Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes

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Herleitung des Wallis-Produktes

Das Wallis-Produkt ist eine Näherungsformel zur Berechnung von ${\frac {\pi }{2}}$.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Konvergenz des Wallis-Produktes zu zeigen. Eine Herleitung mit analytischen Mitteln soll hier kurz vorgestellt werden. Es mag sein, dass die folgenden Schritte nicht sofort intuitiv nachvollziehbar sind, da gute mathematische Grundkenntnisse vorausgesetzt werden. Jedoch ist dieser Ansatz ein raffinierter Weg, den Grenzwert zu bestimmen, den es zu betrachten lohnt.

Vorbereitungen

Man untersucht die Folge $i_{n}:=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sin(x)}^{n}\mathrm {d} x$   mit   $n\in \mathbb {N} _{0}$.

a)   Je zwei Glieder von $i_{n}$ sind rekursiv verknüpft durch $i_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot i_{n}$ mit den Anfangsbedingungen $i_{0}={\frac {\pi }{2}}$ und $i_{1}=\mathrm {1}$.

Beweis:

durch partielle Integration: $i_{n+2}=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin {(x)}^{n+2}\,\mathrm {d} x$ $=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin {(x)}^{n+1}\cdot \sin(x)\,\mathrm {d} x$ $=\left[\sin {(x)}^{n+1}\cdot \left(-\cos {(x)}\right)\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(n+1)\cdot \sin {(x)}^{n}\cdot \cos(x)\cdot \left(-\cos(x)\right)\mathrm {d} x$ $=(n+1)\cdot \int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)^{n}\cdot \cos(x)^{2}\mathrm {d} x$ $=(n+1)\cdot \int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)^{n}\cdot \left(1-\sin(x)^{2}\right)\mathrm {d} x$ $=(n+1)\cdot \int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\sin(x)^{n}-\sin(x)^{n}\cdot \sin(x)^{2}\right)\mathrm {d} x$ $=(n+1)\cdot \left(\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)^{n}\mathrm {d} x-\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x)^{n}\cdot \sin(x)^{2}\mathrm {d} x\right)$ $=(n+1)\cdot (i_{n}-i_{n+2})$ Umordnung des Resultates $i_{n+2}=(n+1)\cdot (i_{n}-i_{n+2})$ ergibt $i_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot i_{n}$

b)   Man kann die Quotientenfolge ${\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}$ abschätzen durch $1\leq {\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n+1}}$. Dies ist gleichbedeutend mit $\lim _{n\to \infty }{\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}=1$.

Beweis:

Sei $x\in [0;{\frac {\pi }{2}}]$. Dann gilt $0\leq \sin(x)\leq 1$. $\Longrightarrow \,\,\sin(x)^{n+1}\leq \sin(x)^{n}$ $\Longrightarrow \,\,{\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}\leq {\frac {i_{n}}{i_{n+2}}}$ Wegen der Rekursionsformel gilt: ${\frac {i_{n}}{i_{n+2}}}={\frac {n+2}{n+1}}=1+{\frac {1}{n+1}}$ Zusammengefasst gilt: $1\leq {\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}\leq {\frac {i_{n}}{i_{n+2}}}=1+{\frac {1}{n+1}}$. Der Quotient ${\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}$ wurde hierdurch per Sandwich eingegrenzt $1\leq {\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n+1}}$.

Definition der WALLIS-Folge

Nach diesen Vorbereitungen wird nun die "WALLIS-Folge" definiert zu   $w_{n}:={\frac {i_{2n}}{i_{2n+1}}}$.

Die Konvergenz dieser Folge ist auf zwei Wegen ersichtlich. Deren Kombination führt direkt zum WALLIS-Produkt:

a)

Analog zu $i_{n}$ besitzt auch $w_{n}$ eine rekursive Darstellung $w_{n}=w_{n-1}\cdot r_{n}$   mit Faktor   $r_{n}:=\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)$. Beweis:   ${\frac {w_{n}}{w_{n-1}}}$ $=w_{n}\cdot \left(w_{n-1}\right)^{-1}$ $={\frac {i_{2n}}{i_{2n+1}}}\cdot {\frac {i_{2(n-1)+1}}{i_{2(n-1)}}}$ $={\frac {i_{2n}}{i_{2n+1}}}\cdot {\frac {i_{2n-1}}{i_{2n-2}}}$ $={\frac {i_{2n-1}}{i_{2n+1}}}\cdot {\frac {i_{2n}}{i_{2n-2}}}$ $=\left({\frac {i_{2n+1}}{i_{2n-1}}}\right)^{-1}\cdot {\frac {i_{2n}}{i_{2n-2}}}$ $=\left(f_{2n-1}\right)^{-1}\cdot f_{2n-2}$ $={\frac {(2n-1)+2}{(2n-1)+1}}\cdot {\frac {(2n-2)+1}{(2n-2)+2}}$ $={\frac {(2n+1)\cdot (2n-1)}{(2n)^{2}}}$ $={\frac {4n^{2}-1}{4n^{2}}}$ $=1-{\frac {1}{4n^{2}}}$$=r_{n}$ Mit Hilfe der rekursiven Verknüpfung $r_{n}$ zweier Glieder von $w_{n}$ kann man auch etwas über das Verhalten von $w_{n}$ für große $n$ sagen. Die Taktik hier ist die Verknüpfung konkreter Folgenglieder $w_{n}$ durch den Rekursionsfaktor $r_{n}$, wobei alle unerwünschten Terme durch ständiges ineinander Einsetzen der Erkenntnisse eliminiert werden: $w_{1}=w_{0}\cdot r_{1}$ $w_{2}=w_{1}\cdot r_{2}=w_{0}\cdot r_{1}\cdot r_{2}$ $w_{3}=w_{2}\cdot r_{3}=w_{0}\cdot r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}$ $\vdots$ $w_{n}=w_{0}\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}$ $\vdots$ $\lim _{n\to \infty }w_{n}=w_{0}\cdot \prod _{i=1}^{\infty }r_{i}$ mit $w_{0}={\frac {\pi }{2}}$     $({\mathfrak {b}})$

b)

Die Erkenntnis über den Quotienten ${\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}$ aus der Vorbereitung liefert $\lim _{n\to \infty }w_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {i_{2n}}{i_{2n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {i_{n}}{i_{n+1}}}=1$     $({\mathfrak {a}})$

Man hat nun zwei präzise Angaben über das Verhalten von $w_{n}$ für große $n$ erhalten.

Durch Gleichsetzen von $({\mathfrak {a}})$ und $({\mathfrak {b}})$ ergibt sich das WALLIS-Produkt zu   ${\frac {\pi }{2}}\cdot \prod _{i=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {1}{4i^{2}}}\right)}=1$.

Durch elementare Umformungen erhält man die optisch ansprechendere Darstellung ${\frac {\pi }{2}}=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {4i^{2}}{4i^{2}-1}}$.