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MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 6

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THEORIE


Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

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Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

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Potenzen Erklärung

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    1. Warum ist?

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Potenzen mit negativer Hochzahl

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    1. Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf!

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Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

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  1. Vereinfachen Sie!
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Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

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    1. Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable!



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Umformen einfache Kombinationen

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    1. Formen Sie auf die unbekannte Variable um!

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Komplexe Umformungen

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    1. Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, kB, cL um!

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Exponentialfunktion und Logarithmus

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    1. Wie viel ist die gesuchte Variable in den folgenden Aufgaben?

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Arbeiten mit Logarithmen

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    1. Zerlegen Sie folgenden Ausdruck unter
      Verwendung der Logarithmusregeln in den
      möglichst einfachsten Logarithmanden.
    2. Fassen Sie folgenden Ausdruck unter
      Verwendung der Logarithmusregeln in
      einen Logarithmanden.
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Folgen

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    1. Die Größe vier Geschwister stellt eine geometrische Folge dar.
      Vom kleinsten aus heißen sie Andi, Lisa, Tom und Aria.
      Aria ist groß, Tom 5% kleiner.

    2. Wie viel Prozent größer als Tom ist Aria?
    3. Wie viel Prozent kleiner als Tom ist Lisa?
    4. Wie groß ist Andi?
    Antwort Antwort
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Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

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  1. Drei verschiedene Schulen (Alpha, Sigma und Omega) machen eine Exkursion nach London. Wenn wir aus der Summe der Fünffachen der Personen aus Sigma und des Doppelten aus Omega die Personen aus Alpha subtrahieren, dann wäre das Ergebnis 700 (Personen). Sigma fliegt und stoßt damit 450 kg CO2 für 200€ pro Person aus, Alpha fährt mit dem Zug und stoßt damit 40 kg CO2 für 300€ pro Person aus und Omega fährt mit dem Bus und stoßt damit 36 kg CO2 für 240€ pro Person aus. Für alle Schulen zusammengerechnet sind die Kosten 120 Tausend € und der CO2 Ausstoß 67,4 t. Wie viele Personen aus jeder Schule fahren?
    Antwort Antwort

    Personen, Personen, Personen

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Polynomfunktionen Diagramm

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    1. In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den
      Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl
      ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den
      verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der
      Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und
      wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts!

    Antwort Antwort
      A: 3.G 2L. −, B: 5.G 5L. −, C: 9.G 5L.−,
      D: 1.G 1L. −, E: 4.G 2L. +, F: 3G. 2L. +,
      G: 0.G 0L. ±, H: 2.G 0L. −, I: 5.G 3L. +
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Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

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    1. Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt),
      drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x)
      (zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach
      unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x)
      (Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach
      oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab:

    2. Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion.
    3. Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion.
    4. Die Lösungen der Gleischungssysteme,
      die aus folgenden Funktionen bestehen:
    5. i) h und f ii) g und d iii) c und f
      iv)e und h v) g und f vi) c und d
    Antwort Antwort
    1. f:{1,6}, h:{6}, g:{−2,6; 2,2; 4,5}, e:{}, c:{1,1; 6}, d{−2,2; 6}.
    2. f:{2,5}, g:{2,5}, h:{−4}, e:{0,6}, c:{2}, d{1,2}.
    3. i) {(3|−2)}
      ii) {(−2,6|−0,5), (1,2|1,6), (4,6|0,8)}
      iii) {(3|−2), (−1|4)}iv){}
      v) {(0|2,5), (3|−2), (3,6|−3)}
      vi) {(0,3|1,4), (6|0)}
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Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

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    1. Gegeben sind die Funktionen

    2. Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion!
    3. Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab!
    4. Finden Sie, ob der Punkt P:(1|)
    5. zu mancher der Funktionen gehört!
    6. Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab!
    7. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme
    8. i) g und f, ii) h und q, iii) p und g
    Antwort Antwort
    1. g:{}, f:{}, q{0; 1,6}, p:{±0,75}, h:{}.
    2. g:{2}, f:{}, q:{1}, p:{0}, h{−2}.
    3. ja nur für f
    4. g: s= f: s=
    5. i) {}ii) { }
      iii) {,}
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Funktionserkennung in Diagramm

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  1. Welches der folgenden Diagrammen stellt was dar?

    A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades
    C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades
    E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion
    G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion,
    K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L)
    M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar

    Antwort Antwort

    1 → G, 2 → E, 3→ D, 4 → B H
    5 → F,6 → B H, 7 → K M N, 8 → A
    9 → C, 10 → B H, 11 → L, 12 → A
    13 → M, 14 → K, 15 → C D N

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Funktionsdiagramme Eigenschaften erkennen

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    1. Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und
      beantworten Sie die entsprechende Frage!

    2. Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm?
    3. Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen?
    4. ist die quadratische Funktion.
      • Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
    5. ist die exponentielle Funktion.
    6. ist die indirekte Proportionalität.
      Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
    7. In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen
      Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte
      Proportionalität steigend bzw. fallend?
    8. Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
      ihre Umkehrfunktion?
    9. Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
      ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt
      in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion fs(x)?
    Antwort Antwort
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Funktionserkennung in Text

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Im Folgenden finden wir verschiedene Diagramme, Formel und Namen von Funktionen als auch
Textaufgaben darüber. Welche sind die richtigen Kombinationen für jede Textaufgabe? Mit Hilfe der
Textaufgaben finden Sie die Werte der Parameter a und b in der dem Text entsprechenden Formel.

Texte

TA (Text A)
Fanny will feststellen, ob ihre Katze einen freien
Fall überlebt und lässt sie aus einem 8 m hohen
Turm mit einer 3 m/s² festen Beschleunigung Fallen.
TB (Text B)
Die Bevölkerung in Deutschland ist ca. 82 Millionen
und wird jede Jahrzehnte um 2,3% weniger.
TC (Text C)
Bei der Schwingung einer Feder ist die maximale
Ablenkung 3 cm, eine vollständige Wiederholung
braucht 350 ms.
TD (Text D)
Ein Baum ist 3,5 m groß und wächst pro Woche
um 5 cm.
TE (Text E)
Eine 1,8 dm große Kerze schmilzt jede Stunde
um 3 cm.
TF (Text F)
Wenn wir auf einen Nagel eine Kraft ausüben,
ist der Druck desto größer, je kleiner die Fläche A
an der Spitze des Nagels ist aber je größer die Kraft
F ist. (Hier a und b durch entsprechende Symbole ersetzten)
TG (Text G)
Ein Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde.
Am Anfang gibt es 5 Bakterien.

Diagramme



Funktionsnamen NA: (Name A) lineare, NB:(Name B) quadratische, NC: (Name C) exponentielle,
ND: (Name D) logarithmische, NE: (Name E) Potenzfunktion 3. Grades,
NF: (Name F) Sinusfunktion, NG: (Name G) Wurzelfunktion,
NH:(Name H) indirekte Proportionalität.

Formeln FA: (Formel A)FB: (Formel B)FC: (Formel C)
FD: (Formel D)FE: (Formel E)
FF: (Formel F)FG: (Formel G)

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Umkehrfunktionen mit Umformen finden

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    1. Finden Sie die Umkehrfunktion:

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Definition von Sinus Kosinus und Tangens

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    1. Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten
      Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!



      Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
      e=5 cm und m=1 dm sind?

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Trigonometrische Umkehrfunktionen

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    1. Der Sinus eines Winkels ist .
    2. Wie viel ist der Kosinus?
    3. Wie groß ist der Winkel?
    4. Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen
      Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels
      mit Sinus 11 cm ist?
    5. Schreiben Sie eine Formel für den Winkel in Bezug auf die Seiten m und e auf! Wie groß ist der Winkel im Bild, wenn m=37 cm und e=300 mm sind?
    6. Die Steigung eines Winkels ist 20%. Wie groß ist der Winkel?
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Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

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    1. Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen
      Funktionen in einem allgemeinen Dreieck!

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Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

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    1. Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 119 vm,
      die größere 1,2 m. Wie viel genau ist der Tangens, der Sinus und der
      Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie
      viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie
      groß der andere Winkel?

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Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

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    1. Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren

      i) Sinus ist.ii) Kosinus ist.
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    Radiant

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      1. Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
        a) , B), C), D), E)
      2. Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
        A), B), C), D), E)
      3. Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
        Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
        A), B), C), D), E)
      Antwort Antwort
      1. A) B)C)D)E)
      2. A)B)C)D)E)
      3. A) 1.QB) zwischen 2. und 3. QC) 1.QD) 1.Q aber mehr als Halbkreis!E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!
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    Baumdiagramm

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      1. In einer Urne gibt es 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig
        jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

      2. alle 3 Kugel rot sind?
      3. alle 3 Kugel schwarz sind?
      4. die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
      5. wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
      6. wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
      7. das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
      8. alle drei schwarz sind, wenn wir doch zurücklegen?
      Antwort Antwort
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    Satz von Bayes konkretes Beispiel

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    1. In einem Studentenheim wohnen 35 Studenten und 48 Studentinnen. 80% der Studenten und ein Drittel der Studentinnen fahren zum Lebensmittel-Einkauf mit dem Auto, der Rest mit dem Fahrrad oder zu Fuss. Eine Person aus dem Heim fährt gerade zum Einkauf mit dem Auto. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist?
      Antwort Antwort

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    Satz von Bayes abstraktes Beispiel

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    1. Nach den optimistischsten Voraussagen über die Menschen-verursachte Erderwärmung, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur bis 2050 „nur“höchstens 1,5°C steigt, 18%. Wenn wir allerdings keine Massnahmen treffen, ist sie nur 5%. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solche Massnahmen treffen, wenn wir die politische Situation[1] und das Benehmen der Erdbevölkerung[2] in Anbetracht nehmen, liegt bei 24% [3]. Nehmen wir an, wir leben schon im Jahr 2050 und die Temperaturerhöhung ist tatsächlich weniger als 1,5°C geblieben. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, das dies geschehen ist, obwohl wir keine Massnahmen getroffen haben?
      1. mit der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen
      2. mit dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau
      3. das ist jetzt nur eine Vermutung

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