Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Japanischer Satz für konzyklische Vierecke

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Japanese theorem 2.svg

[Bearbeiten] Voraussetzung

\square ABCD sei ein nicht überschlagenes Sehnenviereck.

Ferner sei

  • M1 der Mittelpunkt des Inkreises von \triangle ADB{,}
  • M2 der Mittelpunkt des Inkreises von \triangle ADC{,}
  • M3 der Mittelpunkt des Inkreises von \triangle DCB und
  • M4 der Mittelpunkt des Inkreises von \triangle ACB.

[Bearbeiten] Behauptung

\square M_1M_2M_3M_4 ist ein Rechteck.

[Bearbeiten] Beweis

\left|\sphericalangle ABD\right| = \left|\sphericalangle ACD\right|{,} (im folgenden α-Winkel genannt) weil beide Winkel Umfangswinkel zu AD sind. Daraus folgt, dass \left|\sphericalangle AM_1D\right| =\left|\sphericalangle AM_2D\right| = 90^\circ - \tfrac{\left|\alpha\right|}{2}{,} weil:

\left|\sphericalangle AM_1D\right| = 180^\circ -\frac{\left|\sphericalangle BAD\right| +\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}
= 180^\circ - \frac{180^\circ - \left|\sphericalangle ABD\right|}{2} = \underline{\underline{90^\circ - \frac{\left|\alpha\right|}{2}}}{.}

Durch die Gleichheit dieser Winkel ist \square AM_1M_2D ein Sehnenviereck. Durch die Eigenschaften der Sehnenvierecke gilt jetzt \left|\sphericalangle M_1M_2D\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right|{.}

Alle Aussagen gelten analog auch für \square DCM_2M_3. Also gilt auch \left|\sphericalangle DM_2M_3\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle M_3CD \right|{.} Durch Addition der Winkel kommt folgendes heraus:

\left|\sphericalangle M_1M_2D\right| + \left|\sphericalangle DM_2M_3\right| = 360^\circ - \left|\sphericalangle DAC\right| - \left|\sphericalangle ACD\right|
=360^\circ - \frac{\left|\sphericalangle DAB\right| + \left|\sphericalangle BCD\right|}{2} = 360^\circ - \frac{180^\circ}{2} = \underline{\underline{270^\circ}}

Da \sphericalangle M_1M_2M_3 = 270^\circ, gilt \sphericalangle M_3M_2M_1 = 90^\circ. Da alle Aussagen analog für die anderen Winkel zwischen den Mittelpunkten gelten, betragen sie alle 90°.

Somit ist \square M_1M_2M_3M_4 ein Rechteck. q.e.d.

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