbekannt. 80% wurden geschnitten, also 100-80=20% sind nach dem Schnitt geblieben. Nach dem Schnitt (80%) war der Film 1,4 Stunden:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\20\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,4 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=7$  Stunden.

Das Filmmaterial am Anfang (die ursprüngliche Dauer) war daher 7 Stunden!

Prozentrechnung für Fortgeschrittene

Es gibt einen viel schnelleren Weg um Aufgaben mit Prozentrechnung zu lösen. Nehmen wir die zwei Aufgaben aus dem letzten Kapitel.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Die Dauer nach dem Schnitt ist 100%-70%=30%. Wie am Anfang des Kapitels über Prozentrechnung erwähnt, 30% ist 0,3 ($\textstyle 30\%={\frac {30}{100}}=0{,}3$).

Wenn der Anfangswert gegeben ist, muss man mit dem Prozentsatz (als Zahl, also nicht 30, was %, also Hundertstel, ist, sondern 0,3) multiplizieren:

5·0,3=1,5 (Stunden).

Den nächsten Schritt kann man genauso machen. Nach 20% Erhöhung (aufpassen: des geschnittenen Films) haben wir $\textstyle 120\%={\frac {120}{100}}=1{,}2$.

1,5·1,2=1,8 (Stunden).

Das ganze kann man sogar in einem Schritt berechnen:

5·0,3·1,2=1,8 (Stunden).

Betrachten wir noch einmal den ersten Schritt. Wir wollen wissen, wie viele Stunden 30% von 5 Stunden sind. 30% bedeutet $\textstyle {\frac {30}{100}}$. Man soll daher die 5 Stunden in 100 teilen und 30 Teile davon nehmen:

${\frac {5}{100}}\cdot 30={\frac {5\cdot 30}{100}}=5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\$ (Stunden)

Der Anfangswert (Grundwert) wird daher mit 0,3 multipliziert.

Das kann man auch feststellen, wenn man die Schlussrechnung wie bisher gelernt durchführt:

${\begin{matrix}30\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{5 Stunden}}\end{matrix}}$      $\left(5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\right)\qquad x=1{,}5\ {\text{Stunden}}$.

${\begin{matrix}120\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,5 Stunden}}\end{matrix}}$$\qquad \left(1{,}5\cdot {\frac {120}{100}}=1{,}5\cdot 1{,}2\right)\qquad x=1{,}8\ {\text{Stunden}}$

Aber 1,5 in der letzten Rechnung ist so viel wie 5·0,3, wie man in der ersten Rechnung sehen kann. Daher kann man in der letzten Berechnung schreiben:

$\qquad x=1{,}5\cdot 1{,}2=5\cdot 0{,}3\cdot 1{,}2\qquad =1{,}8\ {\text{(Stunden)}}$

Die Schlussrechnungen können durch eine einfache und schnelle Multiplikation ersetzt werden!

In der Umkehraufgabe soll man die Gegenrechnung der Multiplikation benutzen, also die Division.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

$\textstyle 100\%-80\%=20\%={\frac {20}{100}}=0{,}2$

$\textstyle 100\%+15\%=115\%={\frac {115}{100}}=1{,}15$

1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Schon fertig!

Man kann auch so denken:

x⋅0,2⋅1,15=1,61         |:1,15:0,2

x=1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Wenn der Wert am Ende (der Prozentanteil) gegeben ist, muss man durch den Prozentsatz (als Zahl) dividieren.

Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

Denken wir an eine Flasche Wasser. Der Produzent verkauft sie dem Supermarkt für einen Preis von, sagen wir mal, 2€ und der Supermarkt will dazu 1,2€ gewinnen. Um wie viel Geld wird dann das Produkt verkauft? Man könnte denken: 2+1,2=3,2€. Das ist aber doch nicht alles. Der Staat verlangt für jedes verkauftes Gut und für jede verkaufte Leistung Steuer. Diese Steuer nennt man Umsatzsteuer (USt.). Die USt. ist in Deutschland für Grundgüter 7% und für den Rest 19%, in Österreich 10% für Grundgüter und 20% für den Rest. In anderen Staaten gibt es andere Steuersätze (5%, 13% usw.). Diese Steuer wird vom Einkäufer bezahlt und ist daher Teil des Preises. Die Flasche Wasser wird daher nicht für 3,2€ verkauft, sondern um 10% mehr (ein Getränk ist ein grundlegendes Gut, also ist die USt. 10%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\110\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=3{,}52{\text{€}}\qquad \qquad$.

Nettoverkaufspreis (NVP) (100%) USt. Bruttoverkaufspreis (BVP)

Die Ware wird also um 3,52€ verkauft. Diesen Preis nennt man Bruttoverkaufspreis (BVP). Die 3,2€ (den Preis ohne Steuer) nennt man Nettoverkaufspreis (NVP). Die USt. in dieser Aufgabe ist 10% des Nettoverkaufspreises:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\10\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=0{,}32{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

BVP=NVP + USt.

(in diesem Beispiel: 3,52=3,2+0,32 und 110%=100%+10%)

Rabatt

Aus verschiedenen Gründen (z.B. wenn eine Ware nicht so leicht verkauft wird oder am Ende einer Saison) kann ein Verkäufer eine Ware billiger als für den gewöhnlichen Preis verkaufen. Das nennt man Rabatt (oder Skonto). Im vorherigen Beispiel kann der Supermarkt die Flasche Getränk um 6% billiger verkaufen. Der Preis vor dem Rabatt ist in diesem Fall 3,52€ (Wert am Anfang, 100%). Nach dem Rabatt bleibt noch 100-6=94%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\94\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 3{,}31{\text{€}}\qquad \qquad$.

Preis vor Rabatt (PVR) (100%) Preis nach Rabatt (PNR) Rabatt (R)

Der Rabatt in diesem Fall ist 6% des Preises vor dem Rabatt:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 0{,}21{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

PNR=PVR-R

(in diesem Beispiel: 3,31=3,52-0,21 und 94%=100%−6%)

USt. und Rabatt Kombinationsaufgaben

USt. und Rabatt Gegebener Anfangswert

• Der Nettoverkaufspreis einer Ware ist 65€. Berechnen Sie den Verkaufspreis nach einem 12% Rabatt, wenn die USt. 12% ist.

Die Aufgabe kann man in zwei Schritten lösen. Erst den Bruttoverkaufspreis berechnen (Der Bruttoverkaufspreis, also der Preis nach USt. ist 12% mehr also 100+12=112%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\112\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{65€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\quad x=72{,}8{\text{€}}\qquad \qquad$  Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Dann kann man den Preis nach dem Rabatt berechnen. Der Preis nach dem Rabatt wird 12% weniger sein, also 100%-12%=88%.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\88\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{72,8€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x\approx 64{,}06{\text{€}}\qquad \quad$  Das ist der Preis nach dem Rabatt (PNR).

VORSICHT:

Wenn man Brutto- (BVP) und Nettoverkaufspreis (NVP) vergleicht (und USt. berechnet) ist nicht der Brutto- sondern der Nettoverkaufspreis der Grundwert (100%)

Wenn man aber Bruttoverkaufspreis (BVP) und Preis nach Rabatt (PNR) vergleicht, ist der Bruttoverkaufspreis doch der Grundwert (100%):

${\begin{matrix}NVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \ \ \ \\BVP\quad ......\quad 100\%+USt.\neq 100\%\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{matrix}BVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \qquad \\PNR\quad ......\quad 100\%-{\text{Rabatt}}\neq 100\%\end{matrix}}$

Bemerkung Erhöhen und Reduzieren um den gleichen Prozentsatz Wie man in der letzten Aufgabe feststellen kann, wenn man den Preis um 12% erhöht und dann wieder um 12% vermindert, ist der Preis am Ende nicht gleich dem Preis am Anfang! Warum passiert das? Weil wir zwei unterschiedlichen Anfangswerte haben! Erst haben wir den Nettoverkaufspreis als Anfangswert (100%) und den Bruttoverkaufspreis als Endwert (112%). Dann ist aber der Bruttoverkaufspreis der Anfangswert (100% und nicht mehr 112%) und der Endwert der Preis nach dem Rabatt (88%).

Das ganze kann man auch wieder in einem Schritt berechnen:

65€·1,12·0,88≈64,06€ !

Man muss also immer aufpassen, welcher der Anfangswert ist!

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

*Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist.

Der Preis nach dem Rabatt (56,1€) ist 100%-15%=85%. Vor dem Rabatt (100%) ist er daher:

${\begin{matrix}{\text{56,1€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}85\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$ $\qquad x=66{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Der Bruttoverkaufspreis nach 10% USt. ist 66€. Das ist also 110%. Der Nettoverkaufspreis (Anfangswert) ist 100% und gesucht!

${\begin{matrix}{\text{66€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}110\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$$\qquad x=60{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Nettoverkaufspreis.

Das ganze kann man selbstverständlich auch in einem Schritt berechnen:

56,1€:0,85:1,1=60€

Warum gibt es Steuer?

Der Staat verlangt für jede verkaufte Ware und für jede erbrachte Leistung Steuer. Mit diesem Steuergeld werden (im Idealfall) die verschiedenen Leistungen, die der Staat anbietet, finanziert (z.B. Schule, Polizei, Armee, Krankenhäuser).

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)

Zinsrechnung Begriffe

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

Der Begriff Zinsen hat mit den Bankinstitutionen zu tun, der Begriff KESt. mit dem Staat. Eine Bank ist eine Institution, die Geschäfte mit Geld macht. Als Privatkunde kann jede Person ihr Geld in einer Bank anlegen. Das Geld befindet sich dann auf einem sogenannten Konto. Die Bank gibt dem Kunden Zinsen, die nach einem jährlichen Prozentsatz, den sogenannten Zinssatz berechnet wird. Der Grundwert für den Zinssatz ist das Guthaben am Anfang G₀. Die Zinsen werden durch die Staat versteuert. Diese Steuer, Kapitalertragssteuer (KESt.) genannt, ist im deutschsprachigem Raum ca. 25% der Zinsen und dieser Prozentsatz wird im Folgenden immer benutzt.

Es gibt verschiedene Gründe, warum die Bank jedes Jahr den Kunden Zinsen gibt. Einerseits verliert das Geld durch die Inflation (Erhöhung der Preise) an seinen Wert, andererseits erzielen die Banken durch Investitionen und Kredite einen Gewinn, der ein Vielfaches der Zinsen ist.

Wie schon erwähnt, die Zinsen werden versteuert, daher bleiben im Ḱonto nicht die ganzen Zinsen, die die Bank gibt, sonder ein Teil davon, die sogenannten effektiven Zinsen. Da die Steuer 25% ist, sind die effektiven Zinsen der Rest 75% der Zinsen, die die Bank gibt (75% ist das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$ der Zinsen.

Guthaben am Anfang G₀ ist das Geld, das ein Privatkunde in ein Bankkonto anlegt.

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden dazu gibt, sozusagen als Belohnung für sein Vertrauen an der Bank (und als Teil des Gewinns, den die Bank mit diesem Geld macht).

Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. In diesem Fall ist das Guthaben am Anfang (für das erste Jahr G₀) der Grundwert (also 100%).

Kapitalertragssteuer KESt. ist eine Steuer auf die Zinsen. Sie wird vom Staat genommen, um Funktionen des Staates zu finanzieren. in diesem Buch wird sie immer 25% sein. Der Grundwert allerdings ist in diesem Fall nicht das Guthaben am Anfang, sondern die Zinsen Z, die die Bank dem Kunden gibt.

Effektive Zinsen eZ ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ die Summe des Guthabens am Anfang G₀ und der effektiven Zinsen.

Effektiver Zinssatz eZs ist ein Prozentsatz. Er ist 75% (also das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$) des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, wird das Guthaben nach einem Jahr G₁ um so viel mehr Prozent als das Guthaben am Anfang G₀, wie der effektive Zinssatz.

G1 = G0 + eZ	$\textstyle \mathbf {{\text{Z=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{Zs}}{100}}}$	KESt.= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	$\textstyle \mathbf {{\text{eZ=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{eZs}}{100}}}$	G1 = G0 · $\textstyle \mathbf {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$

Zinsen

Wenn man Geld auf einem Konto hat, bekommt man jedes Jahr Zinsen. Die Bank benutzt das Geld vom Konto, um es zu investieren. Teil des Gewinns aus den Investitionen bekommt der Kontoinhaber als Zinsen (zu diesem Thema lernen wir mehr im Kapitel über Wachstum).

Die Zinsen werden nach einem Jahreszinssatz berechnet. Wenn man z.B. 4000€ im Konto (Anfangswert: 100%) hat und der Zinssatz 0,5%, dann bekommt man am Ende des Jahres:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\0{,}5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{4000€}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $x=20{\text{€ }}$Zinsen.

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

Wenn man ein Bankkonto hat, bekommt man von der Bank jedes Jahr Zinsen. Diese werden vom Staat versteuert. Diese Steuer nennt man Kapitalertragssteuer (KESt.). Der Zinssatz für die Berechnung der Steuer ist ungefähr auch 25%. Das bedeutet im vorherigen Beispiel, dass ein Teil (25%) von den 20€ dem Staat (und nicht dem Kontoinhaber) gegeben wird. Wie viel Geld gelangt dann auf das Konto? In dieser Frage sind die Zinsen (und nicht das Geld am Anfang) der Grundwert (also 100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\25\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\KESt.\end{matrix}}$      $KESt.=5{\text{€}}$  KESt.

Daher bleiben auf dem Konto nicht 20€ mehr am Ende des Jahres sondern:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\eZ.\end{matrix}}$      $\qquad eZ.=15{\text{€}}$  effektive Zinsen.

(nicht vergessen: $\textstyle 25\%=0,25={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}},\qquad 75\%=0,75={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}$,  also 3/4 der Zinsen bleibt im Konto und 1/4 geht zum Staat als Steuer KESt.)

Diese Zinsen, die auf dem Konto bleiben, nennt man effektive Zinsen, den entsprechenden Zinssatz, effektiven Zinssatz. Man kann die effektiven Zinsen offenbar auch einfacher berechnen: eZ = Z – KESt.=20€−5€=15€

Das bedeutet dann, dass das Geld am Ende des Jahres (Guthaben G₁):

G₁=4000€+15€=4015€ ist.

Man kann dann als Formel schreiben:

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

G1 = G0 + eZ	Z = G0 · Zs : 100	KESt.= Z ⋅ $\textstyle {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	eZ = G0 · eZS : 100	G1 = G0 · $\textstyle {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$

Effektiver Zinssatz

Da der Zinssatz Zs und der effektiver Zinssatz eZs Prozentsätze sind, ist es oft verwirrend, wenn man den effektiven Zinssatz als Prozentanteil des Zinssatzes berechnet. Daher fangen wir mit einem Beispiel an, in dem die effektiven Zinsen berechnet werden.

In einem Konto ist das Guthaben am Anfang 4000€, der Zinssatz 5%. Berechnen sie die effektiven Zinsen!

Berechnen wir erst die Zinsen. In diesem Fall ist das Guthaben der Grundwert (Wert am Anfang, 100%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {5}{100}}=4000\cdot 0{,}05\right)\qquad Z=200\ {\text{€}}$.

Wenn die effektiven Zinsen berechnet werden, sind sie 75% der Zinsen (hier ist der Grundwert 100% die Zinsen und nicht das Guthaben am Anfang):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot 0{,}75\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Wie viel % von 4000 € können diese 150 € sein?

${\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\\uparrow :\\150\ {\text{€}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\eZs\end{matrix}}$      $\left({\frac {150\cdot 100}{4000}}\right)\qquad eZs=3,75\%$

Hier ist der Grundwert das Guthaben am Anfang. Da der Grundwert (100%) hier das Guthaben G₀ ist (4000€), ist dieser Prozentsatz (3,75%) ein Anteil des Guthabens G₀. 150€ sind die effektiven Zinsen, daher ist 3,75% der effektiver Zinssatz, also der Prozentsatz des Guthabens, der am Ende im Konto dazu bleibt. Die effektiven Zinsen sind 75% der Zinsen. Man könnte dann vielleicht denken, dass die effektiven Zinsen mit der folgenden Schlussrechnung zu berechnen wären:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\\:\uparrow \\75\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {200\cdot 75}{5}}\right)\qquad eZ=3000{\text{€}}\qquad$FALSCH!!

Wir wissen schon, dass die effektiven Zinsen 150€ sind. Das Ergebnis ist eindeutig falsch. Wie so? Wir haben in der Schlussrechnung schon € in der linken Spalte, Prozentsätze (%) in der rechten und das gegebene in einer Ziele. Es sollte doch richtig funktionieren. Was ist hier schief gegangen?

Die Antwort ist, dass die Prozentsätze sich auf einen unterschiedlichen Grundwert beziehen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens, die effektiven Zinsen 75% der Zinsen. In der rechten Spalte stehen nicht gleichen Sachen!

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$FALSCH!!

Was können wir machen, damit die Schlussrechnung doch stimmt? Einfach Prozentanteile benutzen, die sich auf den gleichen Grundwert beziehen. Eine Möglichkeit ist das Guthaben G₀ als Grundwert zu benutzen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens und die effektiven Zinsen 3,75% (wie wir schon gesehen haben).

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\3{,}75\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\qquad$$\left({\frac {200\cdot 3{,}75}{5}}\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Eine andere Möglichkeit ist, die Zinsen als Grundwert zu benutzen. Wie viel Prozent sind die Zinsen, wenn sie mit sich selbst verglichen werden? 100% selbstverständlich. Die Zinsen sind 100% der Zinsen. Wenn man eine Sache mit sich selbst vergleicht, hat man die ganze Sache, also 1, also 100%. Die effektiven Zinsen hingegen sind 75% der Zinsen:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot \ 0{,}75\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Jetzt ist es leichter zu erklären, wie der effektiver Zinssatz eZs direkt berechnet werden kann, wenn der Zinssatz gegeben ist. In der folgenden Schlussrechnung stehen überall Prozentanteile. An jeder Spalte werden aber die gleichen Grundwerte benutzt, daher stimmt die ganze Rechnung:

${\begin{matrix}5\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\\eZs\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(5\cdot {\frac {75}{100}}\right)\qquad eZ=5\%\cdot 0{,}75=3{,}75\%\qquad$RICHTIG!!

Wurde der effektiver Zinssatz einmal so berechnet, kann man die effektiven Zinsen sofort berechnen, ohne erst die Zinsen berechnen zu müssen:

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\3{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {3{,}75}{100}}=4000\cdot 0{,}0375\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Sogar das Guthaben nach einem Jahr kann sofort und ohne weitere Zwischenschritte berechnet werden. Das Guthaben am Anfang ist 100% und wird um 3,75% mehr. Daher ist das Guthaben nach einem Jahr 103,75% des Guthabens am Anfang(100+3,75=103,75):

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\103{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\G_{1}\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {103{,}75}{100}}=4000\cdot 1{,}0375\right)\qquad G_{1}=4150\ {\text{€}}$.

In all den letzten vier Schlussrechnungen und auch in einigen davor, wird auch der Weg für Fortgeschritten, also ohne Schlussrechnung, gezeigt (der zweite Teil der Gleichung in der Berechnung in Klammer).

Dieser hier gezeigte Weg, das Guthaben nach einem Jahr zu berechnen, ist bei den Umkehraufgaben unvermeidlich, wie im entsprechenden Kapitel gezeigt wird. Wenn der effektiver Zinssatz nicht gegeben ist, dann soll er erst berechnet werden, wie in diesem Abschnitt schon gezeigt.

Wenn in einer Aufgabe der Zinssatz gefragt und der effektiver Zinssatz gegeben ist, wird genau die gleiche Schlussrechnung, wie für den effektiven Zinssatz, (angepasst) benutzt:

${\begin{matrix}Z\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\\\\3{,}75\ \%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \nearrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\downarrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(3{,}75\cdot {\frac {100}{75}}\right)\qquad eZ=3{,}75\%:0{,}75=5\%\qquad$RICHTIG!!

Mit diesem Wissen können auch Formeln erzeugt werden, die allerdings nicht notwendig und eher verwirrend sind, wenn man sich mit der Prozentrechnung gut auskennt (was allerdings bei solchen Aufgaben notwendig und daher unvermeidlich ist)

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\Zs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}G_{0}\\{}\\Z\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $Z={\frac {G_{0}\cdot Zs}{100}}\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Z\ {\text{in €}}\\{}\\eZ\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $eZ={\frac {Z\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Z\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Zs\ {\text{in }}\%\\{}\\eZs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}$      $eZs={\frac {Zs\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Zs\ ({\text{in }}\%)$.

usw.

Zinsen Umkehraufgaben

Wir haben schon gelernt, wie man Umkehraufgaben löst. Wichtig ist immer den richtigen Wert als Grundwert zu benutzen. In den Umkehraufgaben ist er i.d.R. unbekannt.

In einem Konto ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Berechnen Sie das Guthaben am Anfang, die Zinsen Z₁, die effektiven Zinsen eZ₁ und die Kapitalertragssteuer KESt.₁ in diesem Jahr.

In dieser Aufgabe ist es notwendig, erst den effektiven Zinssatz zu berechnen.

${\begin{matrix}100\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\75\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0{,}6\%\ {\text{des Guthabens}}\\{}\\eZs\ (\%\ {\text{des Guthabens}})\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}6\cdot 75}{100}}=0{,}6\cdot 0{,}75\right)\qquad eZs=0{,}45\%$ (des Guthabens am Anfang).

Das Guthaben wird daher jedes Jahr nicht um 0,6% mehr (was die Bank gibt), sondern 0,45% mehr (was nach der Versteuerung und den Abzug der KESt. übrig bleibt). Daher ist das Guthaben am Ende des ersten Jahres 100%+0,45%=100,45% (100% am Anfang plus 0,45% eZs). Das Guthaben G₀ am Anfang (Grundwert 100%) ist in diesem Fall gefragt:

${\begin{matrix}100{,}45\%\ {\text{des Guthabens}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{des Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\G_{0}\end{matrix}}$      $G_{0}=6340\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung des Guthabens nach einem Jahr G₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die effektiven Zinsen berechnen:

$G_{1}=G_{0}+eZ\qquad \qquad |-G_{0}$

($G_{1}-G_{0}=eZ$)

$eZ=G_{1}-G_{0}=6368{,}53\ {\text{€}}-6340\ {\text{€}}=28{,}53\ {\text{€}}$

Mit Hilfe der Schlussrechnung können wir dann die ganzen Zinsen berechnen (was die Bank gibt):

${\begin{matrix}75\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}28{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung der effektiven Zinsen eZ₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die KEST. berechnen:

$eZ_{1}=Z_{1}-KESt._{1}\qquad \qquad |-eZ_{1}+KESt._{1}$

$KESt._{1}=Z_{1}-eZ_{1}=38{,}04\ {\text{€}}-28{,}53\ {\text{€}}=9{,}51\ {\text{€}}$

Es gibt viele Wege die Umkehraufgaben zu lösen. Allerdings ist es absolut notwendig in diesen Aufgaben erst den effektiven Zinssatz zu berechnen (wenn er nicht schon gegeben ist!). Eine andere Schlussrechnung für die Berechnung der Zinsen sehen wir im Folgenden. Der Leser sollte daran denken, warum diese Berechnung stimmt (einfach daran denken, wie viel % jeder Wert ist!):

${\begin{matrix}100{,}45\%\\\uparrow :\\0{,}6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Und noch ein Kommentar: Bei einer Aufgabe muss man nicht die Fragen so wie sie in der Aufgabe stehen nacheinander beantworten. Man sollte an die Zwischenschritte denken. Hier haben wir beispielsweise erst den effektiven Zinssatz berechnet (was zwar nicht gefragt wird, für die Lösung aber absolut notwendig ist). Allerdings haben wir erst die effektiven Zinsen und dann die ganzen Zinsen berechnet (obwohl in die umgekehrte Reihenfolge gefragt wird...).

Die Entwicklung der Zinsen über mehrere Jahre wird im Kapitel Zinseszins erklärt.