Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck ·Sechseck ·

Inzidenzgeometrie

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Größtenteils betrachten wir im Folgenden affine Ebenen, seltener affine Räume. Eine affine Ebene ist eine Inzidenzstruktur bestehend aus eine Menge P von Punkten, einer Menge G von Geraden und einer Inzidenzrelation , so dass

1. Sind zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade mit und . Schreibweise: g = ab
2. Ist eine Gerade und ein Punkt, so gibt es genau eine durch p verlaufende Gerade h, die parallel zu g ist. Schreibweise:
3. Es gibt drei nicht kollineare Punkte.

Zum Verständnis der zweiten Bedingung beachte man: Sind zwei verschiedene Geraden, so haben sie aufgrund der ersten Eigenschaft höchstens einen Punkt gemeinsam, d.h. inzidiert ein Punkt p mit zwei veschiedenen Geraden g,h, so ist dieser Punkt eindeutig bestimmt. In diesem Fall sagen wir, dass die Geraden g und h sich schneiden. Schreibweise: . Zwei Geraden g,h, die sich nicht schneiden, heißen dagegen parallel (Schreibweise: ). Dies umfaßt auch den Fall g = h.