MathemaTriX ⋅ Theorie. Klasse 6

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AUFGABEN

Klassen Klasse 1 Klasse 2 Klasse 3 Klasse 4 Klasse 5 Klasse 6 Klasse 7 Klasse 8

Vorgabe des Ministeriums

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

• Definieren von Potenzen mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Exponenten, Definieren von Wurzeln und Logarithmen
• Formulieren und Beweisen von Rechengesetzen für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen; Umformen entsprechender Terme

Folgen

• rekursives und explizites Darstellen von Folgen
• Untersuchen von Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz, intuitives Erfassen und Definieren des Begriffes Grenzwert
• Definieren der Eulerschen Zahl
• Arbeiten mit arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen, Erkennen des Zusammenhangs zwischen arithmetischen Folgen und linearen Funktionen sowie zwischen geometrischen Folgen und Exponentialfunktionen
• Verwenden von Folgen zur Beschreibung diskreter Prozesse in anwendungsorientierten Bereichen (insbesondere Geldwesen)

Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

• Arbeiten mit einfachen Ungleichungen (Abschätzungen, Umformungen, Fallunterscheidungen)
• Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen in drei Variablen
• Kennenlernen von Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Reelle

Funktionen

• Definieren, Darstellen und Untersuchen von Potenzfunktionen, von Exponential-und Logarithmusfunktionen sowie von Winkelfunktionen (Bogenmaß)
• Untersuchen von Eigenschaften reeller Funktionen (Monotonie, globale und lokale Extremstellen, Symmetrie, Periodizität) und von Beziehungen zwischen Funktionen (Umkehrfunktionen)
• Beschreiben von Änderungen durch Änderungsmaße (absolute und relative Änderung, Differenzenquotient)
• Anwenden von Funktionen zur Beschreibung kontinuierlicher Prozesse, Vergleichen von Modellen, Erkennen der Grenzen von Modellbildungen
• Kennenlernen von Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs
• Verketten von Funktionen

Analytische Geometrie des Raumes

• Übertragen bekannter Begriffe und Methoden aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie, Erkennen der Grenzen dieser Übertragbarkeit
• Ermitteln von Normalvektoren, Definieren des vektoriellen Produkts
• Beschreiben von Geraden und Ebenen durch Parameterdarstellungen bzw. Gleichungen
• Schneiden von Geraden und Ebenen, Untersuchen von Lagebeziehungen
• Lösen von geometrischen Aufgaben, gegebenenfalls unter Einbeziehung der Elementargeometrie und der Trigonometrie

Stochastik

• Arbeiten mit Darstellungsformen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik
• Kennen des Begriffes Zufallsversuch, Beschreiben von Ereignissen durch Mengen
• Kennen der Problematik des Wahrscheinlichkeitsbegriffs; Auffassen von Wahrscheinlichkeiten als relative Anteile, als relative Häufigkeiten und als subjektives Vertrauen
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten; Arbeiten mit der Multiplikations- und der Additionsregel; Kennen des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit
• Arbeiten mit dem Satz von Bayes

Arbeiten mit Termen

Term Definition

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. $\textstyle {\color {Red}3+4}$,  $\textstyle {\color {Blue}s+x}$,  $\textstyle {\color {Red}t^{2}}$,  $\textstyle {\color {Cyan}r^{2}x-4r}$,  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   sind alles Terme, wobei  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   aus mehreren Teiltermen besteht.

Potenzen

Potenz Definition

Jeder Term der Form mⁿ ist eine Potenz. Was unten steht (hier m) nennt man Basis, was oben rechts (hier n) Hochzahl.

Potenz    $4_{\ \leftarrow {\text{Basis}}}^{3\ \ \leftarrow {\text{Hochzahl}}}$     Was bedeutet diese Schreibweise?

Wenn man 4+4+4 hat, kann man auch 3·4 schreiben: $\textstyle \underbrace {4+4+4} _{3\ mal}=3\cdot 4$. Eine Multiplikation zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst addiert.

Wenn man 4·4·4 hat, dann kann man 4³ schreiben. Eine Potenzzahl (hier 4³) zeigt, wie oft (so oft, wie die Hochzahl, hier 3) man eine Zahl (die Basis, hier 4) mit sich selbst multipliziert.

Potenzen Erklärung

Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Wir haben gelernt, dass eine Multiplikation uns zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb einer Summe vorkommt. Beispielsweise ist $\textstyle \ \underbrace {4+4+4+4+4+4+4} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 4$. Das bedeutet allerdings auch, dass $\textstyle \ 2a+5a=7a\$ ist, weil $\textstyle \ 2a+5a=\underbrace {a+a} _{{\color {red}2}\ mal}+\underbrace {a+a+a+a+a} _{{\color {red}5}\ mal}=\underbrace {a+a+a+a+a+a+a} _{{\color {red}7}\ mal}=({\color {red}2+5})\cdot a={\color {red}7}a$

Eine Potenzzahl zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb eines Produktes vorkommt. Beispielsweise: $\textstyle \ \underbrace {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5} _{{\color {red}6}\ mal}=5^{\color {red}6}$.

Was ist jetzt, wenn wir Potenzzahlen addieren (oder subtrahieren)?

Eine Vereinfachung einer Strichrechnung zwischen Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzzahl die gleiche Basis und die gleiche Hochzahl hat.

Nehmen wir ein Beispiel: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}$.

Bei 3a² und 7a² hat die Potenzzahl a² die gleiche Basis a und die gleiche Hochzahl 2. Diese Potenzen können zusammengerechnet werden:

$\textstyle \ 3a^{2}+7a^{2}=10a^{2}$

Entsprechend können wir mit a⁴ arbeiten:

$\textstyle \ 5a^{4}-2a^{4}=3a^{4}$

a² und a⁴ können wir hingegen nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Basis a aber nicht die gleiche Hochzahl (2 bzw. 4) haben.

a² und b² können wir auch nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Hochzahl 2 aber nicht die gleiche Basis (a bzw. b) haben.

Daher ist: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}=10a^{2}+3a^{4}-6b^{2}$

Warum ist es so? Wie schon erwähnt, können nur gleiche Summanden durch eine Multiplikation ersetzt werden:

$\textstyle \ \underbrace {3+3+3+3+3+3+3} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 3$

Wenn wir 3⁴ und 3² anstatt 3 haben, sind die Summanden nicht gleich, da 3⁴=3·3·3·3=81 und 3²=3·3=9 ist:

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}\neq {\color {red}7}\cdot 3$

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}=81+9+81+81+9+81+81=\dots$

$\textstyle \ \dots =\underbrace {81+81+81+81+81} _{{\color {red}5}\ mal}+\underbrace {9+9} _{{\color {red}2}\ mal}={\color {red}5}\cdot 81+{\color {red}2}\cdot 9={\color {red}5}\cdot 3^{4}+{\color {red}2}\cdot 3^{2}(=423)$

Nur Potenzen, die sowohl die gleiche Basis als auch die gleiche Hochzahl haben, können zusammengerechnet werden.

Noch ein Beispiel: $\textstyle \ 11w^{3}+5c^{3}-7w^{3}+8c^{5}-12c^{3}+2w^{3}-3c^{5}=6w^{3}-7c^{3}+5c^{5}$

 

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^{3}\cdot 4^{6}=4^{3+6}=4^{9}\quad \quad a^{t}\cdot a^{q}=a^{t+q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^{3}\cdot 4^{6}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4} _{3\ mal}\cdot \underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{6\ mal}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{9\ mal}=4^{9}\quad _{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^{7}\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^{5}\quad \quad a^{t}\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können. Für den Fall von natürlichen Hochzahlen können wir schreiben:

$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n\ mal}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{m\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n+m\ mal}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^{3}+4^{6}\neq 4^{9}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man dividieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Differenz der Hochzahlen (oben minus unten!) schreibt.

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}=a^{7-5}=7^{2}\quad \quad {\frac {7^{74}}{7^{5}}}=7^{74-5}=7^{69}\quad \quad {\frac {4^{z}}{4^{x}}}=4^{z-x}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}={\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot a\cdot a}{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {a\cdot a}{1}}=a^{2}\quad _{=(a^{7-5})}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

${\frac {w^{5}}{w^{-7}}}=w^{5}:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}$

${\frac {a^{-7}}{a^{5}}}=a^{-7}:a^{5}=a^{-7-5}=a^{-12}$

${\frac {4^{-7}}{4^{-c}}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Null als Hochzahl

Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch, mit Hilfe eines Beispiels, zeigen, dass $a^{0}=1\$ und $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist. Es gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}={{a\cdot a\cdot a} \over {a\cdot a\cdot a}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}={{1\cdot 1\cdot 1} \over {1\cdot 1\cdot 1}}=1$

und nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt auch:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^{0}$. Daher gilt:

$a^{0}=1$

Potenzen mit negativer Hochzahl

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist.

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}$

Nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\$ ist gleichzeitig $\textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\$ und $a^{-2}$. Daher gilt:

${\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\$ und allgemein:

$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

$4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

Potenz einer Potenzzahl

Die Potenz einer Potenzzahl wird durch Multiplikation der Hochzahlen vereinfacht.

${(a^{2})}^{3}=a^{2\cdot 3}=a^{6}$

Warum das so ist, kann man wie im Folgenden erklären:

${(a^{2})}^{3}=(a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{\overbrace {2+2+2} ^{3\ mal}}=a^{2\cdot 3}=a^{6}$

Kurze Erklärung zum Schritt : $\textstyle (a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{2+2+2}$. Hier haben wir die eben erklärte Multiplikationsregel benutzt: $\textstyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$.

Die Hochzahlen multipliziert man, auch wenn sie negativ sind:

${(a^{-5})}^{3}=a^{(-5)\cdot 3}=a^{-15}$

${(a^{-5})}^{-4}=a^{(-5)\cdot (-4)}=a^{20}$

Allgemein kann man daher schreiben:

${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Potenz eines Produktes oder eines Bruches

Ein Produkt wird dadurch potenziert, indem seine Faktoren mit der gleichen Hochzahl Potenziert werden. Ein Bruch wird dadurch potenziert, indem sowohl sein Zähler als auch sein Nenner mit der gleichen Hochzahl potenziert werden.

Mit einem Beispiel kann auch dieser Zusammenhang schnell erklärtwerden:

$(a\cdot b)^{4}=\underbrace {(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)} _{4\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} _{4\ mal}\cdot \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}=a^{4}\ b^{4}$

und entsprechend für einen Bruch:

$({a \over b})^{4}=\underbrace {({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})} _{4\ mal}={\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{4\ mal} \over \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}}={a^{4} \over b^{4}}$

Es gilt also allgemein:

$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$

$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$

Weitere Beispiele:

$({a^{4}\cdot b^{-5}})^{3}={a^{4\cdot 3}\cdot b^{-5\cdot 3}}=a^{12}\ b^{-15}$

$\left({a^{7} \over b^{3 \over 5}}\right)^{4}={a^{7\cdot 4} \over b^{{3 \over 5}\cdot 4}}={a^{28} \over b^{12 \over 5}}$ {{#ifeq:Mathematrix: AT AHS/ Theorie/ Klasse 6|Mathematrix: AT PSA Theorie nach Thema/ Arbeiten mit Termen |
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Potenzen mit Bruchhochzahl

Wenn die Hochzahl ein Bruch ist, wird der Nenner als Wurzelpotenz interpretiert.

$\textstyle a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$

Versuchen wir jetzt diesen Zusammenhang zu erklären.

Im Kapitel über Kubikwurzel lernen wir, dass die Gegenrechnung einer Hochzahl die entsprechende Wurzel ist:

${\begin{aligned}{\sqrt {a}}&=b&&\rightarrow \quad a=b^{2}\\{\sqrt[{-5}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{-5}\\{\sqrt[{4,3}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{4,3}\\{\sqrt[{\sqrt {6}}]{x}}&=z&&\rightarrow \quad x=z^{\sqrt {6}}\end{aligned}}$

und allgemein:

${\sqrt[{m}]{a}}=b\quad \rightarrow \quad a=b^{m}$

Es gilt allgemein, dass wenn eine Rechnung und ihre Gegenrechnung verwendet werden, das Ergebnis der Anfangswert sein wird:

$t-6+6=t\$(Die Gegenrechnung von +6 ist −6)

${{t\cdot 5} \over 5}=t\$(Die Gegenrechnung von ⋅5 ist ÷5)

$({\sqrt {t}})^{2}=t\$(Die Gegenrechnung von Quadrat ist die Quadratwurzel)

und allgemein für die Gegenrechnung einer Wurzel, wie eben gezeigt:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$

Benutzten wir jetzt die eben gelernte Regel über Potenz einer Potenz. Wie sollen die Hochzahlen aussehen, damit das Ergebnis der Anfangswert ist?

${(a^{x})}^{n}=a^{x\cdot n}=a=a^{1}\qquad \qquad$ da $a=a^{1}$ ist

Es soll also für die Hochzahlen $1$ und $x\cdot n\$ gelten:

$x\cdot n=1\ \$ und daher

$x={1 \over n}$

Ersetzen wir dann $x$ durch $\textstyle {\frac {1}{n}}$ im Ausdruck ${(a^{x})}^{n}\$ und vergleichen wir folgende zwei Ausdrücke:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{n}={(a^{1 \over n})}^{n}=a$

Beide Ausdrücke sind gleich a und daher gleich zueinander. Damit die Ausdrücke gleich sind, muss die Basis in beiden Fällen gleich sein:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1 \over n}$

Allgemeiner gilt also:

${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$

und:

${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$ }}

Arbeiten mit Potenzen Die Rechenregel zusammengefasst

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$		${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$
$a^{0}=1$		$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$
$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$		$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$
${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$		$a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$
${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$		${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

{|style="background: lightgrey; color: black; padding: 1em; margin: 1em; float:left" border="1"

|style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{0}=1$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$ |}

In diesem Absatz erklären wir anhand von Beispielen, wie wir die Rechenregeln der Potenzzahlen anwenden können.

• ${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}$

Wenn wir im Ausdruck eine Wurzel haben, ist es unsere erste Aufgabe, diese Wurzel als Potenzzahl zu schreiben. Die Wurzelpotenz soll als Nenner eines Bruches in der entsprechenden Hochzahl geschrieben werden (oder im Nenner eines Bruches, wenn die entsprechende Hochzahl schon ein Bruch ist):

${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}\$oder auf einmal: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}\$

In diesem Ausdruck haben wir keinen Bruch oder Produkt von Potenzzahlen. Es geht um die Potenz einer Potenz (einer weiteren Potenz) und daher müssen wir nach der entsprechenden Regel die Hochzahlen einfach multiplizieren:

${\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}$oder einfacher: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)}\$

Jetzt wenden wir einfach die Multiplikationsregel von Zahlen an (minus mal minus ist plus) und führen diese Multiplikation aus:

$w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}\qquad (=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)})$

• ${\left(b^{3 \over 7}\right)}^{28 \over 9}=b^{{\frac {3}{7}}\cdot {\frac {28}{9}}}=b^{\frac {4}{3}}\left(={\sqrt[{3}]{b^{4}}}\right)$

Hier brauchen wir nur den zweiten und dritten Schritt der vorherigen Aufgabe durchführen. Am Ende haben wir allerdings in die Gegenrichtung gearbeitet und den Nenner im Bruch als Wurzelpotenz in einer Wurzel geschrieben.

• $\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\dots$

$\dots =\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}=b^{29}$

Dieses Beispiel sieht kompliziert aus. Das sollte uns nicht aus der Fassung bringen. Die Schritten bleiben doch die gleichen:

Erst schreiben wir die Wurzel als Potenzzahl, also die Wurzelpotenz als Nenner in der entsprechenden Hochzahl:

$\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}$

Hier haben wir allerdings auch die Klammer in der Klammer aufgelöst (der erster Ausdruck links auf der linken Seite), indem wir die Regel der Potenz einer Potenz angewandt haben (Hochzahlen multiplizieren): $\textstyle \ \left(b^{3 \over 5}\right)^{3}=b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}(=b^{\frac {9}{5}})$

Wir haben also ein Produkt aus Potenzen mit der gleichen Basis, wir sollen daher die Regel anwenden und die Hochzahlen addieren:

$\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}$

und am Ende die Regel für die Potenz einer Potenz anwenden, also die Hochzahlen multiplizieren:

$\left(b^{1}\right)^{29}=b^{1\cdot 29}=b^{29}$

• ${\dfrac {\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}{b^{3} \over b^{-8}}}={\frac {\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}{b^{3-(-8)}}}={\frac {b^{{\frac {15}{7}}\cdot {\frac {28}{3}}}}{b^{3+8}}}={\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{9}$

Dieser Ausdruck sieht noch komplizierter aus, das sollte uns aber immer noch nicht aus der Fassung bringen. Wir sollen ganz gemütlich und ruhig die Regeln anwenden. Um die Lösung klarer zu machen, bearbeiten wir im Folgenden erst den Zähler und dann den Nenner.

${\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}={\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}$

Wie in den vorherigen Beispielen, haben wir hier erst die Wurzel als Potenz ausgedrückt, indem wir die Wurzelpotenz in den Nenner der Hochzahl geschrieben haben. Wir haben daher die Potenz einer Potenz und wir müssen die Hochzahlen multiplizieren:

${\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}=b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}$

In der Hochzahl haben wir eine Multiplikation von Brüchen und diese führen wir aus (indem wir kürzen): $\textstyle {{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}={\frac {15\cdot 28}{7\cdot 3}}=20$. Es gilt daher für den Zähler:

$b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}=b^{20}\$ Zähler

Im Nenner haben wir einen Bruch von Potenzzahlen mit der gleichen Basis, wir müssen daher die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${b^{3} \over b^{-8}}=b^{3-(-8)}=b^{11}\$ Nenner

Wir schreiben also jetzt zusammen den Zähler und den Nenner in einem Bruch, wie es dazu gehört. Wir haben dann einen Bruch von Potenzen mit der gleichen Basis, wir müssen also die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{20-11}=b^{9}\$

Umformen

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Nachdem Vassili Lisa drei Äpfel gibt, hat er fünf Äpfel. Wie viele Äpfel hatte er vorher?

Wie kann man diese Aufgabe in der mathematischen Sprache schreiben? Für das Gefragte (wie viele Äpfel) wird in Mathematik irgendein Symbol benutzt, als Stellvertreter für die noch unbekannte Zahl. In der Regel wird als Symbol ein Buchstabe verwendet und nicht allzu selten x.
Mit x sind also die Äpfel gemeint, die Vassili am Anfang hatte. Wir wissen noch nicht, wie viele sie waren, daher schreiben wir ein Symbol dafür, ein Buchstabe, also x.

Wenn Vassili drei Äpfel der Lisa gibt, dann hat er weniger Äpfel als zuvor, es geht um eine Subtraktion. Von den x Äpfeln am Anfang sind drei Äpfel zu subtrahieren. Dass dann noch fünf Äpfel bleiben, wird durch den folgenden mathematischen Ausdruck geschrieben:

x−3=5

Man kann für x verschiedene Zahlen ausprobieren, z.B. 2, 3, 7, 8 oder 9. So kann man schon feststellen, dass nur acht minus drei gleich fünf ist. „x“ muss also 8 sein, damit die Rechnung stimmt. Vassili hatte also 8 Äpfel am Anfang.

Die ganze Zeit ausprobieren ist allerdings nicht gerade geschickt. Besonders bei größeren Zahlen wird es sogar ziemlich schwer. Es gibt in der Mathematik einen geschickteren Weg, die Aufgabe zu lösen. Man benutzt die sogenannte Gegenrechnung. Bei allen Gleichungen gibt es zwei Teile, ein Teil links vom „=“ und ein Teil rechts vom „=“. Bringt man einen Term von einer Seite zur anderen, dann muss man die Gegenrechnung benutzen.

Die Gegenrechnung der Subtraktion ist die Addition und umgekehrt.

Wenn x−3=5 ist, dann kann man die 3 auf die andere Seite vom „=“ bringen und statt minus die Gegenrechnung (plus) benutzen:

x=5+3       also x=8

Bei der Aufgabe c+4452 = 341 bringt man 4452 auf die andere Seite und benutzt die Gegenrechnung von minus. Die Lösung ist daher:

c+4452 = 341 → c= 341−4452 → c = −4111

Die Gegenrechnung der Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

3f=114

Zwischen 3 und f steht nichts.

Wenn in Mathematik zwischen zwei Ausdrucken (zum Beispiel einer Zahl und einem Symbol, einer Klammer und einer Zahl und so weiter) nichts steht, dann ist Multiplikation gemeint (einzige Ausnahme: die gemischten Zahlen).

Da zwischen 3 und f nichts steht, ist mal gemeint. f ist ein Symbol und steht für irgendeine Zahl. Die Aufgabe ist herauszufinden, wie viel f sein soll, damit die Rechnung stimmt. In diesem fall soll 3 auf die andere Seite gebracht und die Gegenrechnung von mal (also durch) benutzt werden:

3f=114 (nichts zwischen 3 und f, also mal gemeint):

3·f=114 (3 auf die andere Seite von „=“ bringen und Gegenrechnung, also hier Division, benutzen)

f=114:3 und daher

f = 38.

Man kann auch einen Bruch statt einer Division benutzen:

$f={\frac {114}{3}}=38$

Entsprechend ist die Gegenrechnung der Division die Multiplikation:

$\textstyle {\frac {k}{5}}=11$    also k:5 = 11 und daher k = 11 · 5

k = 55

Was ist aber die Gegenrechnung vom Quadrat?

Die Gegenrechnung von Quadrat ist die sogenannte „Wurzel“:

z² = 81 also z = ${\sqrt {81}}$  und daher z=9

9 ist die Zahl, deren Quadrat 81 ist, daher ist die Wurzel von 81 gleich 9. Wenn wir in der Gleichung z² = 81 z durch 9 ersetzen, dann stimmt die Gleichung tatsächlich: 9² = 81

Selbstverständlich ist die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat.

${\sqrt {m}}$ = 13 also m = 13² und daher m=169

Obwohl es für das Niveau dieses Buches nicht absolut notwendig ist, können wir doch auf eine Tatsache aufmerksam machen: Die Gleichung z² = 81 hat noch eine Lösung, wenn z gleich −9 ist. Freilich stimmt die Gleichung (−9)² = 81. (−9)² bedeutet (−9)·(−9). Minus mal minus ist plus und daher:

(−9)² =(−9)·(−9)= + 9·9 = 81 also

(−9)² = 81

Umformen einfache Kombinationen

Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Im Folgenden werden alle Terme mit der gesuchten Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht (das geht aber selbstverständlich auch umgekehrt). Schauen wir ein Beispiel an:

5x − 7 = 3x + 11

Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).

5x − 7 − 3x = 11

7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):

5x − 3x = 11 + 7

Das Ganze kann man in einem Schritt machen:

5x − 7 = 3x + 11

5x − 3x = 11 +7

2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).

Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:

x = $\textstyle {\frac {18}{2}}$ und daher x = 9

Man kann das ganze auch so erklären:

5x − 7 = 3x + 11

Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)

5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x

2x − 7 = 11

Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.

2x − 7 = 11      | +7

2x − 7 + 7 = 11 + 7

2x = 18

Jetzt bleibt nur die Division:

2x = 18      | :2

x = 18 : 2      (Man kann auch  $\textstyle x={\frac {18}{2}}$  schreiben)

x = 9

Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x+7

2x = 18      | :2

x =  $\textstyle {\frac {18}{2}}$

x = 9

Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21

4y − 15y = 11 − 6y −21 | +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

− 5y = −10 | : (−5)

y=2

Wenn man y durch 2 in der Anfangsgleichung 4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y ersetzt, stellt man fest, dass die Gleichung tatsächlich stimmt.

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4·2 + 3 (7 − 5·2) = 11 − 6·2

8 + 3 ·(−3) = 11 − 12

8 − 9 = − 1

In der Tat ist 2 der einziger Wert von y, für den die Gleichung wirklich stimmt. Die LeserInnen können andere Werte ausprobieren und feststellen, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt.

Kubikwurzel und weitere Wurzeln

Das Volumen eines Würfels ist 530cm³. Wie viel ist seine Fläche?

Diese Aufgabe ist ähnlich zur Aufgabe im letzten Unterkapitel über Umformen. Die Formeln für den Würfel sind:

$V=a^{3}\quad A_{O}=6a^{2}$.

Man muss erst die Kante $a$ des Würfels berechnen, um seine Fläche berechnen zu können. Man kann dafür die Formel fürs Volumen benutzen, $V=a^{3}$, da der Wert des Volumens auch gegeben ist. Welche ist aber die Gegenrechnung von „hoch 3“? Diese Gegenrechnung nennt man Kubikwurzel oder noch besser dritte Wurzel:

$a^{3}=V\quad \Leftrightarrow a={\sqrt[{3}]{V}}$

$a={\sqrt[{3}]{530}}\approx 8,1\ (cm)$

Dann kann man leicht die Oberfläche berechnen:

$A_{O}=6a^{2}\approx 6\cdot 8,1^{2}\approx 393,7(cm^{2})$

Entsprechend zur Wurzel (die besser Quadratwurzel genannt wird), ist die dritte Wurzel (auch Kubikwurzel genannt) nur dann eine genaue Zahl, wenn die Zahl unter der Wurzel eine sogenannte Kubikzahl ist, wie z.B.:

1(=1³), 8(=2³), 27(=3³), 64(=4³), 125(=5³), 216(=6³), 343(=7³), 512(=8³), 729(=9³), 1000(=10³), 0,008(=0,1³), 9,261(=2,1³)...

Daher gilt:

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{1}}&=1\\{\sqrt[{3}]{27}}&=3\\{\sqrt[{3}]{343}}&=7\\{\sqrt[{3}]{9{,}261}}&=2{,}1\end{aligned}}$

Die Kubikwurzel von jeder anderen Zahl (die keine Kubikzahl ist) ist eine irrationale Zahl.

Diese Idee der Gegenrechnung kann man auf alle Hochzahlen erweitern:

${\begin{aligned}{\sqrt[{4}]{a}}&=b&&\rightarrow \quad a=b^{4}\\{\sqrt[{5}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{5}\\{\sqrt[{-10}]{x}}&=z&&\rightarrow \quad x=z^{-10}\\{\sqrt[{35}]{p}}&=q&&\rightarrow \quad p=q^{35}\end{aligned}}$

oder sogar (!):

${\begin{aligned}{\sqrt[{4,3}]{a}}&=b&&\rightarrow \quad a=b^{4,3}\\{\sqrt[{0,3}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{0,3}\\{\sqrt[{\sqrt {6}}]{x}}&=z&&\rightarrow \quad x=z^{\sqrt {6}}\\{\sqrt[{x}]{p}}&=q&&\rightarrow \quad p=q^{x}\end{aligned}}$

Zur Vereinfachung der Symbole benutzt man keine Zahl am Anfang des Wurzelzeichens, nur wenn es um die Quadratwurzel geht:

${\sqrt[{2}]{m}}\$ ist gleichbedeutend wie ${\sqrt {m}}\$

Herzlichen Dank an alle, deren Bilder ich in diesem Kapitel benutzt habe!

Komplexe Umformungen

Hauptsache beim Umformen ist das wichtigste zu erkennen, nämlich wo die gesuchte Variable ist. Egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht, wird es viel einfacher, wenn wir in unserer Vorstellung im Kopf immer an "Boxen" denken. Beispielsweise:

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$

Wenn hier m gefragt ist, ist es völlig irrelevant, wie kompliziert der Rest aussieht. In unserem Kopf sollen wir folgendes Bild haben:

$A_{1}+A_{2}\cdot {\frac {A_{3}}{m\cdot A_{4}}}-A_{5}=A_{6}$

Dieses Bild wird noch einfacher, wenn wir in unserem Kopf A₁ und A₅ als ein Box denken und entsprechend A₂ und A₃. Das geht, weil die ersten zwei Summanden sind, die auf die andere Seite gehen sollen, und die letzten zwei ein Produkt sind:

$B_{1}+{\frac {B_{2}}{m\cdot B_{3}}}=B_{4}$

Wir brauchen die Fassung nicht verlieren. Wir sollen einfach die Strukturen erkennen. Dann ist es eher einfach. Es gibt allerdings keine Regel der Form "Klammer vor Punkt vor Strich". Wichtig ist zu erkennen, was bei einer "Verschachtelung" "innen" oder was "außen" ist. Beispiel:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b$ und ${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b$

Im ersten Fall ist der Bruch innerhalb der Wurzel, also müssen wir erst die Gegenrechnung für die Wurzel und dann für den Bruch benutzen:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b\Rightarrow {\frac {x}{2}}=b^{2}\Rightarrow x=2b^{2}$

Im zweiten Fall ist die Wurzel innerhalb des Bruches, also müssen wir erst die Gegenrechnung für den Bruch und dann für die Wurzel benutzen:

${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b\Rightarrow {\sqrt {x}}=2b\Rightarrow x=(2b)^{2}$

Beim Umformen ist unsere erste Aufgabe den Term (oder die Terme) mit der gesuchten Variable zu isolieren (allein auf einer Seite lassen).

In den folgenden Gleichungen ist immer m die gefragte Variable. In der ersten Spalte sieht man eine Gleichung. Für jede Gleichung haben wir in der zweiten Spalte den Term (bzw. die Terme) mit der gesuchten Variable in einem Rahmen und die gesuchte Variable mit Rot hervorgehoben. In der letzten Spalte sieht man dann diesen Term (bzw. diese Terme) allein auf einer Seite, während alle andere Terme sich auf der anderen Seite befinden.

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a+$ $c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$
$a\cdot m^{2}+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$
$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{k-m}}=2{,}2$		$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2$		$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$
${\frac {j\cdot m\cdot a^{2}}{b+c}}-m+h^{2}=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $+h^{2}$ $=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $=4-h^{2}$
${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-m^{2}}}}-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man sieht in diesen Beispielen, dass der Term mit der gesuchten Variable von den anderen Summanden isoliert wird. Wenn man diesen Schritt schon gemacht hat, sind die weiteren Schritten viel einfacher. Im Folgenden werden wir immer mit der Gleichung der jeweiligen letzten Spalte anfangen.

• Im ersten Fall haben wir die gesuchte Variable im Nenner. Man multipliziert jede Seite als Ganzes mit der gesuchten Variable.

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {m}}\cdot v^{2}}}=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}=(2{,}2-a+{\frac {l}{d}})\cdot {\boldsymbol {m}}$

Als Ganzes bedeutet also hier die linke Summe in Klammer zu setzen. Man dividiert dann durch die Klammer und dann haben wir schon das Ergebnis!

${\frac {c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}}{2{,}2-a+{\frac {l}{d}}}}={\boldsymbol {m}}$    oder in einem Bruch:       ${\boldsymbol {m}}={\frac {2\cdot c_{L}\cdot k_{B}\cdot T\cdot d}{[d\cdot (2{,}2-a)+l]\cdot v^{2}}}$

• Im zweiten Fall

$a\cdot {\boldsymbol {m}}^{2}=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$

muss man zuerst durch a dividieren und dann Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist dann:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}}{a}}}$

    oder in einem Bruch geschrieben:      ${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2\cdot d\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T\cdot d+l\cdot n\cdot v^{2}}{a\cdot d\cdot n\cdot v^{2}}}}$

• Im dritten Fall steht die gesuchte Variable in einer Summe im Nenner.

$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$

Es gibt verschiedenen Möglichkeiten das Minus weg zu kriegen (z.B. mit -1 multiplizieren). Wir ziehen aber hier vor, das Minus in den Nenner zu bringen, was dazu führt, dass sich die Vorzeichen ändern (also anstatt  $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}$  haben wir ${\frac {l}{{\boldsymbol {m}}-k}}$). Wir arbeiten dann wie im ersten Fall aber mit dem Nenner als Ganzes:

${\frac {l}{2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}}}={\boldsymbol {m}}-k$      und das Ergebnis ist:      ${\boldsymbol {m}}={\frac {l\cdot n\cdot v^{2}}{[(2{,}2-a)\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T}}+k$

• Im viertel Fall befindet sich die gesuchte Variable in mehreren Termen:

${\frac {j\cdot {\boldsymbol {m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {m}}=4-h^{2}$

Man muss also die gesuchte Variable zuerst herausheben:

${\boldsymbol {m}}\cdot ({\frac {j\cdot a^{2}}{b+c}}-1)=4-h^{2}$

und dann durch die dadurch entstandenen Klammer dividieren. Das Endergebnis (wenn man auch den Doppelbruch vereinfacht) ist:

${\boldsymbol {m}}={\frac {(4-h^{2})\cdot (b+c)}{j\cdot a^{2}-(b+c)}}$

• Im fünften Fall befindet sich die gesuchte Variable innerhalb einer Wurzel im Nenner.

${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}}={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man soll zuerst den Nenner "oben" bringen, also mit dem Nenner multiplizieren

$\omega _{1}=({\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2})\cdot {\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Als zweites soll die Wurzel allein auf einer Seite bleiben:

${\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}}={\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Dann soll man die Wurzel "auflösen", in dem man beide Seiten quadriert:

$({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}=m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}$

Jetzt steht die gefragte Variable m (quadriert) in einer Summe rechts. Man soll sie erst "isolieren":

${\boldsymbol {m}}^{2}=m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}$

und dann einfach Wurzel ziehen:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}}}$

Exponential und Logarithmus Funktion

Exponentialfunktion und Logarithmus

Zusammenhang Exponentialfunktion und Logarithmus

Wenn wir Voraussagen über die Bevölkerung in einem Staat machen wollen, benutzen wir eine sogenannte Exponentialfunktion. Nehmen wir beispielsweise an, dass die Bevölkerung in einem Staat mit 30 Millionen EinwohnerInnen um 2% jedes Jahr wächst. Das bedeutet, dass jedes Jahr die Bevölkerung 102% der Bevölkerung des vorherigen Jahres sein wird, also das 1,02-fache. Um die Bevölkerung $B_{x}$nach $x$ Jahren zu berechnen, müssen wir daher die Bevölkerung am Anfang $B_{0}$ mit 1,02 $x$ mal multiplizieren:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}$

Im konkreten Beispiel wäre das dann nach 20 Jahren:

$B_{20}=30\cdot 1{,}02^{20}\approx 44{,}6\$(Millionen Menschen)

In dieser Funktion wird die Bevölkerung (in Millionen Personen) in Bezug auf die Zeit (in Jahren) ausgedrückt. Die Zeit (hier mit dem Symbol x dargestellt) ist die unabhängige Variable.

Was ist aber, wenn wir die Frage umkehren wollen? Wie können wir berechnen, nach wie vielen Jahren die Bevölkerung mit diesem Wachstum 100 Millionen sein wird? Wir sollen in diesem Fall eine Gegenrechnung benutzen. Die Gegenrechnung von minus ist plus, von mal durch und von hoch die entsprechende Wurzel. Die zwei ersten Paare können wir als Möglichkeit hier schon ausschließen. Kommt die Wurzel als Möglichkeit vor? Für Wurzel und Potenzzahl gilt:

${\sqrt[{n}]{x}}=a\Rightarrow x=a^{n}$

Probieren wir das in unserem Beispiel. Wir wollen berechnen, nach wie vielen Jahren ($x$) die Bevölkerung ($B_{x}$) 100 Millionen sein wird. Hier ist also nicht die Zeit x angegeben, sondern die Bevölkerung $B_{x}\$(=100 Millionen). Die Bevölkerung am Anfang $B_{0}\$bleibt immer noch 30 Millionen:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ 100=30\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\frac {100}{30}}=1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\sqrt[{x}]{\frac {100}{30}}}=1{,}02$

Was können wir jetzt tun? Können wir x berechnen? Die Antwort ist nein. x steht als Wurzelpotenz. Wir können es nicht berechnen. Wir brauchen eine neue Gegenrechnung. Was ist hier der Unterschied zu den Potenzfunktion? Die unabhängige Variable ist nicht mehr die Basis, wie bei der Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$. Wenn die unabhängige Variable als Hochzahl in der Funktion vorkommt, dann ist die Gegenrechnung der entsprechende sogenannte Logarithmus. In unserem Beispiel:

$1{,}02^{x}={\frac {100}{30}}\ \Rightarrow \ x=\log _{1{,}02}{\frac {100}{30}}\approx 60{,}80\$(Jahren)

Das bedeutet: Mit diesem Wachstum (2%) wird die Bevölkerung nach fast 61 Jahren 100 Millionen sein. Man sagt: „x ist der Logarithmus von $\textstyle \ {\frac {100}{30}}\$ zur Basis 1,02“. Der Logarithmus zu einer Basis b ist daher die Gegenrechnung der Potenzzahl mit gleicher Basis b und Hochzahl die Variable.

$b^{x}=a\Rightarrow x=\log _{b}a$

Für zwei Zahlen als Basis eines Logarithmus gibt es in der mathematischen Gesellschaft entsprechende Schreibweisekonventionen.

• Wenn die Basis 10 ist schreiben wir einfach $\ \lg \$ohne Basis. Also, wenn einfach $\ \lg \$ da steht, dann ist als Basis 10 gemeint.
  $10^{x}=a\Rightarrow x=\lg a\qquad (=\log _{10}a)$
  Dieser wird Zehner- oder Dekadischer Logarithmus genannt. Bei Taschenrechnern wird dafür nicht das Symbol $\lg \$oder $\log _{10}\$sondern einfach $\log \$ohne Basis benutzt. Das Symbol $\log \$bedeutet also bei Taschenrechnern den Zehnerlogarithmus.
• Es gibt dazu eine ganz besondere Zahl, die sogenannte eulersche Zahl $e$. $e$ gehört zu den berühmtesten mathematischen Konstanten, wie die Kreiszahl π. Die Kreiszahl π wird als das Verhältnis (der Bruch) des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. π ist ungefähr (aber nicht genau...) 3,14… . Die Definition für die Zahl e ist nicht so leicht und wird an dieser Stelle nicht erklärt. Es reicht zu wissen, dass e eine besondere Zahl und ungefähr gleich 2,718… ist. Wenn jetzt e die Basis einer Potenz ist, dann schreiben wir für die Gegenrechnung $\ \ln \$anstatt $\ \log _{e}$:
  $e^{x}=a\Rightarrow x=\ln a\qquad (=\log _{e}a)$
  Dieser wird natürliche (viel seltener "napiersche") Logarithmus genannt.

Lambda

$\mathbf {a^{x}=e^{\lambda \,x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a^{x}=\left(e^{\lambda }\right)^{x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a=e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad$$\mathbf {\ln a=\ln e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\ln a=\lambda \,\ln e} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\lambda =\ln a}$

Arbeiten mit Logarithmen

Rechenregeln zwischen Logarithmen

Es gibt ein paar Rechenregeln für Logarithmen.

$\log _{a}{a}=1,\quad \ln {e}=1,\quad \lg {10}=1$ $\log _{b}a^{n}=n\,\log _{b}a$ $\ln {a^{n}}=n\,{\ln a}\qquad \lg {a^{n}}=n\,{\lg a}$ $\log _{a}1=0$ $\ln {(a\cdot b)}=\ln a+\ln b$ $\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$ $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Hier ein paar Beispiele der Anwendung dieser Regeln:

• Zerlegen Sie folgende Ausdrücke unter Verwendung der Logarithmusregeln in den möglichst einfachsten Logarithmanden.

1. $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}$
   
   Da der ganze Numerus mit einer Hochzahl $(v)$versehen ist, können wir die zweite Regel benutzen:
   $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}=v\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)$
   Für das, was noch in Klammern bleibt, können wir die vierte und die fünfte Regel benutzen: $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)=\log _{b}a^{3}+\log _{b}(b+c)-\log _{b}{b^{m}}$
   Im ersten und im dritten Summand haben wir wieder eine Hochzahl, wir können wieder die zweite Regel benutzen:
   $\log _{b}a^{3}+\log _{b}(b+c)-\log _{b}{b^{m}}=3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m\log _{b}b$
   Wenn der Numerus eine Summe ist $(b+c)$, können wir nichts machen, allerdings ist nach der ersten Regel $\log _{b}b=1$, daher ist das Ergebnis insgesamt:
   $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}=v\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)=v(3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m)$.
   
   
2. $\log _{5}\left({\frac {0{,}04}{{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}\ \ }}\cdot 125{\sqrt[{5}]{5}}\right)$
   
   Benutzen wir die vierte und die fünfte Regel um die Produkte bzw. den Bruch zu zerlegen:
   $\log _{5}\left({\frac {0{,}04}{{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}\ \ }}\cdot 125{\sqrt[{5}]{5}}\right)=\log _{5}0{,}04-\log _{5}{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}+\log _{5}125+\log _{5}{\sqrt[{5}]{5}}$
   Der Numerus des ersten Summanden ist eine Potenz von 5: $0{,}04={\tfrac {1}{25}}=5^{-2}$. Die Wurzel im Numerus des zweiten und des letzten Summanden kann man als Hochzahl schreiben:${\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}=\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}$ und ${\sqrt[{5}]{5}}=5^{\tfrac {1}{5}}$. Daher:
   $\log _{5}0{,}04-\log _{5}{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}+\log _{5}125+\log _{5}{\sqrt[{5}]{5}}=$$\log _{5}5^{-2}-\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}+\log _{5}5^{3}+\log _{5}5^{\tfrac {1}{5}}$
   Unter Anwendung der zweiten und der ersten Regel bekommen wir dann:
   $\log _{5}5^{-2}-\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}+\log _{5}5^{3}+\log _{5}5^{\tfrac {1}{5}}=$${-2}-{\tfrac {1}{3}}\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)+3+{\tfrac {1}{5}}$
   Mit Anwendung der vierten und der zweiten Regel und Zusammenrechnen bekommen wir schließlich:
   ${-2}-{\tfrac {1}{3}}\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)+3+{\tfrac {1}{5}}=$$-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\log _{5}5+5\log _{5}5\right)+1+{\tfrac {1}{5}}=$$-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {5}{3}}+1+{\tfrac {1}{5}}=-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {7}{15}}$
   
   

• Fassen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in einen Logarithmanden.

1. $4\ln c-d\ln 6+5$
   Nach der ersten Regel ist $5=5\ln e$ und nach der zweiten $4\ln c=\ln c^{4}$, $d\ln 6=\ln 6^{d}$ und $5\ln e=\ln e^{5}$. Mit Anwendung der vierten und fünften Regel bekommen wir schließlich;
   $4\ln c-d\ln 6+5=\ln c^{4}-\ln 6^{d}+\ln e^{5}=\ln {\frac {c^{4}\cdot e^{5}}{6^{d}}}$

Beweise der Rechenregeln zwischen Logarithmen

Wenn wir bei einem mathematischen Ausdruck eine Rechnung und ihre Gegenrechnung oder eine Funktion und ihre Umkehrfunktion anwenden, bleibt der Ausdruck unverändert. Hier sind ein paar Beispiele:

$a+3-3=a\qquad b\cdot t:t=b\qquad ({\sqrt[{n}]{w\ }})^{n}=w\qquad {\sqrt[{n}]{w^{n}\ }}=w$

Der Logarithmus ist die Gegenfunktion der unabhängigen Variable als "Hochzahl", genauer gesagt, der Exponentialfunktion:

$e^{a}=b\Leftrightarrow a=\ln b$ (hier für den natürlichen Logarithmus)

Wenn wir also gleichzeitig Funktion und Umkehrfunktion anwenden, dann bleibt der Ausdruck unverändert. Ersetzen wir also in den letzten Ausdrucken $a$ durch $\ln b$ bzw. $b$ durch $e^{a}$:

$e^{\ln b}=b\qquad a=\ln {e^{a}}\quad$also $\ln {e^{a}}=a$

Setzten wir in der letzten Gleichung $a=1$:

$\ln {e^{1}}=1\quad$also $\ln {e}=1\quad$oder $\log _{e}{e}=1$

Allgemeiner bedeutet das:

Der Logarithmus seiner Basis ist 1:$\qquad \log _{a}{a}=1$

Gehen wir zurück zur vorherigen Formel und Benutzen wir letzteres Ergebnis:

$\ln {e^{a}}=a\Rightarrow \ln {e^{a}}=a\cdot 1\Rightarrow \ln {e^{a}}=a\cdot {\overset {(=1)}{\ln e}}$

Der Logarithmus einer Potenzzahl ist die Hochzahl dieser Potenzzahl mal den Logarithmus ihrer Basis:

$\log _{b}a^{n}=n\,\log _{b}a\qquad \ln {a^{n}}=n\,{\ln a}\qquad \lg {a^{n}}=n\,{\lg a}$

Beweis.

Laut Definition des Logarithmus:

$b^{h}=p\Leftrightarrow h=\log _{b}p$

(b für Basis, p für Potenzzahl, h für Hochzahl)

Da $p=b^{h}$ ist, können wir $p$ in der Gleichung $h=\log _{b}p$ dadurch ersetzten:

$\log _{b}b^{h}=h$

Mit anderen Symbolen:

$\log _{w}w^{A}=A$

Es gilt:

$a^{b}=(a)^{b}=\left(w^{\log _{w}a}\right)^{b}=w^{b\ \log _{w}a}\Rightarrow$
$\log _{w}a^{b}=\log _{w}w^{b\ \log _{w}a}\Rightarrow \log _{w}a^{b}={b\ \log _{w}a}$

Mit Hilfe der Definition des Logarithmus können wir auch leicht zeigen, dass der Logarithmus von Null gleich 1 ist (für jede Basis):

$a^{0}=1\Rightarrow \log _{a}1=0$

Der Logarithmus hat irgendwas mit den Hochzahlen zu tun. Wenn wir zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis multiplizieren, dann ist das Ergebnis eine neue Potenzzahl mit der gleichen Basis und Hochzahl die Summer der Hochzahlen: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$. Mit dieser Tatsache hat die nächste Regel für Logarithmen zu tun:

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren:

$\ln {(a\cdot b)}=\ln a+\ln b$

Beweis. Es gilt:

$e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\cdot e^{\ln b}=a\cdot b=e^{\ln {(a\cdot b)}}\Rightarrow \ln a+\ln b=\ln {(a\cdot b)}$

Entsprechend gilt die Regel für die Division:

Der Logarithmus eines Quotients ist die Differenz der Logarithmen des Zählers und des Nenners:

$\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Beweis. Es gilt:

$e^{\ln a-\ln b}=e^{\ln a}\cdot e^{-\ln b}={\frac {e^{\ln a}}{e^{\ln b}}}={\frac {a}{b}}=e^{\ln {({\frac {a}{b}})}}\Rightarrow \ln a-\ln b=\ln {({\frac {a}{b}})}$

Für eine Basisänderung des Logarithmus gilt:

$\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Beweis: Es gilt:

$a=a\quad \Rightarrow b^{\log _{b}a}=c^{\log _{c}a}\quad \Rightarrow \left(c^{\log _{c}b}\right)^{\log _{b}a}=c^{\log _{c}a}$

$\Rightarrow c^{{\log _{c}b}\cdot {\log _{b}a}}=c^{\log _{c}a}\quad \Rightarrow {\log _{b}a}\cdot {\log _{c}b}={\log _{c}a}\quad$

$\Rightarrow \quad {\log _{b}a}={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Mathematische Folgen

Eine Zahlenfolgelegende und die geometrische Summenformel

Nach einer alten Legende schuf in Indien ein Brahmane (etwas wie Priester) das Schachspiel, um die Aufmerksamkeit seines grausamen Herrschers abzulenken. Der Herrscher war so begeistert, dass er dem Brahmanen belohnen wollte. Der Brahmane fragte dann als Belohnung die folgende Summe von Weizenkörnern. Auf das erste Feld des Schachbretts sollte ein Korn sein, am zweiten sollten doppelt so viele Körner sein usw. bis zum letzten Feld. Der Herrscher kannte keine Exponentialfunktionen und hat gedacht, dass diese Belohnung nicht so hoch wäre. Bald hat sich allerdings herausgestellt,dass er sich enorm geirrt hatte.

Versuchen wir zu berechnen, wie viele Körner das wären. Jedes mal muss mit zwei multipliziert werden. Dadurch bekommen wir die Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... Mit 128 sind wir noch beim 8. Feld. Wie wird die Zahl am 64. Feld aussehen?

Dafür müssen wir eine andere Darstellung dieser Zahlenreihe benutzen. Das erste Feld hat $2^{0}=1\$Korn, das zweite $2^{1}=2$, das dritte $2^{2}=4$, das vierte $2^{3}=8$, das fünfte $2^{4}=16$ usw.. Es wird also klar, dass die Hochzahl von 2 jedes mal um 1 weniger als die Anzahl des Feldes ist. Das Schachbrett hat 64 Felder, daher werden am letzten Feld $2^{64-1}=2^{63}=9223372036854775808$, also 9 Trillionen Körner sein. Gefragt ist allerdings die Summe. Es gibt einen Weg diese Summe mit einer Formel zu berechnen. Um diese Formel zu finden, benutzen wir den allgemeinen Fall. Wir fangen mit einem Wert w (hier 1) an und jedes mal wird das vorherige Ergebnis mit der gleichen Zahl a multipliziert. Das n-te Glied diese Zahlenfolge wird dann $w\cdot a^{n-1}$. Bei der Summe der Folgeglieder kann w herausgehoben werden: $w\cdot a^{0}+w\cdot a^{1}+w\cdot a^{2}+w\cdot a^{3}+...=w(1+a+a^{2}+a^{3}+...)$. Wir wollen die Summe in Klammer berechnen. Fangen wir mit der einfachen Tatsache an, dass diese Summe gleich sich selbst sein wird:

$1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}=1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}$

Multiplizieren wir jetzt beide Seiten mit a:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a=(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a$

Multiplizieren wir jetzt die rechte Seite der Gleichung aus. Dadurch wird die Hochzahl bei jedem Summand um eins mehr:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}$

Weizen

Subtrahieren wir jetzt von beiden Seiten die Zahlenfolge vom Anfang $(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$$=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})$

Auf der linke Seite können wir die zweite Klammer mit 1 multiplizieren, auf der rechten die Klammer ausmultiplizieren, dadurch werden alle plus zu minus:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot a-(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot 1$$=a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}-1-a-a^{2}-a^{3}-...-a^{n-1}$

Auf der linken Seite können wir jetzt die Klammer herausheben und auf der rechten die Subtraktionen durchführen, wodurch alle Potenzen mit zwei Ausnahmen verschwinden:

$(1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1})\cdot (a-1)=a^{n}-1$

Umformen (durch $(n-1)$):

$1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n-1}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$

Letzteres Ergebnis ist die Summenformel einer sogenannten geometrischen Folge (geometrische Summenformel). Etwas abstrakter schreibt man in Mathematik:

$\sum \limits _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$

In der antiken Legende ist a gleich 2, die Summe der ganzen Körner ist daher:

${\frac {2^{64}-1}{2-1}}={\frac {2^{64}-1}{1}}=18446744073709551615\$Körner!

Diese Menge entspricht mehr als das 1000-fache der Jahresproduktion heutzutage. Was sollte der König machen? Ein Berater von ihm, hat ihm die Lösung gegeben. Er sollte die Körner eins zu eins zahlen lassen .

Folgen

Definition

Einfache Definition: Eine Folge in der Mathematik ist eine (endliche oder unendliche) Reihenfolge von Objekten, die man aufzählen und möglicherweise auch einordnen kann.

Zwei formelle Definitionen von Folgen sind:

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet.

Eine Folge ist eine eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ und den reellen Zahlen $\mathbb {R}$:

$n\mapsto a_{n},\ n\in \mathbb {N} ,a_{n}\in \mathbb {R}$

Nehmen wir jetzt als Beispiel eine Anzahl von Farben: {Rot, Blau, Grün, Blau, Schwarz}. Das ist schon eine Folge, in diesem Fall eine endliche. Könnte man eine unendliche Folge mit den Farben machen? Das ist eher eine physikalische als eine mathematische Frage. Da die Wahrnehmungszellen im Auge vermutlich stufenweise funktionieren (was von Quantenphysik bestimmt wird), wird wahrscheinlich die Antwort zu dieser Frage eher so sein: "Man kann wirklich eine riesige Zahl von Farben definieren, sie wird aber nicht unendlich sein". Das ist nicht der Fall mit Zahlen. Da kann man immer eine unendliche Folge aufbauen. Nehmen wir als Beispiel die Brüche von Fünf.

• Wir können eine endliche Folge definieren:
  Die erste 8 Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler: $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}}\}$.
• Wir können auch eine unendliche Folge definieren:
  Alle Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler: $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}},\ ...\}$.
• Wir können allerdings keine Folge definieren, wenn wir in unsere Definition alle Brüche von 5 benutzen. Das würde dann bedeuten, dass wir alle reelle Zahlen als Zähler benutzen sollen. Für die reellen Zahlen gibt es einen Beweis, dass es nicht möglich ist, sie aufzuzählen. Allein sogar die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht aufzählen!

In diesen Beispielen können wir die Glieder der Folge auch einordnen. Das erste Glied der Folge mit den 5 Farben ist Rot, das zweite Blau usw.. Diese Einordnung ist allerdings willkürlich. Bei der Folge mit den Brüchen kann die Einordnung sowohl willkürlich als auch nach einer Regel sein:

• willkürlich: $\{{\frac {2}{5}},{\frac {8}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {1}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {5}{5}}\}$.
• nach einer Regel (vom kleinsten zum größten): $\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}},\ ...\}$.

Die arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine mathematische Folge, die eingeordnet ist und in der zwei nacheinander folgenden Glieder immer die gleiche Differenz aufweisen. Nehmen wir die erste 8 Brüche von 5 mit einer positive ganze Zahl als Zähler:
$\left\{{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},{\frac {5}{5}},{\frac {6}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {8}{5}}\right\}$
Die Folge ist eingeordnet und die Differenz zwei einander folgenden Glieder ist immer ${\tfrac {1}{5}}$. Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
${0{,}2\,,0{,}4\,,0{,}6\,,0{,}8\,,1,1{,}2\,,1{,}4\,,1{,}6}$

Eine andere arithmetische Folge kann beispielsweise mit 4,1 anfangen, die Differenz 3,3 aufweisen und unendlich sein:
$\{4{,}1\,,\ 7{,}4\,,\ 10{,}7\,,\ ...\}$
Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{4{,}1+0\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+1\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+2\cdot 3{,}3\,,\ 4{,}1+3\cdot 3{,}3\,,\ \ ...\}$

Wie kann man diese Folgen ohne Auflistung ihrer Elemente definieren? Es gibt dafür zumindest zwei Wege:

• Jedes Glied als Funktion angeben:
  $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\quad n\in \mathbb {N} _{*}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq m$
• Das erste Glied und jedes folgende Glied mit einer sogenannten rekursiven Formel angeben:
  $a_{1}=b,a_{n+1}=a_{n}+d\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} _{*}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{1},a_{n+1}=a_{n}+d\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq m$

Für die Folge mit den 8 Brüchen ist in diesem Sinne die Definition mit einer Formel:

$a_{n}={\frac {1}{5}}+(n-1)\cdot {\frac {1}{5}}\quad n\in \mathbb {N} _{*},n\leq 8$

Für die Folge mit 3,3 als Anfangsglied ist in diesem Sinne die Definition mit einer rekursiven Formel:

$a_{1}=4{,}1,a_{n+1}=a_{n}+3{,}3\quad n\in \mathbb {N} _{*}$

Die geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine mathematische Folge, die eingeordnet ist und in der zwei nacheinander folgenden Glieder immer den gleichen Quotient aufweisen. Nehmen wir die erste 7 Potenzen von 3 mit einer positive ganze Zahl als Hochzahl:
$\{3^{1},\ 3^{2},\ 3^{3},\ 3^{4},\ 3^{5},\ 3^{6},\ 3^{7}\}$
Die Folge ist eingeordnet und der Quotient zwei einander folgenden Glieder ist immer 3. Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243,\ 729,\ 2187\}$

Eine andere geometrische Folge kann beispielsweise mit 4 anfangen, den Quotient 1,5 aufweisen und unendlich sein:
$\{4,\ 6,\ 9,\ 13{,}5\,,\ 20{,}25\,,\ 30{,}375\,,\ ...\}$
Die gleiche Folge können wir auch so schreiben:
$\{4\cdot 1{,}5^{0},\ 4\cdot 1{,}5^{1},\ 4\cdot 1{,}5^{2},\ 4\cdot 1{,}5^{3},\ 4\cdot 1{,}5^{4},\ 4\cdot 1{,}5^{5},\ ...\}$

Wie kann man diese Folgen ohne Auflistung ihrer Elemente definieren? Es gibt dafür zumindest zwei Wege:

• Jedes Glied als Funktion angeben:
  $a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}\quad n\in \mathbb {N}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}\quad n\in \mathbb {N} ,n\leq m$
• Das erste Glied und jedes folgende Glied mit einer sogenannten rekursiven Formel angeben:
  $a_{0}=b,a_{n+1}=a_{n}\cdot q\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$
  wobei d die Differenz ist. Im Fall einer endlichen Folge muss man auch die Anzahl der Glieder angeben:
  $a_{0}=b,a_{n+1}=a_{n}\cdot q\quad b\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} ,n\leq m$

Für die Folge mit Quotient 3 ist in diesem Sinne die Definition mit einer Formel:

$a_{n}=3\cdot 3^{n}\quad n\in \mathbb {N} ,n\leq 6$

Für die Folge mit Quotient 1,5 ist in diesem Sinne die Definition mit einer rekursiven Formel:

$a_{0}=4,a_{n+1}=a_{n}\cdot 1{,}5^{n}\quad n\in \mathbb {N}$

Die Fibonacci Folge und der goldene Schnitt

Die Fibonacci Folge ist eine berühmte mathematische Zahlenfolge, die sich leicht(er) durch eine rekursive Formel definieren lässt. Das nächste Glied wird als die Summe der zwei vorherigen Glieder definiert. Die zwei ersten Glieder sind entweder 0 und 1 oder 1 und 1:
$(0,)\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;$$13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots$
Die Definition durch eine rekursive Formel lautet daher (wenn wir mit 1 und nicht mit 0 anfangen):

$F_{0}=1,\;F_{1}=1\;F_{n+2}$$=F_{n}+F_{n+1}\quad n\in \mathbb {N}$

Das dritte Glied ist daher $F_{2}=F_{0}+F_{1}=1+1=2$, das vierte $F_{3}=F_{1}+F_{2}=1+2=2$, das fünfte $F_{4}=F_{2}+F_{3}=2+3=5$ usw..

Die Folge wurde nach einem berühmten Mathematiker des 11.-12. Jahrhunderts genannt, die Folge war allerdings schon seit langem bekannt. Fibonacci hat die Formel benutzt, um Wachstumsprozesse bei Kaninchen zu beschreiben, dass diese Wachstumsprozesse und andere Vorgänge in der Natur diesem Muster folgen war allerdings auch schon bekannt.

Eine interessante Eigenschaft der Folge ist, dass der Quotient zwei nacheinander folgenden Glieder der Folge immer näher zum sogenannten goldenen Schnitt sind. Der goldene Schnitt ist eine Zahl. Wenn man eine Strecke in zwei Teilstrecken so teilt, dass der Quotient der Länge der ganzen Strecke zum größten Teil soviel ist, wie der Quotient des größten Teils zum kleinsten, dann ist dieser Quotient der goldene Schnitt. Seine Wert ist:

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {2}{{\sqrt {5}}-1}}$

Man kann also beweisen:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$

Das ist das gleiche, wie der unendliche Kettenbruch:

$\phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}=[1;{\overline {1}}]$

Fibonacci Zahlen werden oft in Kryptographie benutzt. Allerdings kommen in einer großen Anzahl von Phänomenen vor:

• In der Natur:
  Die Blätter (Phyllotaxis) oder Fruchtstände vieler Pflanzen sind in Spiralen angeordnet, wobei die Anzahl dieser Spiralen den Fibonacci-Zahlen entsprechen.
  Die Fibonacci-Folge beschreibt die Ahnenmenge einer männlichen (n = 1) Honigbiene (Apis mellifera) usw..
• In Mathematik:
  Die Summe in bestimmte Diagonalen im Pascalschen Dreieck sind Fibonacci Folgen usw..

Die eulersche und die Kreiszahl als Folgen

Die eulersche Zahl ist die Basis der natürlichen Logarithmen:

$\log _{e}x=\ln x$

Kehrwertfunktion ${\tfrac {1}{x}}$

Die Logarithmusfunktion ist das Integral der Kehrwertfunktion $f(x)={\tfrac {1}{x}}$:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C$

Dadurch können wir die eulersche Zahl definieren:

$\int \limits _{1}^{z}{\frac {1}{x}}\,dx=1\Leftrightarrow z=e$

Also die Fläche zwischen der Kurve ${\tfrac {1}{x}}$ und der x-Achse von 1 bis $z$ ist genau dann gleich 1, wenn z gleich $e$ ist.

Für die eulersche Zahl gibt es allerdings noch einige andere Definitionen. Hier ist nur eine begrenzte Anzahl davon:

• Sie ist der Grenzwert der Folge $a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$.
  $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
• Sie ist so viel wie die unendliche Folgesumme (Reihe)
  $e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$.
• Sie lässt sich durch folgende unendliche Kettenbruchentwicklung berechnen
  ${\frac {1}{e-1}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}}}}$

Die Kreiszahl lässt sich als der Quotient des Umfangs eines Kreises durch seinen Durchmesser definieren. Die Formeln für die Berechnung der Kreiszahl sind i. d. R. kompliziert. Hier ist nur eine begrenzte Anzahl der einfachsten davon:

• Sie ist der Grenzwert der folgenden Produktfolge:
  $\pi =2\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots =\prod \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {(2\,i)^{2}}{i^{2}+2\,i}}$
• Ein viertel der Kreiszahl ist der Grenzwert der folgenden Folgesumme (Reihe):
  $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \cdots ={\frac {\pi }{4}}$
• Sie lässt sich durch das folgende unendliche Produkt berechnen:
  ${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots ={\frac {2}{\pi }}$
• Sie lässt sich durch folgende unendliche Kettenbruchentwicklung berechnen:
  ${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$

Lineare Gleichungssysteme mehrerer Variablen

Das gaußsche Eliminationsverfahren

Als linear wird eine Gleichung bezeichnet, wenn alle in ihr vorkommenden Variablen nur mit der Hochzahl 1 vorkommen. Beispielsweise ist $x+4d-m=9\$eine lineare Gleichung, da alle Variablen (x, d und m) ohne Hochzahl, also mit der Hochzahl 1 vorkommen. Die Gleichung $x+4d^{2}-m+{\sqrt {c}}=9\$ist linear, was die Variablen x und m betrifft, nicht aber was die Variablen d und c betrifft. Die Gleichung $x^{3}-1=8\$ist nicht linear.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Eine, eindeutige Lösung für so ein System, gibt es, wenn es möglich ist, jede Variable durch jeweils eins Zahl zu ersetzen, so dass alle Gleichungen stimmen. In der Regel wird es in den Aufgaben so viele Gleichungen wie Variablen geben, das muss aber nicht sein. Betrachten wir zunächst einmal ein Beispiel mit 2 Variablen und 2 Gleichungen:

$\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|$

Es gibt zumindest 4 Wege, dieses System zu lösen: graphisch (was ohne Computer ungenau ist) und mit dem Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren.

• Graphisch

Beide lineare Funktionen mit Hilfe von jeweils 2 Punkten abzeichnen:

Funktion A Funktion B Funktion A und B

Der Schnittpunkt L:(2|6) der beiden Geraden ist die Lösung

• Mit dem Gleichsetzungsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}(-x)\\{-3x\ {\text{und}}\ :5}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}y=8-x\\y={\frac {36-3x}{5}}\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{\text{gleichsetzten}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}{\frac {36-3x}{5}}=8-x\ \rightarrow \\x=2\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{\text{auch}}\ y\\{\text{berechnen}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}y=8-x\\y=6\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}(x=2)\\\end{array}}$

• Mit dem Einsetzungsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}-y\\{}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}\\{\text{x einsetzten}}\end{array}}\Rightarrow$

$\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\3(8-y)+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}\\{\text{lösen}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\y=6\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}y\ {\text{ersetzen}}\\\end{array}}\Rightarrow \left|\ {\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}}\ \right|$

• Mit dem Additionsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{}\\{II\,-3\,I}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\2y=12\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}y\ {\text{einsetzten}}\\{}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}}\ \right|$

Wenn am Anfang neben der zweiten Gleichung $-3\,I\$geschrieben wird, ist damit gemeint, das von jeder Seite in der zweiten Gleichung 3 mal die entsprechende Seite der ersten Gleichung subtrahiert wird. Dadurch wird in der zweiten Gleichung die x Variable wegfallen ($3x-3x=0$).

Das Gleichsetzungsverfahren benutzen wir oft, wenn wir die Schnittpunkte zweier Funktionen finden wollen (also die Lösung des entsprechenden oft nicht linearen Gleichungssystems). Des Ersetzungsverfahren wird oft in Physik und anderen Wissenschaften benutzt, wenn mehrere Formel nacheinander benutzt werden müssen. Für die Lösung allerdings von linearen Gleichungssystemen mit 3 oder mehreren Variablen wird fast ausschließlich ein das gaußsche Verfahren benutzt, das dem Additionsverfahren sehr ähnelt. Nehmen wir folgendes Beispiel eines LGS mit 3 Variablen und 3 Gleichungen:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&2b&&=0\end{matrix}}$

Es ist übersichtlicher, nur die Koeffizienten der Variablen a, b und c in einer sogenannten "Matrix" zu schreiben. Jede Spalte der Matrix entspricht einer Variable: in der ersten Spalte sind die Koeffizienten von a, in der zweiten von b und in der dritten von c. Separat in einer Spalte rechts werden die rechten Seiten der Gleichungen geschrieben (die keine Koeffizienten sind).

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Die Matrix kann mit elektronischen Hilfsmitteln
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden.
Ziel des Verfahrens ist, durch Addition und Subtraktion
von Vielfachen der verschiedenen Zeilen folgende
("diagonale") Form der Matrix zu erreichen:

$\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {L_{a}}\\\textstyle {L_{b}}\\\textstyle {L_{c}}\end{matrix}}\right.\right]$

Die erste Spalte ist für die Variable a, die zweite für
die Variable b und die dritte für die Variable c. Als
lineares Gleichungssystem wird daher die letzte
Matrize wie im Folgenden dargestellt:

${\begin{matrix}1a+&{\cancelto {0}{\ 0b\ }}+&{\cancelto {0}{\ 0c\ }}&={L_{a}}\\{\cancelto {0}{\ 0a\ }}+&1b+&{\cancelto {0}{\ 0c\ }}&={L_{b}}\\{\cancelto {0}{\ 0a\ }}+&{\cancelto {0}{\ 0b\ }}&1c&={L_{c}}\end{matrix}}$

was gleichbedeutend ist, wie:

${\begin{matrix}a&={L_{a}}\\b&={L_{b}}\\c&={L_{c}}\end{matrix}}$

Das bedeutet wiederum, dass wir die Lösung $\{L_{1},\ L_{2},\ L_{3}\}$
des LGS in der diagonalen Matrize sofort ablesen können.
Schauen wir den ganzen Prozess mit Hilfe des Beispiels. Bei
jedem Schritt soll noch eine Koeffizient null werden, bis wir
die Diagonale Form erreichen.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$ Hier werden wir in der zweiten Zeile die Gleichung der ersten Zeile minus die Gleichung der zweiten berechnen. Die linken Seiten: ${\begin{smallmatrix}9a&+3b&+1c\\2{,}25a&+1{,}5b&+1c\end{smallmatrix}}\rightarrow$ $(9a+3b+1c)-(2{,}25a+1{,}5b+1c)$ $=6{,}75a+1{,}5b$ und die rechten Seiten: ${\begin{smallmatrix}5\\4{,}5\end{smallmatrix}}\rightarrow 5-4{,}5=0{,}5$ Daher bleibt dann in der zweiten Zeile: $6{,}75a+1{,}5b=0{,}5$ und ohne Variablen: $6{,}75\quad 1{,}5\quad 0\quad |0{,}5$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\{4\,II-3\,III}\end{matrix}}$ Hier wenden wir den gleichen Prozess an der dritten Zeile an. Aus dem Vierfachen der zweiten Zeile subtrahieren wir das Dreifache der dritten.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\15&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\2\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\II\,-0{,}45\,III\\:15\qquad \qquad \end{matrix}}$ In der zweiten Zeile subtrahieren wir jetzt das 0,45-fache der dritten usw.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&1{,}5&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-0{,}4\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-2\,II-9\,III\\:1{,}5\qquad \qquad \\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {\frac {23}{5}}\\\textstyle {-{\frac {4}{15}}}\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]$

Wir haben vereinbart, dass die dritte Spalte die c-Koeffizienten beinhaltet. Die erste Zeile in der letzten Matrize zeigt uns dann:

$\textstyle 0a+0b+1c={\frac {23}{5}}\ {\text{also}}\ c={\frac {23}{5}}$

Entsprechend für die zweite und dritte Spalte:

$\textstyle 0a+1b+0c={-{\frac {4}{15}}}\ {\text{also}}\ b=-{\frac {4}{15}}$

$$