MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 7

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${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$	DEINE FESTE BEGLEITERIN
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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

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THEORIE

Klassen

Ableitung von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$g(n)={\tfrac {4}{7}}\ n^{7}\quad$
$v(y)=y^{\pi }\quad$
$u(g)=0{,}4\ g^{5}$

Antwort

$\ 4\,n^{6}$
$\pi \ y^{\pi -1}\quad$
$2g^{4}$

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Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$a(c)={\sqrt {b}}\left({\frac {1}{c}}\right)^{\sqrt {\frac {1}{b}}}$
$v(t)={\sqrt[{k}]{t^{3}}}\quad$
$f(x)={\frac {7}{x^{t}}}\quad$

Antwort

$c^{-({\sqrt {b^{-1}}}-1)}\left(={\frac {1}{c^{{\sqrt {\frac {1}{b}}}-1}}}\right)\quad$
${\frac {3}{k}}\ t^{\frac {3-k}{k}}\left(={\frac {3}{k\ {\sqrt[{k}]{t^{k-3}\ }}}}\right)\quad$
$-7\ t\ x^{t-1}\left(=-{\frac {7\ t}{x^{1-t}}}\right)$

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Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$V(h)={\sqrt[{u}]{\frac {1}{h^{6}}}}$
$H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {343}{x^{11}}}}$
$m(n)={\sqrt[{t}]{\frac {5^{t}}{n^{5}}}}$

Antwort

$\ -{\frac {6}{u}}h^{\frac {6-u}{u}}\left(={\frac {6}{u\ {\sqrt[{u}]{h^{6-u}}}}}\right)$
$\ -{\frac {77}{3}}x^{-{\frac {14}{3}}}\left(=-{\frac {77}{3\ {\sqrt[{3}]{x^{14}}}}}\right)\quad$
$-{\frac {5^{2}}{t}}n^{-{\frac {5+t}{t}}}\left(=-{\frac {25}{t\ {\sqrt[{t}]{n^{5+t}}}}}\right)$

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Ableitung und Grenzwerten

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung

der Funktion $y=ax^{4}$ !

Antwort

Nicht vorhanden

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Ableitungen von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
und ihrer Ableitung an der Stelle −2.

$\ b(d)=5\ \sin d-\ln d+{\frac {4}{5\ d^{4}}}+6$
$\ v(y)={\frac {7}{\sqrt[{7}]{y^{3}}}}-\cos y+y-y^{-5}$
$\ t(x)=5\ e^{x}-{\sqrt[{3}]{\frac {0{,}125}{x^{6}}}}+\tan x\quad$

Antwort

$\ b'(v)=5\cos d-{\frac {1}{d}}-{\frac {16}{5}}\ d^{-5}$ $\qquad b(-2)=\emptyset \qquad b'(-2)\approx 1{,}48$
$\ v'(y)={-{\frac {3}{4}}}\ y^{-{\frac {10}{7}}}+\sin y+1+5\ t^{-6}\$ $\qquad v(-2)\approx -6{,}75\qquad v'(-2)\approx -0{,}946$
$\ t'(x)=5\ e^{x}+{}\ x^{-3}+{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\quad$ $\qquad t(-2)\approx -0{,}621\qquad t'(-2)\approx -0{,}467$

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Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte
$\ P_{1}:(6|2)\$ und $\ P_{2}:(3{,}5|7)$ . Ihre Ableitung
an der Stelle 4 ist null. Wie lautet die Funktion?

Antwort

$Q(x)={\frac {-4\ x^{2}+32\ x-42}{3}}$

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Ableitungsregeln

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion
$g(a)=\sin {\frac {a^{2}}{3^{a}}}$
(Mit Lösungsschritte!)

Antwort

x\ 3^{-x}(2-\ln 3\ x)\cos(3^{-x}x^{2})

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Kurvendiskussion

Gegeben ist die Funktion
$g(x)={\tfrac {\sqrt[{3}]{x^{13}}}{5}}-x^{3}+{\tfrac {x^{2}}{5}}-x+1$

Welche sind die lokale Extrempunkte,
die Wendepunkte und die Sattelpunkte
der Funktion?
Welche sind die Nullstellen der Funktion?
Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer
Ableitung an der Stelle 1,2?
Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Antwort

Extrempunkte: $(-1{,}01|2{,}20),\ (0{,}90|0{,}17)$
Sattelpunkte: Keiner
Wendepunkte: $(-0{,}56|1{,}72),\ (0{,}07|0{,}93),\ (0{,}46|0{,}52)$
Nullstellen: $-1{,}56$
$b(1{,}2)=0{,}56\quad b'(1{,}2)=3{,}12$
$]-\infty ;-1{,}01[\ \rightarrow \ steigend,\quad$ $]-1{,}01;0{,}90[\ \rightarrow \ fallend,\quad$ $]-0{,}90;+\infty [\ \rightarrow \ steigend$

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Kurvendiskussion Umkehraufgaben

border=1 style="float:right;text-align:center; "	Temperatur (°C):	$4$	$5$	$1$
Höhe (dm):	$\ \ 3\ \$	$\ \ 3{,}4\ \$	$\ \ 0\ \$

In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank als quadratische Funktion dargestellt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen.

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

r'\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}+6}{3}}\right)=1.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{2}+b\cdot 3+c\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{2}+b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\

\ a={\tfrac {15}{34}}\quad b=-{\tfrac {11}{34}}\quad c=1\

\ r(x)=-{\tfrac {1}{8}}x^{3}+{\tfrac {3}{4}}\ x^{2}\

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Binomialverteilung

Die Ansteckungswahrscheinlichkeit eines grippalen Infekts nach einem Kuss am Backen ist 13,5%.

Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Eine ansteckende Person hat an einem Tag 9 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 13 geküssten Personen höchstens 4 angesteckt wurden?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 geküssten Personen die Hälfte oder mehr angesteckt wurden?

Antwort

$E(x)=1{,}89\quad \sigma \approx 1{,}28\$
$P(X=12)\approx 0\%,$
2 Personen (ca. 29,1%)
$E(x)=1{,}22\quad \sigma \approx 1{,}03\$
$P(X=5)\approx 0{,}32\%,$
1 Person (ca. 38,1%)
$P(X\leq 4)\approx 97{,}75\%$
$P(X\geq 4)\approx 1{,}48\%$

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