Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Japanischer Satz für konzyklische Vierecke

Voraussetzung

$\square ABCD$ sei ein nicht überschlagenes Sehnenviereck.

Ferner sei

• $M_1$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\triangle ADB{,}$
• $M_2$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\triangle ACB{,}$
• $M_3$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\triangle DCB$ und
• $M_4$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\triangle ADC$.

Behauptung

$\square M_1M_2M_3M_4$ ist ein Rechteck.

Beweis

$\left|\sphericalangle ABD\right| = \left|\sphericalangle ACD\right|{,}$ (im folgenden $\alpha$-Winkel genannt) weil beide Winkel Umfangswinkel zu AD sind. Daraus folgt, dass $\left|\sphericalangle AM_1D\right| =\left|\sphericalangle AM_4D\right| = 90^\circ + \tfrac{\left|\alpha\right|}{2}{,}$ weil:

$\left|\sphericalangle AM_1D\right| = 180^\circ -\frac{\left|\sphericalangle BAD\right| +\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}$

$= 180^\circ - \frac{180^\circ - \left|\sphericalangle ABD\right|}{2} = \underline{\underline{90^\circ + \frac{\left|\alpha\right|}{2}}}{.}$

Durch die Gleichheit dieser Winkel ist $\square AM_1M_4D$ ein Sehnenviereck. Durch die Eigenschaften der Sehnenvierecke gilt jetzt $\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right|{.}$

Alle Aussagen gelten analog auch für $\square DCM_4M_3$. Also gilt auch $\left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle M_3CD \right|{.}$ Durch Addition der Winkel kommt folgendes heraus:

$\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| + \left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 360^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right| - \left|\sphericalangle M_3CD\right|$

$=360^\circ - \frac{\left|\sphericalangle DAB\right| + \left|\sphericalangle BCD\right|}{2} = 360^\circ - \frac{180^\circ}{2} = \underline{\underline{270^\circ}}$

Da $\sphericalangle M_1M_4M_3 = 270^\circ$, gilt $\sphericalangle M_3M_4M_1 = 90^\circ$. Da alle Aussagen analog für die anderen Winkel zwischen den Mittelpunkten gelten, betragen sie alle 90°.

Somit ist $\square M_1M_2M_3M_4$ ein Rechteck. q.e.d.