Theorie. Klasse 2

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AUFGABEN

Vorgabe des Ministeriums[Bearbeiten]

Arbeiten mit Zahlen und Maßen[Bearbeiten]

  • Festigen und Vertiefen der Fähigkeiten beim Arbeiten mit positiven rationalen Zahlen, um vielfältigeund komplexere Probleme in Sachsituationen bearbeiten zu können,
  • Rechnen mit Brüchen (mit kleinen Zählern und Nennern), damit die Rechenregeln im Hinblick auf dieAlgebra sicher beherrscht werden,
  • diese Rechenregeln für das Bruchrechnen begründen können,
  • Bruchdarstellung in Dezimaldarstellung überführen und umgekehrt,
  • wichtige Teilbarkeitsregeln kennen und anwenden können;
  • Rechnen mit Prozenten in vielfältigen Zusammenhängen;
  • Maße verwenden und Umwandlungen durchführen können in dem Ausmaß, wie es die Bearbeitung von Sachaufgaben und geometrischen Aufgaben erfordert und es dem Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler entspricht.

Arbeiten mit Variablen[Bearbeiten]

  • mit Variablen allgemeine Sachverhalte beschreiben,
  • Gleichungen und Formeln aufstellen, insbesondere auch in Sachsituationen,
  • unter Verwendung von Umkehroperationen einfache lineare Gleichungen mit einer Unbekannten lösen und Formeln umformen,
  • Formeln interpretieren.

Arbeiten mit Figuren und Körpern[Bearbeiten]

  • Dreiecke, Vierecke und regelmäßige Vielecke untersuchen, wesentliche Eigenschaften feststellen,
  • die Figuren skizzieren und konstruieren können,
  • Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder überhaupt nicht in Konstruktionen umgesetzt werdenkönnen,
  • kongruente Figuren herstellen können, die Kongruenz begründen können;
  • Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen,
  • und für Konstruktion anwenden können;
  • Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen oder Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen,
  • Volumina von Prismen berechnen, möglichst in Anwendungsaufgaben.

Arbeiten mit Modellen, Statistik[Bearbeiten]

  • charakteristische Kennzeichen von indirekten und direkten Proportionalitäten an Beispielen angebenkönnen,
  • einfache Fragestellungen dazu formulieren, sie graphisch darstellen und lösen können,
  • Fragen zu sinnvollen Anwendungsbereichen für solche Proportionalitäten stellen;
  • relative Häufigkeiten ermitteln können,
  • entsprechende graphische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch betrachten können,
  • Manipulationsmöglichkeiten erkennen.


Einige der folgenden Teile werden angepasst. Hier ist nur eine grobe Struktur. Die schon vorhandenen entsprechenden Kapitel sind für erwachsene Personen gedacht. Für diese Klasse hier sollten erst Kapitel in einer Zentralseite entstehen, die der Altersgruppe entsprechen.

Grundrechenarten und Bruchrechnungen[Bearbeiten]

Für diese Klasse sollte hier ein Kapitel mit natürlichen Zahlen entstehen (Ohne Dezimalzahlen)

Definitionen der Grundrechenarten[Bearbeiten]

Die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +                         
(addieren, erhöhen) Summand Summand Summe
Subtraktion minus                       
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend Subtrahend Differenz
Multiplikation mal   (×)                       
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor Produkt
Division durch :  (÷, /)                       
(dividieren, teilen) Dividend Divisor Quotient

Das Symbol = ist ein Gleichheitszeichen. Es steht für die Gleichheit zweier Ausdrücke. Es wird in einem eigenen Abschnitt genauer erklärt.

Das Symbol × für die Multiplikation wird kaum benutzt, weil es leicht mit dem Symbol oder dem Buchstaben x für die Variable x verwechselt werden kann. Wozu in Rechnungen Buchstaben verwendet werden, werden wir später lernen. Für die Multiplikation wird in diesem Buch das Symbol · benutzt.
Das ist ein Punkt ungefähr auf halber Höhe einer Ziffer notiert.

Für die Division benutzt man auch Punkte : Die anderen Symbole für die Division / und ÷ werden seltener benutzt.
Typisch wird allerdings / bei den Einheiten verwendet, beispielsweise in der Geschwindigkeit (km/h). In diesem Beispiel sagt man "Kilometer pro Stunde". Mit dem Wort "pro" ist Division gemeint.

Weil für Multiplikation und Division Punkte als Symbole verwendet werden, nennt man die beiden Rechenarten zusammen Punktrechnungen.

Die Symbole für die Addition + und die Subtraktion – verwenden dagegen beide Striche. Daher nennt man diese beiden Rechenarten zusammen Strichrechnungen.

Bei Addition und Multiplikation spielt jeweils die Reihenfolge keine Rolle:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Addition.
Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Multiplikation.

Bei Subtraktion und Division ist die Reihenfolge wichtig. Das Ergebnis ist nicht das Gleiche, wenn die Reihenfolge anders ist:

aber
aber

Weitere Ausdrücke für die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Im Alltag gibt es allerdings einige Worte, die irgendeine Rechenart bedeuten können:

Schneiden, Kürzen (zum Beispiel Gehalt) und so weiter könnte minus bedeuten
Wachsen, zwei Sachen zusammen, insgesamt könnte plus bedeuten
in einige gleiche Teilen schneiden könnte doch geteilt durch bedeuten

... und so weiter ...

Das Gleichheitszeichen[Bearbeiten]

Ein Symbol, das bisher nicht erklärt wurde, ist das Gleichheitszeichen "=". Es wird benutzt, um zu zeigen, dass der Ausdruck links des Zeichens das Gleiche ist, wie der Ausdruck rechts des Zeichens. Dies betrifft sowohl den Wert als auch die Einheit.

✔(richtig)

✔(richtig)

✘(falsch: falscher Wert)

✘(falsch: falsche Einheit)

✘(falsch: rechts fehlt die Einheit m)

Wie man mit Einheiten arbeitet, werden wir genauer im entsprechenden Kapitel lernen. Da werden wir auch erfahren, dass

doch richtig ist.

Es gibt allerdings Gleichungen zwischen mehr als zwei Ausdrucken ("Gleichungsketten"), wie wir vorher gesehen haben:

Bei Gleichungsketten sind alle Ausdrücke gleich, daher kann man in diesem Beispiel auch schreiben:

oder

Es gilt daher allgemein:

  • wenn dann auch
  • wenn dann auch

Gleichungsketten kann man allerdings in der Regel nicht bei sogenannten Äquivalenzumformungen benutzen, wie wir später lernen werden.

Die Gleichung zwischen zwei Ausdrucke spielt allerdings eine wichtige Rolle beim Einsetzen, ein Verfahren, das wir im entsprechenden Kapitel lernen werden.

Negative Zahlen[Bearbeiten]

Das Minuszeichen benutzt man nicht nur bei der Subtraktion, sondern auch um sogenannte negative Zahlen zu bezeichnen. Was die negativen Zahlen sind, kann man ziemlich einfach verstehen, wenn man sich vorstellt, in einem Aufzug zu sein. Betrachten wir die folgende Bilderfolge:

AufzugA1.jpg
AufzugA2.jpg
AufzugA3.jpg
AufzugA4.jpg
AufzugA5.jpg
AufzugA6.jpg

Im ersten Bild fängt man vom Erdgeschoss an, dieses kann man mit der Zahl 0 bezeichnen. Dann fährt man mit dem Aufzug 2 Stockwerke nach oben. Die Richtung nach oben kann man mit Plus (+) bezeichnen. Das ist im Bild zu sehen. 0+2=2. Im dritten Bild fährt man aus dem 2. Stock 3 Stockwerke weiter nach oben (+ Richtung). 2+3=5. Im vierten Bild fährt man 8 Stockwerke nach unten. Nach unten kann man mit Minus (−) bezeichnen, da die Stockwerke weniger werden. Wenn man aber 5−8 rechnet, kann das Ergebnis nicht 3 sein. 3 ist oberhalb des Erdgeschosses, wir sind aber jetzt in dritten Untergeschoss. Um die Stockwerke unter dem Erdgeschoss zu bezeichnen, braucht man etwas Neues: das Minuszeichen vor dem Stockwerk! Wir sind also im Stock −3, also 3 Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses.

Im fünften Bild fährt man ein Stockwerk weiter nach unten. Wir waren im Stock −3 und nach unten bedeutet minus. Am Ende sind wir 4 Stockwerke unter der Erde, also im Stock −4: −3−1=−4. Wenn also beide Zahlen negativ sind, addiert man ihren sogenannten Betrag (3 und 1) und schreibt vor dem Ergebnis wieder ein Minus. Im sechsten Bild fährt man aus dem 4 Stock unter der Erde (−4) 5 Stockwerke nach oben (nach oben bedeutet Plus machen) und befindet sich am Ende einen Stock oberhalb des Erdgeschosses (bei +1): −4+5=1. Wenn man zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat, subtrahiert man die Beträge (größerer Betrag minus kleineren Betrag, hier: 5−4=1) und schreibt man vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größeren Betrags (also hier von 5, da sie mehr als 4 ist). Im vierten Bild haben wir 5−8 gerechnet. Da haben wir wieder die Beträge subtrahiert (größerer minus kleineren: 8−5=3) und im Ergebnis haben wir wieder das Vorzeichen des größeren Betrags geschrieben (also das Minus, das vor 8 steht): 5−8 = −3.

Zusammengefasst: Wenn man zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen hat (z.B. 4+7 oder −3−5), dann addiert man die Beträge (4+7=11 und 3+5=8) und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen: (4+7=11 und −3−5 = −8). Wenn die eine Zahl positiv (+) ist und die andere negativ(−), subtrahiert man die Beträge und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größten Betrags: 4−7=−3 15−9=6

Negative Zahlen werden immer mit einem Minus davor geschrieben, z.B. −6 oder −7,453 oder . Positive Zahlen werden mit einem Plus davor geschrieben, z.B. +6 oder +7,453 oder . Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen auslassen. Zum Beispiel ist 6 die positive Zahl +6, mit 7,453 wird die positive Zahl +7,453 gemeint und mit einfach .

Wenn allerdings das Plus oder das Minus nach der Zahl geschrieben wird, bedeutet es nicht, dass es eine positive oder negative Zahl ist. In diesem Fall erwartet man, dass noch eine Zahl folgen soll. 3− ist einfach unvollständig und auf gar keinen Fall die Zahl Minus drei ...

Weiteres über Rechnungen mit negativen Zahlen werden wir im Teilkapitel über die Plusminusregel lernen.

Das Komma bei Dezimalzahlen[Bearbeiten]

Noch ein wichtiger Punkt bei der Schreibweise muss man noch kurz ansprechen. Und es geht hier genau um den Punkt.

Wenn man mit dem Taschenrechner die Division 2 durch 7 macht, kommt etwas wie folgendes vor:

Das ist eine Zahl, die kleiner als eins ist. Auf Deutsch allerdings schreibt man:

Falls der Unterschied nicht klar ist:

im ersten Fall steht zwischen 0 und dem Rest der Zahl ein Punkt:

im zweiten Fall ein Komma:

Man sagt auf Deutsch "Null Komma zwei acht fünf sieben...". Dieser Unterschied muss einem bewusst sein!

Auf Englisch und bei den meisten Taschenrechnern schreibt man

oder sogar

.

Auf Deutsch und in ein paar anderen Sprachen werden die beiden Teile umgekehrt durch ein Komma getrennt:

oder sogar

.

Auf diese Tatsache sollte man aufpassen!

Insbesondere wenn Menschen mit unterschiedlichen Kulturen, Sprachen oder Notationen Daten miteinander austauschen, kann dieser Unterschied für Verwirrung sorgen. Beim internationalen Datenaustausch und bei Programmiersprachen wird daher praktisch durchgehend der Punkt und nicht das Komma als Trennzeichen verwendet, in diesem Buch (wie allgemein auf Deutsch) allerdings das Komma.

Addition[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +     2        +      7      =   9
(addieren, erhöhen) Summand + Summand = Summe

Beispiele: a) 35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?       b) 56333,76 + 0,089 + 33727,727 + 9=?

Lösungen
Aufgabe a
2 2 1 2 1 2   1 0
0 0 0 0 3 5 , 1
0 5 9 3 6 7 , 0 0
0 9 5 3 8 2 , 8 9
5 6 7 3 3 2 , 7 6
 7 2 2 1 1 8 , 3 5
     
Aufgabe b
1 1 0 2 1   1 1
5 6 3 3 3 , 7 6 0
0 0 0 0 0 , 0 8 9
3 3 7 2 7 , 7 2 7
0 0 0 0 9 , 0 0 0
 9 0 0 7 0 , 5 7 6

Man schreibt die Zahlen, die man addieren will, untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Um die Aufgabe übersichtlicher zu machen, schreibt man links und rechts der Zahlen Nullen(0), wenn Ziffer (im Vergleich zu den anderen Zahlen) „fehlen“.

Man addiert die Zahlen von jeder Spalte und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links). Die Summe der Ziffer der Spalte schreibt man unterhalb dieser Spalte.

Wenn die Summe der Ziffer in der Spalte mehr als 9 ist, dann schreibt man unterhalb der Spalte nur die letzte Ziffer und die restlichen oberhalb der nächsten Spalte links. Z.B. bei der Aufgabe a ist die Summe der Ziffer der Spalte rechts (mit der man anfängt) 0+0+9+6=15. Man schreibt darunter 5 (die letzte Ziffer) und 1 (15 ohne 5) oberhalb der nächsten Spalte links usw. Hier ist Aufgabe a Schritt zum Schritt gezeigt:

Aufgabe a Schritt zum Schritt gelöst
35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?
Summe01.jpg Summe02.jpg Summe03.jpg
Summe04.jpg Summe05.jpg Summe06.jpg
Summe07.jpg Summe08.jpg Summe09.jpg
Summe10.jpg Summe11.jpg Summe12.jpg
Summe13.jpg Summe14.jpg Summe15.jpg
Summe16.jpg Summe17.jpg Summe18.jpg
Den ganzen Vorgang kann man
auch hier als Animation sehen:
Summe.gif


Subtraktion[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Subtraktion minus     65      −      22      =   43
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend − Subtrahend = Differenz

Beispiele: a) 9,2-6,7       b) 9,5-6,4       c) 4752,8–203,007

Man schreibt die Zahlen untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Die Zahl oben muss genau so viele Ziffer vor und nach dem Komma haben, wie die Zahl unten. Daher schreibt man rechts der Zahl oben Nullen(0), wenn Ziffer in den Nachkommastellen (im Vergleich zur Zahl unten) „fehlen“.

Man subtrahiert die Zahlen von jeder Spalte (oben minus unten) und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links).

Wenn die Ziffer oben kleiner als die Ziffer unten ist, dann addiert man zu dieser Ziffer 10 und subtrahiert von der nächsten Ziffer oben links eins. In der nächsten Spalte links benutzt man dann oben die reduzierte Ziffer. Beispielsweise:

Aufgaben a und b: 9,2−6,7=?     9,5-6,4=?
SubtrA1.jpg SubtrA2.jpg SubtrA3.jpg
SubtrA4.jpg SubtrA5.jpg SubtrA6.jpg
Das ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrA.gif

Bei größeren Zahlen macht man den ganzen Vorgang bei jedem Schritt.

Aufgabe c: 4752,8–203,007=?
SubtrB1.jpg SubtrB2.jpg SubtrB3.jpg
SubtrB4.jpg SubtrB5.jpg SubtrB6.jpg


Das Ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrB.gif
Noch ein paar gelöste Beispiele:
Bsp. A
453,803−452,944=0,857
   Bsp. B
504,6−3,6003=500,997
   
Bsp. C
200−199,9998=0,0002
SubtrC1.jpg SubtrC2.jpg SubtrC3.jpg

Multiplikation[Bearbeiten]

Definition der Multiplikation[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Multiplikation mal   (×)      9      ⋅      13      =   117
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor = Produkt

Zunächst einmal erklären wir die Bedeutung der Multiplikation.

bedeutet, dass man mal die zueinander addiert (plus macht). Also . Allerdings spielt bei der Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle. . Letzteres () bedeutet drei mal die 5 zueinander addieren: .

Mit Hilfe der Addition kann man ein Multiplikationstabelle erstellen, sie wird das kleine Einmaleins genannt.

das kleine Einmaleins

Multiplikation mit Hilfe der Einmaleins*Tabelle[Bearbeiten]

Multiplikation von Zahlen mit mehreren Ziffern und Nachkommastellen[Bearbeiten]

   a)       b)       c)       d)       e)       f)       g)       h)

Beispiel a haben wir im Abschnitt über Definition schon beantwortet:

Bevor wir mit den restlichen Beispielen weitermachen, müssen wir zwei Sachen noch erklären.

  1. Bemerkung: Multiplizieren mit Klammern
    Wenn etwas in Mathematik in Klammern steht, ist es so gemeint, dass die Rechnung in den Klammern erst gemacht werden muss. Wenn wir berechnen wollen, rechnen wir erst aus, also was in den Klammern steht. . Dann führen wir die Multiplikation aus: . Hätten wir erst gerechnet und dann , wäre das Ergebnis falsch: .
    Das bedeutet dann, dass man die Zahl außerhalb der Klammern erst mit jedem Summand in den Klammern multiplizieren muss und dann diese Produkte addieren. ist nicht . Man muss erst die Zahl außerhalb der Klammern (3) erst mit jedem Summand in den Klammern (2 und 5) multiplizieren und dann diese Produkte (6 und 15) addieren: (also das richtige Ergebnis). Man schreibt:

    oder
  2. Bemerkung: Multiplizieren mit 10
    Wenn man eine Zahl mit 10 multipliziert, ist das Ergebnis diese Zahl mit einer Null auf ihren rechten Seite geschrieben. Das haben wir in der einmaleins-Tabelle gesehen: usw. Leicht denkt man dann, dass das Gleiche mit passiert. Tatsächlich ist gleich einer mit einer dahinter, also .


Im Beispiel b ist es möglich, als Produkt von und zu schreiben. Es steht tatsächlich in der einmaleins-Tabelle, dass ist, also

Daher

(wir haben gerade eben im Beispiel a gesehen, dass ist).

Wir wir in der zweiten Bemerkung (Multiplizieren mit 10) gerade eben gelernt haben, gilt für

Man kann also zusammenfassen:

, also .


Um Beispiel c zu lösen, können wir die erste Bemerkung (Multiplikation mit Klammern) benutzen:

ist

wie wir eben im Beispiel b gesehen haben.

wie man aus der Einmaleins-Tabelle ablesen kann. Somit ist

,

also

.


In der gleichen Weise und mit den gleichen Schritten kann man Beispiel d berechnen:

,

also

.


Aber auch Beispiel e ist dann nicht so schwer, man soll einfach eine Null zum Ergebnis von d dazu schreiben, wie wir in der Bemerkung über Multiplikation mit 10 gelernt haben:


Wenn jetzt mit multipliziert wird, wie im Beispiel f, dann werden die folgenden Schritte gemacht:

(Wir haben hier die Ergebnisse aus den Beispielen e und c benutzt)

ist

wie wir schon bei der Addition gelernt haben. Also:

Es gibt verschiedene Schreibweisen, die diesen Prozess beschreiben.


    oder     (ohne Null)

    und    

    oder    


Wenn man Kommas hat, lässt man die Kommas und die Nullen am Anfang aus und macht die Multiplikation. Im Beispiel g () haben wir insgesamt 8 Nachkommastellen (zwei bei und sechs bei , also 2+6=8 Stellen nach dem Komma insgesamt). Beim Ergebnis der Multiplikation ohne Kommas () fängt man dann mit der Ziffer rechts (hier ) an und zählt nach links so viele Stellen, wie die gesamten Nachkommastellen (hier 8 Stellen). Dort muss beim neuen Ergebnis das Komma stehen. hat aber nur vier Ziffer. Wenn die Zahl weniger Ziffer als die Nachkommastellen hat wie hier, schreibt man erst mehrere Nullen links der Zahl:

Komma 7 Stellen nach links stellen →

Daher:

Wenn man Nullen am Ende der Zahlen hat, dann lässt man diese Nullen aus. Man macht die Multiplikation und schreibt dann wieder die ausgelassenen Nullen dazu. Im Beispiel h () haben wir 4 Nullen (eine bei und drei bei ). Also zum Ergebnis schreibt man noch 4 Nullen dazu: . Also .


Das Folgende Beispiel zeigt die Vorgangsweise genauer und Schritt zum Schritt:

MultiA1.jpg MultiA2.jpg MultiA4.jpg
MultiA5.jpg MultiA6.jpg MultiA7.jpg
Das ganze kann man hier
auch als Animation sehen:
MultiA.gif


Und noch ein Beispiel, diesmal mit zwei Zahlen mit jeweils drei Ziffern:

MultiB1.jpg MultiB2.jpg MultiB3.jpg

Division[Bearbeiten]

Definition der Division[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Division durch :  (÷, /)     84      :      7      =   12
(dividieren, teilen) Dividend : Divisor = Quotient

Einfache Division mit Hilfe der Einmaleins*Tabelle[Bearbeiten]

Der Haupt(vor)gang[Bearbeiten]

Der Vorgang der Division, wenn der Dividend eine größere Zahl ist, kann durch vier Schritte beschrieben werden:

  1. ↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)
  2. ÷ was runter steht durch den Divisor dividieren (mit Hilfe der Einmaleinstabelle)
  3. × das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
  4. − dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren. So berechnet man den Rest der Division (Schritt 2)

So einen Vorgang nennt man in Mathematik (und nicht nur) Algorithmus. Die vier Schritte (↓ ÷ × –) werden wiederholt (so was nennt man Iteration). Wenn der Rest null ist und es kein Ziffer mehr am Dividend gibt, dann hört man auf. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass der Rest nie Null wird. Dieser Fall wird später erklärt.

Am besten versteht man den Vorgang durch ein Beispiel (um ihn zu lernen, muss man selbstverständlich üben...). Probieren wir 792:3 zu berechnen:

DivisionA01.jpg DivisionA02.jpg DivisionA03.jpg DivisionA04.jpg
Jetzt wird der Vorgang wiederholt!
DivisionA05.jpg DivisionA06.jpg DivisionA07.jpg DivisionA08.jpg
Jetzt wird der Vorgang noch mal wiederholt!
DivisionA09.jpg DivisionA10.jpg DivisionA11.jpg DivisionA12.jpg

Das ganze in einer Animation:

DivisionAL.gif

Was aber man in der Tat schreibt, sieht doch anders aus! Man schreibt nur gewisse Schritte, der Rest macht man im Kopf oder als Nebenrechnung am Rand. Hier die Schritte, wie sie tatsächlich geschrieben werden:

DivisionA13.jpg DivisionA14.jpg DivisionA15.jpg

und die entsprechende Animation:

DivisionAM.gif

Ein letztes Beispiel:

DivisionA16.jpg DivisionA17.jpg DivisionA18.jpg

und die entsprechende Animation:

DivisionAN.gif

In diesem Fall sagt man, dass 842 durch 5 gleich 168 mit Rest 2 ist. Man schreibt 842:5=168 R 2. Der Rest muss allerdings immer kleiner als der Divisor sein (auch in den Zwischenschritten), sonst hat etwas nicht richtig geklappt. Die Division kann man allerdings weiterführen, wie wir bald lernen werden.

Dividend mit Nullen am Ende[Bearbeiten]

Wenn der Dividend Nullen am Ende hat, kann man sich ein paar Schritte sparen. Schauen wir ein Beispiel:

DivNulA1.jpg DivNulA2.jpg DivNulA3.jpg
DivNulA4.jpg DivNulA5.jpg DivNulA6.jpg

Schauen wir jetzt, wie die richtige Regel lautet:

DivNulB1.jpg DivNulB2.jpg DivNulB3.jpg
DivNulB4.jpg DivNulB5.jpg DivNulB6.jpg

Man kann also die Division aufhören und die restlichen Nullen erst dann schreiben, wenn der Rest zum ersten Mal Null ist!

Wenn der Divisor auch Nullen am Ende hat, kann man vom beiden Divisor und Dividend so viele Nullen streichen, wie die Nullen des Divisors und erst dann die Division durchführen. Beispielsweise ist 7910000:400=79100:4 (in beiden Fällen ist das Ergebnis 19775). Warum das so ist, kann man erst verstehen, wenn man das Kürzen von Brüchen gelernt hat, daher lernen wir es hier zunächst einmal einfach so, als Regel...

Null in der Mitte des Ergebnisses[Bearbeiten]

Division Erklärung Ein Fehler, der oft vorkommt, ist die Nullen in der Mitte des Ergebnisses auszulassen.
Im ersten Bild sieht man den richtigen Vorgang.
 
Für jede Ziffer des Dividents, die runtergebracht wird,
muss ein Ziffer im Ergebnis geschrieben werden!

 
Das richtige Ergebnis ist daher 2008. Im zweiten Bild sieht man den falschen Vorgang.
Selbstverständlich ist 28 nicht gleich 2008 und daher ein falsches Ergebnis!

Null am Anfang des Ergebnisses[Bearbeiten]

DivNA.png Was ist aber, wenn die Null (oder die Nullen) ganz am Anfang des Ergebnisses stehen? In diesem Fall spielt es keine Rolle, ob die Null da steht oder nicht. 059 bedeutet genau die gleiche Zahl wie 59 (allerdings auch genau wie 59,000 und 00059, auf gar keinen Fall aber wie 590 oder 59000...).
 
Wenn man Nullen vor dem Anfang einer Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle schreibt, ändert sich die Zahl nicht.
 
47,03=00047,03=47,030000=0047,03000.
 
Das gilt allerdings nur für den Anfang der Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle. Wenn man Nullen irgendwo in der Mitte der Zahl schreibt, dann hat man nicht mehr die gleiche Zahl.
47,03 ≠ 407,03 ≠ 470,03 ≠ 47,003    Alle diese Zahlen sind nicht gleich!
Aus diesem Grund kann man am Anfang (und nur am Anfang) der Division mit den ersten zwei (oder drei und so weiter) Ziffern anfangen, wenn die erste kleiner als der Divisor ist. Dieser Vorgang wird im zweiten Bild dargestellt.

Dividend mit Komma (einfach)[Bearbeiten]

DivKENT.jpg Was ist, wenn der Divident schon Nachkommastellen hat? In diesem Fall wird die Division, wie wir sie bisher gelernt haben, mit einer Änderung durchgeführt:
 
Wenn zur nächsten Ziffer nach dem Komma gesprungen werden muss, dann muss man erst ein Komma im Ergebnis schreiben.
 
In unserem Fall ist es nicht wenn man die Ziffer 9 im Dividend erreicht. Das Komma muss geschrieben werden, erst bevor man die nächste Ziffer nach dem Komma (hier die Ziffer 2) runter bringen muss. Erst dann schreibt man das Komma und dann macht man die Rechnung (12:3) und dann schreibt man das Ergebnis dieser Rechnung (4) nach dem Komma. Es gibt kein anderes Komma in der Zahl (also auf gar keinen Fall irgendwo ein zweites Komma schreiben).
Eine Bemerkung noch: Den letzten Rest haben wird hier mit (R) in Klammern geschrieben. Den Begriff Rest benutzt man eigentlich bei ganzzahligen Divisionen (mit Zahlen ohne Nachkommastellen)[1]. 0 ist hier der Teilrest der letzten Teildivision (12:4=3 R 0). Wenn bei einer Division mit Nachkommastellen im Ergebnis Teilrest 0 hat, kann man mit der Division aufhören. Das ist allerdings nur selten der Fall, wie wir gleich lernen werden.
  1. Der genaue Begriff ist allerdings in diesem Fall Modulo

Divisor mit Komma (einfach)[Bearbeiten]

Was ist, wenn der Divisor Nachkommastellen hat, wie zum Beispiel in 236,2875:0,5? In diesem Fall wird das Komma sowohl im Divisor als auch im Dividenden so oft nach rechts verschoben, bis der Divisor keine (notwendige) Kommastelle mehr hat. In unserem Beispiel, wenn das Komma im Divisor (0,5) ein Mal nach rechts verschoben wird, bekommt man die Zahl 5, die keine Nachkommastellen hat. Das Komma wird dann auch im Dividenden (236,2875) ein Mal nach rechts verschoben (also der neue Dividend wird 2362,875 sein). Mit diesen neuen Zahlen kann man die Division ganz normal fortführen, wie im Bild am Rand. Der Prozess ist also:

DivKOR1.jpg
  • Komma in Divisor verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Komma genauso oft (hier einmal) im Divident verschieben:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Was ist, wenn der Dividend keine Nachkommastellen hat, beispielsweise 205:0,04?

In diesem Fall denkt man, dass ein Komma am Ende des Dividenden steht, und schreibt so viele Nullen wie notwendig nach dem Komma: 205=205,00 (allerdings gilt auch 205=205,00000 und so weiter). Dann wird der Vorgang wie vorher durchgeführt:

DivKOR2.jpg
  • Komma im Divisor verschieben:
  • Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Ein letztes Beispiel: 205:0,0004. Hier muss man das Komma sogar viermal verschieben:

DivKOR3.jpg
  • Komma im Divisor verschieben: \ →
  • Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:
  • Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (mit Null Rest)[Bearbeiten]

Was ist, wenn die Division nicht genau aufgeht. wie zum Beispiel in 935:4?
DivEKNP2.jpg In diesem Beispiel ist es klar, dass ein Rest geben wird. Die Division kann man aber doch weiter fortsetzen, wie wir bei Zahlen mit Nachkommastellen schon gelernt haben. In diesem Beispiel können wir 935 als Zahl mit Nachkommastellen schreiben (freilich alle Nullen), wie wir schon gelernt haben: 935=935,00... Dann führen wir die Division in der gewöhnlichen Weise durch (siehe Bild). Allerdings kann man in diesem Fall die Nullen im Dividenden gar nicht schreiben, wie im Bild links unten zu sehen ist. In diesem Fall werden Nullen weiter unten geschrieben, bis der Teilrest irgendwann Null wird. Vorsicht aber: Wenn der Dividend zu Ende ist und die erste Null dazu benutzt wird, muss man ein Komma im Ergebnis schreiben!
DivEKNP1.jpg   DivEKNP3.jpg Diesen Prozess (weiter Nullen schreiben) kann man auch benutzen, wenn der Dividend zwar schon Nachkommastellen hat, der Teilrest am Ende aber doch nicht Null ist. In diesem Fall schreibt man Nullen weiter, selbstverständlich ohne ein zweites Komma im Ergebnis zu schreiben!

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (periodisch)[Bearbeiten]

Kombinationen[Bearbeiten]

Hier finden wir ein paar weiterführende Beispiele zur Vertiefung der Kenntnissen.

DivEKP3.jpg

Probieren wir erst die Division 3706,1:0,00007. Wenn der Divisor ein Komma hat (wie hier 0,00007), dann muss man das Komma sowohl im Divisor also auch im Dividenden so oft nach rechts verstellen, bis der Divisor keine Nachkommastellen mehr hat. Falls der Dividend dann nicht genügende Nachkommastellen hat, werden sie mit Nullen nachgefüllt. Daher ist 3706,1:0,00007 gleich so viel wie 370610000:7

3706,1:0,00007=370610000:7

Letztere Division führen wir auch im Bild durch. Wir fangen dann mit dem Hauptvorgang (in verkürzter Darstellung) an. Da die erste Stelle des Dividenden (3) kleiner als der Divisor ist, kann man weitere Ziffer des Dividenden benutzen (also 37), weil Nullen am Anfang des Ergebnisses (und nur dort) keine Rolle spielen. Diese zwei Stellen wurden mit Hellblau markiert. Da, wo die rote Stelle und der rote rechts-Pfeil im Bild ist, kann man weitere Nullen einführen, nachdem erst ein Komma im Ergebnis geschrieben wird (roter nach-oben-Pfeil und Komma im Ergebnis). Mit Lila (um dem Teildividenden 30) wird darauf aufmerksam gemacht, dass das Ergebnis doch periodisch ist (also der Teildividend 30 und alle andere Teildividenten, die nach ihm kommen, in der gleichen Reihe immer wiederholt vorkommen). Die Periode, wie im Ergebnis wieder mit Lila notiert, ist die Zifferfolge 428591.

Da man aber die Periode im Ergebnis erst nach dem Komma notiert wird, schreibt man nicht

(falsch), sondern

(richtig).

Im vorherigen Beispiel haben wir eine Division durch 11 gesehen. Da bestand die Periode aus zwei Ziffern (27). Im letzten Beispiel (Division durch 7) bestand die Periode aus sechs Ziffern (914285). Bei einer anderer Division (durch 4), gab es wieder keine Periode. Es kann also eine Periode geben oder nicht, und sie kann lang oder kurz sein. Im folgenden Beispiel (938:23) haben wir die Periode nicht mal angegeben, da sie schon aus 22 Ziffern(!) besteht. Es gibt einen Beweis dafür, dass wenn der Divisor und der Dividend ganze Zahlen sind (oder sein können), immer eine Periode entsteht (also eine wiederholte Reihenfolge von Ziffern nach dem Komma) oder ein Teilrest Null (also die Division kann aufhören). Diese Periode kann sehr lang sein, es gibt sie aber in diesem Fall immer.

Im folgenden Beispiel lernen wir allerdings auch dazu genauer, wie man die Division durchführt, wenn der Divisor größer als 10 ist. Wir haben schon eine solche Division gesehen, aber noch nicht erklärt, wie das funktioniert.

DivEKP6.jpg

Grundsätzlich gibt es hier nichts Neues. Man soll wieder die Grundschritten durchführen:

Ziffer runter (ganz links anfangen)
÷ was runter Steht durch den Divisor dividieren ("wie oft der Divisor in den Teildividenden hineinpasst")
× das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren.

Nun aber werden diese Schritte irgendwo am Rand durchgeführt und jeweils unter dem Teildividenden das Ergebnis der Subtraktion am Ende geschrieben.

Schritt Ziffer runter: Weil die erste Ziffer im Dividend (9) kleiner als der Divisor (23) ist, nehmen wir am Anfang die ersten zwei Ziffer des Dividenden (93)
Schritt ÷ dividieren: 23 passt in 93 viermal hinein (das kann man allerdings bei größeren Zahlen nur raten und ausprobieren). Wie erste Ziffer des Ergebnisses wird daher 4 sein.
Schritt × multiplizieren: Die letzte Ziffer des Ergebnisse (4) wird mit dem Divisor multipliziert: 4×23=92.
Schritt subtrahieren: Das Ergebnis der Multiplikation (92) wird aus dem vorläufigen Teildividenden (93) subtrahiert (93−92=1). Allein das Ergebnis der Subtraktion (hier 1) wird dann unter den Teildividenden geschrieben. Im Bild haben wir allerdings die zwei letzten Schritten am Rand links zusammengefasst (93−4×23=1).

Diese Schritte werden dann wiederholt, bis man irgendwann die Periode entdeckt. Hier haben wir allerdings schon ziemlich bald aufgehört (wie schon erwähnt, ist die Periode in diesem Beispiel sehr lang...).

DivEKP4.jpg
DivEKP9.jpg

Im folgenden Beispiel ist der Divisor wieder größer als 10, wir haben aber hier die Teilschritte des Hauptvorgangs (↓ ÷ × −) nicht am Rand geschrieben. Die Division lautet 4,52:1,3, man soll also erst das Komma verschieben: 4,52:1,3=45,2:13. Letztere Division wird im Bild gezeigt. Wieder muss man mit zwei Ziffern anfangen. Sofort nach der ersten Ziffer im Ergebnis muss man ein Komma schreiben (roter Pfeil). Und wieder gibt es eine Periode (wenn der Teildividend 100 wiederholt wird), die Ziffernfolge 769230. Die Periode besteht hier (wie bei der Division durch 7 am Anfang dieses Teilkapitels) aus sechs Ziffern. Also . Hier ist zu beachten, dass nicht alle Ziffern nach dem Komma die Periode sind! Die Periode fängt in diesem Fall erst nach der ersten Nachkommastelle an.

Wenn allerdings die Division 0,0452:13 durchgeführt wird, muss man im Ergebnis schon mit Null und Komma anfangen (Bild links)! Der Rest des Vorgangs bleibt unverändert. Vorsicht aber: in diesem Fall (wenn Komma schon am Anfang steht), darf man Nullen nicht auslassen! Die Periode allerdings fängt in diesem Fall noch weitere Stellen nach dem Komma an: .

DivEKP5.jpg
DivEKP7.jpg

Bei der Division 330,103:11 (links) finden wir noch ein paar Neuigkeiten. Die Periode besteht zwar wieder aus zwei Ziffern wie in der vorherigen Division durch 11, diesmal sind es aber die Ziffern 36 (und nicht 27). Es gibt in dieser Division einige Nullen dazwischen, die man selbstverständlich NICHT auslassen darf und dazu ein Komma unter diesen Nullen.

Bei der Division 391,204:11 (rechts) stellt man fest, dass die Division durch 11 sogar auch genau ausgehen kann (das stimmt ja für alle Divisoren, die ganzzahlig, also ohne Komma, sind). Wenn der Teilrest Null ist, ist der Vorgang fertig. Wann die Division durch bestimmte Zahlen genau aufgeht, lernt man im Kapitel über Teilbarkeit.

DivEKP8.jpg

Im letzten Beispiel können wir sehen, dass die Periode auch nur eine Ziffer sein kann (hier 6). In diesem Beispiel fängt die Periode wieder erst an der dritten Nachkommastelle an. Man schreibt:

Textaufgaben zu den Grundrechenarten[Bearbeiten]

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Mit den Grundrechenarten kann man auch Textaufgaben bilden. Bei diesen Aufgaben ist in der Regel die Bedeutung der Wörter nicht so wichtig, wie der Aufbau des Satzes:

  • Dividieren Sie die Differenz von 125 und 20 mit der Summe von 4 und 3.

Schauen wir mal, wie der Satz aufgebaut ist. Erst steht, dass man dividieren muss (also durch machen). Was muss man aber dividieren? Was steht nach dem Wort dividieren? Die Zahlen 125 und 20? NEIN! Nach dem Wort dividieren (durch machen) steht das Wort Differenz! Man muss also erst eine Differenz berechnen! Welche Differenz? Die Differenz von 125 und 20(was nach dem Wort Differenz steht)! Das steht ja auch da! Die Differenz (Minus) von 125 und 20 ist 125−20=105. Diese Differenz muss man durch irgendwas dividieren. Ist das durch 4, durch 3 oder doch was anderes? Doch was anderes! Die Differenz muss man mit der Summe (Plus machen) dividieren. Man muss also erst eine Summe berechnen, die Summe von 4 und 3 (was nach dem Wort Summe steht), 4+3=7. Man soll also die Differenz (105) durch die Summe (7) dividieren:

105:7=15. 15 ist also die Antwort zur Aufgabe!

Vorrang der Rechenarten[Bearbeiten]

Grundrechenartenvorrang[Bearbeiten]

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Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

:

  • Wenn man von links nach rechts liest, dann: also Ergebnis 7.
  • Wenn man von rechts nach links liest, dann: also Ergebnis 15.

Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:

In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.

Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?

Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis:

Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation:

und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis:

Es gilt auch:

  • Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis:
  • Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis:

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:

und

Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:

und

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!

Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:

Hier ist das Ergebnis doch

...und hier ist das Ergebnis wieder .


Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:

Klammer vor Punkt vor Strich.

(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)

Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:

Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:

    In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
    und dann die Strichrechnung in Klammer
    Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen
 
    Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:

Hier muss man erst die Punktrechnungen machen


Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:

KvPvS1.jpg
KvPvS2.jpg
KvPvS3.jpg
KvPvS4.jpg
KvPvS5.jpg
KvPvS6.jpg
KvPvS7.jpg
Animation
Alle Schritte kompakt dargestellt:
   


Bruchrechnungen[Bearbeiten]

Was ist ein Bruch[Bearbeiten]

Bruch:       


Es gilt:      (Ein Bruch ist wie eine Division)

Unterschied: Ein Bruch ist eine Zahl. Eine Division ist eine Rechenart zwischen zwei Zahlen.

Echter Bruch: Wenn der Nenner größer als der Zähler ist:

Unechter Bruch: Wenn der Zähler größer als der Nenner ist:

Gleichnamige Brüche: Brüche, die den gleichen Nenner haben (z.B. ,   )

Gemischte Zahlen[Bearbeiten]

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Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch:  

Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln[Bearbeiten]

Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, multipliziert man die natürliche Zahl mit dem Nenner des Bruches und addiert das Ergebnis zum Zähler. Das neue Ergebnis ist dann der Zähler des neuen Bruches, der Nenner bleibt der gleiche:

Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln[Bearbeiten]

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler mit dem Nenner (ohne Nachkommastellen). Das Ergebnis der Division ist der „Zahlteil“ der gemischten Zahl, der Rest ist der Zähler des „Bruchteils“, der Nenner bleibt der gleiche:

Bruchgemisch1.jpg     (siehe Division)

Folgendes Beispiel setzt die Anwendung eines Taschenrechners voraus:

Eintausend-achthundert-fünfundneunzig Dreiundzwanzigstel sind so viel wie zweiundachtzig Ganzen und neun Zwanzigstel.

Das Ergebnis der Division 1895:23 mit dem Taschenrechner ist 82 Komma einige Nachkommastellen. Dieses Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird die ganze Zahl in der gemischte Zahl sein. Das Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird dann mit den Nenner (hier 23) multipliziert: 82·23=1886. Dieses Produkt (1886) wird dann vom Zähler (1895) subtrahiert: 1895-1886=9. Diese Differenz (9) stellt den neuen Zähler in der gemischten Zahl dar, der Nenner bleibt unverändert (23).


Erweitern und Kürzen[Bearbeiten]

Erweitern[Bearbeiten]

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Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

Bruchkürzen[Bearbeiten]

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Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens[Bearbeiten]

 
StrichrechnungBruch 02.jpg
 
7
2
 
 
 
 
StrichrechnungBruch 04.jpg 5
Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches . Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in (waagerecht) sondern auch in (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher des Ganzen. Die dunkle Region () beinhaltet allerdings solche "Quadrate" also . Man folgt daraus, dass ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier ) multipliziert: . Diesen Prozess nennt man erweitern.


StrichrechnungBruch 05.jpg   StrichrechnungBruch 03.jpg   Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in Zeilen und Spalten also insgesamt in kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist solche Teile, also . Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region Spalten davon ist also . In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier ) dividiert: . Diesen Prozess nennt man kürzen.


Strich und Punkt Bruchrechnungen[Bearbeiten]

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Strichbruchrechnungen[Bearbeiten]

Wenn man zwei Brüche addiert oder subtrahiert, dann muss man auf den Nenner aufpassen:

Brüche mit gleichem Nenner:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern (blaue Pfeile) und entsprechend für den zweiten Bruch (rote Pfeile)!

Bruchstrich1.jpg

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.


Erklärung der Strichbruchrechnungen[Bearbeiten]
BruchStrichGlNen.svg

Wenn man den gleichen Nenner hat, ist es leicht mit einer Figur zu verstehen, warum die angegebene Regel gilt. Man kann sehen:

wenn zwei Schokoladentafeln in 7 geteilt werden und von einer Schokoladentafel 3 Teile (drei Siebtel) und von der anderen 2 Teile (zwei Siebtel) genommen werden, hat man insgesamt 5 Teile (also fünf Siebtel).


Was ist aber, wenn man nicht den gleichen Nenner hat, wie z.B. mit    ?

Wie kann man das zeigen, dass das Ergebnis    sein soll?

Einfach! Man teilt die erste Figur auch in 7 Teilen und die zweite in 5:

Jedes kleines Quadrat in den neuen Figuren ist    des Ganzen. Wir haben in beiden Figuren 5·7=35 kleine Quadrate. Wie man sehen kann, sind die    gleich so viel wie    und die    gleich so viel wie    . Da wir jetzt gleichnamigen Brüchen haben, kann man die Zähler addieren:

Punktbruchrechnungen[Bearbeiten]

Bei einer Multiplikation zwischen zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner (Oben mal Oben, Unten mal Unten):

Bei der Division von zwei Brüchen multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweitens Bruches:

   ( ist der Kehrwert von  )

Hier spielt der Nenner keine Rolle (im Gegenteil zu den Strichrechnungen).

Erklärung der Punktbruchrechnungen[Bearbeiten]

Primfaktorzerlegung[Bearbeiten]

Was sind Primzahlen[Bearbeiten]

Primzahlen sind die natürlichen Zahlen (Zahlen ohne Komma und Minus), die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. (teilbar: dividieren, ohne dass eine Kommazahl entsteht)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
geht
auch
durch
2 2
3
2
4
3 2
5
2
3
4
6
Prim-
zahl
 ✔   ✔  ✘   ✔   ✘   ✔   ✘   ✘   ✘   ✔   ✘   ✔

Z.B.:

2 ist nur durch 2 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

3 ist nur durch 3 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

4 ist nur durch 4 und 1, aber auch durch 2 teilbar und daher keine Primzahl.

5 ist nur durch 5 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

6 ist nur durch 6 und 1, aber auch durch 2 und 3 teilbar und daher keine Primzahl.

usw.


Was bedeutet in diesen Sätzen "teilbar"? Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division kein Nachkommastellen enthält.

Nehmen wir die Zahl 5.

 

Dividiert man 5 durch jede größere natürlich Zahl (also: 6,7,8…), erhält man als Ergebnis eine Kommazahl kleiner als 1 (also Null-Komma-irgendwas). Beispielsweise:

Teilbar ist die Zahl 5 also nur durch eins (5:1=5) und sich selbst (5:5=1). Da bei unserem Beispiel alle anderen Ergebnisse ein Komma enthalten ist die Zahl 5 eine Primzahl.

Für 6 hingegen ist das nicht der Fall. 6 ist selbstverständlich durch 1 und 6 teilbar, aber eben auch durch 2 (6:2=3) und durch 3 (6:3=2). Daher ist 6 KEINE Primzahl.


Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...

Faktor ist ein Teil einer Multiplikation.

Primfaktorzerlegung (PFZ) bedeutet daher, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken (die dann Faktoren sind; Primzahlen die auch Faktoren sind, nennt man Primfaktoren; wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat man die PFZ).

Primfaktorzerlegung Vorgangsweise[Bearbeiten]

Nehmen wir die Zahl 7800. Wir versuchen sie durch die Primzahlen der Reihe nach und soweit es jedes Mal geht zu dividieren. Die erste Primzahl ist 2 7800 : 2 = 3900. Geht es weiter durch 2? Ja! 3900 : 2 = 1950. Geht es noch weiter? Ja! 1950:2=975. Weiter durch 2 geht es aber nicht.

Probieren wir dann durch 3. Geht es? Ja! 975:3=325. Geht es weiter durch 3? Nein! (325:3 = 108,33

Probieren wir die nächste Primzahl: 325:5=65. Das geht nochmal: 65:5=13.

Die nächsten Primzahlen sind 7 und 11, da geht es nicht. Es geht wieder durch 13 13:13=1.

Hier sind wir fertig. Wir haben 7800 drei mal durch 2, ein mal durch 3, zwei mal durch 5 und ein mal durch 13 dividiert und dann war das Ergebnis 1. Es gilt daher: 7800:2:2:2:3:5:5:13=1 und umgekehrt (Gegenrechnung) 7800=2·2·2·3·5·5·13.

Schreibweise[Bearbeiten]

Den ganzen Prozess Schritt zum Schritt kann man so darstellen:

7800   
 
 
 
 
 
 
 
7800     2
3900   
 
 
 
 
 
 
7800     2
3900     2
1950   
 
 
 
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     
 
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     
 
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     5
13     
 
7800     2
3900     2
1950     2
975     3
325     5
65     5
13     13
1   

Teilbarkeit[Bearbeiten]

Für die Teilbarkeit durch 11 gibt es eine Regel: wenn die Differenz der alternierenden Summe der Ziffer einer Zahl 0 oder durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 11 teilbar. Beispiel: 981607. Man nimmt die Summe der ersten, der dritten und der fünften (alternierend) Ziffer 9+1+0= 10 und die Summe der zweiten, der vierten und der sechsten (alternierend) Ziffer 8+6+7=21. Die Differenz der beiden Summen ist 21-10=11, was durch 11 teilbar ist. Daher ist auch 981607 durch 11 teilbar!



Schluss und Prozentrechnung[Bearbeiten]

Direkte Proportionalität[Bearbeiten]

Indirekte Proportionalität[Bearbeiten]

Arbeiten mit Termen[Bearbeiten]

Gegenrechnungen[Bearbeiten]

Zahlendarstellungen[Bearbeiten]

Einheiten[Bearbeiten]

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten]

Dreieckskonstruktionen Einführung[Bearbeiten]

Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

Konventionen

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a[1].

  1. Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).

SSS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SSS-1.svg
01-Dreieck-SSS-2.svg
01-Dreieck-SSS-3.svg
01-Dreieck-SSS-4.svg
01-Dreieck-SSS-5.svg
01-Dreieck-SSS-6.svg
01-Dreieck-SSS-7.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SSS.gif

SWS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SWS-1.svg
01-Dreieck-SWS-2.svg
01-Dreieck-SWS-3.svg
01-Dreieck-SWS-4.svg
01-Dreieck-SWS-5.svg
01-Dreieck-SWS-6.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SWS.gif

SSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SSW-1.svg
01-Dreieck-SSW-2.svg
01-Dreieck-SSW-3.svg
01-Dreieck-SSW-4.svg
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01-Dreieck-SSW-7.svg
01-Dreieck-SSW-8.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SSW.gif

WSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-WSW-1.svg
01-Dreieck-WSW-2.svg
01-Dreieck-WSW-3.svg
01-Dreieck-WSW-4.svg
01-Dreieck-WSW-5.svg
01-Dreieck-WSW-6.svg
01-Dreieck-WSW-7.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-WSW.gif


Herzlichem Dank an Petrus3743, der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen


Geometrie[Bearbeiten]

Definitionen der ebenen Geometrie[Bearbeiten]

Grundbegriffe der Geometrie[Bearbeiten]

Strecke[Bearbeiten]
Strecke Definition
Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Z.B von den beiden gezeichneten Möglichkeiten zwischen A und B im Bild "Strecken Definition", welche ist die kürzeste?
Gerade und Strahl[Bearbeiten]
Gerade und Strahl
Wenn ich eine Strecke auf einer Seite unendlich lang verlängere, dann habe ich einen Strahl. Wenn ich das an beiden Seiten tue, dann hab ich eine Gerade.
Winkel[Bearbeiten]
Winkel Darstellung
Zwischen zwei Strahlen, die vom gleichen Punkt ausgehen, entsteht ein Winkel. Mit einem Winkel misst man eine Drehung.
Rechter Winkel[Bearbeiten]
vier rechte Winkel
Wenn sich zwei Geraden einander so schneiden, dass vier gleichen Winkel entstehen, dann ist jeder von diesen Winkeln ein rechter Winkel.
Parallelen[Bearbeiten]
zwei Parallele Geraden
Wenn zwei Geraden so nebeneinander liegen, dass sie nie einander schneiden und immer den Gleichen Abstand haben, dann sind sie parallel zueinander.
Punkt[Bearbeiten]

Um alle Begriffe bisher zu definieren, haben wir den Punkt gebraucht. Was ist aber wieder ein Punkt? Diese ist die schwerste Definition. Wenn man beispielsweise den Abstand zwischen Wien und Linz berechnen will, muss man einen Ort in jeder Stadt wählen, sonst kann der Abstand bis 15km mehr oder weniger sein! Dieser Ort könnte z.B. eine Säule in der Mitte von jeder Stadt sein. Für so einen großen Abstand reicht eine Säule schon. Sie ist sozusagen ein Punkt.

Wenn man aber die Säule selber messen will, geht es nicht mehr. Man nimmt dann zwei winzigen Flächen am Rand der Säule. Je kleiner das Objekt ist, das wir messen wollen, desto kleiner muss der „Punkt“ sein.

Im idealen Fall ist der Punkt gar nichts, hat selber keine Länge, keine Breite und keine Höhe! So kann man sich einen Punkt vorstellen und so wird er auch definiert.

Eckpunkt[Bearbeiten]
Seite und Diagonale[Bearbeiten]

Die Seiten einer ebenen Figur sind die Abgrenzungen der Figur vom Rest der Ebene. Im folgenden Bild eines Quadrats werden alle seine Seiten mit a bezeichnet, im Bild des Rechtecks werden zwei Seiten mit a und zwei mit b bezeichnet. Eine Seite verbindet zwei Punkte die nacheinander liegen. Die Diagonale verbindet hingegen zwei gegenüberliegenden Eckpunkte, die sich nicht am Rand der gleichen Seite befinden. Ein Quadrat und ein Rechteck haben jeweils zwei Diagonalen, die gleich lang sind, in einem Parallelogramm hingegen sind sie nicht gleich lang.

Figuren[Bearbeiten]

Quadrat[Bearbeiten]
Quadrat

Ein Quadrat ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Seiten als auch deren Winkel gleich zu einander sind. Formeln: u=4a, A=a² (u ist der Umfang, a die Seite, A die Fläche). Mit d ist hier die sogenannte Diagonale gezeigt (verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte).

Rechteck[Bearbeiten]
Rechteck

Ein Rechteck ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Winkel gleich zueinander sind und deren gegenüberliegenden Seiten auch gleich sind. Formeln: u=2a+2b oder u=2(a+b), A=a·b. Mit d ist wieder die Diagonale bezeichnet, mit a und b die Seiten (in der Figur ist a für die Länge, also die längere Seite und b für die Breite, also die kürzere Seite).

Parallelogramm[Bearbeiten]
Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist eine viereckige geschlossene Figur, deren gegenüberliegenden Seiten gleich sind. Daher sind sie auch parallel. Formeln: u=2a+2b oder u=2(a+b), A=a·ha oder A=b·hb. In der Figur ist ha die Höhe zur Seite a und hb die Höhe zur Seite b. Mit d wird eine der beiden Diagonalen bezeichnet (hier die kürzeste).

Raute (Rhombus)[Bearbeiten]
Rhobus

Eine Raute ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Seiten gleich sind. Daher sind auch alle Winkeln gleich. Formeln: u=4a, A=. Mit e und f sind die beiden Diagonale bezeichnet, mit a die Seite.

Trapez[Bearbeiten]
Trapez

Ein Trapez ist eine viereckige geschlossene Figur mit zwei gegenüberliegenden parallele Seiten. Formeln: u=a+b+c+d, . Mit a, b, c und d werden die vier (nicht unbedingt gleichen) Seiten bezeichnet, mit h die Höhe auf die Basis (Basis ist nicht nur beim Trapez, sondern bei jeder Figur die untere Seite, beim Trapez im Bild hier die Seite a, also die Seite die im Bild unten steht). In der Figur sieht man auch die Diagonalen (ohne Symbol).

Deltoid[Bearbeiten]
Deltoid1

Ein Deltoid ist eine viereckige geschlossene Figur mit zwei Paaren nacheinander liegenden gleichen Seiten.

Vieleck (regelmäßiges)[Bearbeiten]
Siebeneck

Ein Vieleck ist eine Figur mit mehreren Winkeln. Wenn die Figur geschlossen ist und alle Seiten (und Winkel) gleich zueinander, dann ist das Vieleck regelmäßig. Im Bild sieht man ein regelmäßiges Siebeneck, die Seite ist hier mit s bezeichnet.

Fragen zu Figuren[Bearbeiten]

Ist jedes Rechteck ein Parallelogramm? Umgekehrt?

Ist jede Raute ein Quadrat? Umgekehrt?

Ist jedes Trapez ein Parallelogramm? Umgekehrt?

Ist jedes Quadrat auch ein Rechteck? Umgekehrt?

Dreieck, Besondere Dreiecke[Bearbeiten]

Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur mit drei Winkel. Ist einer Winkel mehr als 90°, dann heißt das Dreieck stumpfwinkeliges, wenn alle Winkel kleiner als 90° sind, dann spitzwinkeliges.

Bei allen Dreiecken gilt für den Umfang: u=a+b+c, wobei a, b und c die Symbole für die Seiten sind. Die allgemeinen Formeln für die Fläche sind  , wobei ha, hb und hc die Höhen zu den entsprechenden Seiten sind (im Bild nicht zu sehen).

Ist einer der Winkeln 90°, dann wird das Dreieck rechtwinkelig genannt. Die Formel für die Fläche ist in diesem Fall  , wobei hier a und b die kleineren Seiten sind (Katheten genannt). Die größte Seite (dem rechten Winkel gegenüber) nennt man Hypotenuse.

Sind zwei der drei Winkel (und auch zwei Seiten) gleich, dann nennt man das Dreieck gleichschenklig. Sind alle Winkel (und Seiten) gleich, dann ist es ein gleichseitiges Dreieck (mit Seite a). Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks gilt:  .

Anwendung der Formeln[Bearbeiten]

Variablen in der Geometrie[Bearbeiten]

Bei allen Formeln gibt es sogenannten „Variablen“. Es geht in der Regel um ein Buchstabe, der für irgendwas steht. Hier schreiben wir, wofür diese Symbole in der Geometrie stehen.

  • Ein großes A, steht in der Regel für die Fläche (genauer für den Flächeninhalt)
  • Ein u steht i.d.R. für den Umfang (also wie lang das Rum-herum der Figur ist)
  • a, b, c usw. stehen i.d.R. für die Seiten (auch Länge oder Breite) von Figuren
  • h (oder H) steht i.d.R. für die Höhe einer Figur. Oft gibt es dann ein Index, z.B. hb, was dann bedeutet, dass diese die Höhe für die Seite b ist.
  • r (oder R) steht i.d.R. für den Radius eines Kreises.
  • d steht bei einem Kreis für den Durchmesser des Kreises, bei einem Parallelogramm (oder Rechteck, Quadrat, Trapez, Vieleck) aber für die Diagonale!
  • Griechische kleine Buchstaben (α, β, γ, δ, ε, θ, φ) stehen i.d.R. für Winkel.
  • Allerdings ist mit dem griechischen Buchstabe π die Kreiszahl bezeichnet (π≈3,1415...).

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie[Bearbeiten]

Zur Aufgabensammlung Weitere Links und Videos

Zum YouTube Erklärungsvideo

Zur Aufgabe
Gelöstes Beispiel Frage stellen!

Bei einer Aufgabe sind immer gewisse Informationen gegeben, z.B.:

  • Ein Zimmer ist 4m lang und 2,8m breit. Finden Sie seinen Umfang und seine Fläche heraus!

In solchen Problemen soll man die gegebenen Zahlen in die Formel sinnvoll einsetzen. Das bedeutet, dass man die Buchstaben in der Formel durch Zahlen ersetzt. In diesem Beispiel sucht man in einer Formelsammlung das Rechteck (da ein Zimmer die Form eines Rechtecks hat).

Rechteck

In der Figur, die man in der Formelsammlung finden kann, kann man sehen, dass mit a die Länge und mit b die Breite bezeichnet wird. In der Formelsammlung kann man auch die Formel für den Umfang finden:

u=2a+2b

Die Länge a ist gegeben: 4m. Die Breite b auch: 2,8m. Wenn nichts zwischen einer Zahl und einer Variable steht (hier z.B. 2a), dann ist mal gemeint (2 mal a). Man schreibt also an der Stelle von a und b die Zahlen 4 und 2,8:

, da wie m mit m addiert haben)

In der Spalte für die Fläche steht beim Rechteck:

A=a·b   also

, da wie m mit m multipliziert haben)

Man soll auch auf die Einheiten aufpassen:

Der Umfang ist eine Strecke, also er wird in Streckeneinheiten gemessen (hier m), die Fläche hingegen in Flächeneinheiten (hier in m²).

Andererseites kann es sein, dass eine Größe in verschiedenen Einheiten gegeben wird, z.B.:

  • Die Länge eines Rechtecks ist 5dm und seine Breite 32cm. Finden Sie seinen Umfang und seine Fläche heraus!

Das Einsetzen von Werten in einer Formel setzt voraus, dass die Einheiten übereinstimmen. Man muss z.B. überall in der Formel Werte in Stunden haben und nicht irgendwo Stunden, an einer anderen Stelle Minuten usw. Hier muss man den Wert einer der beiden Seiten umwandeln, z.B.:

32cm=32:10 dm = 3,2 dm

Jetzt sind beide Seiten (Länge und Breite) in dm und es kann weiter berechnet werden:

u=2a+2b und A=a·b

Die Länge a ist gegeben: a=5dm. Die Breite b haben wir jetzt auch in dm umgerechet: b=3,2dm:

, da wie hier dm mit dm addiert haben)      und

,da wie hier dm mit dm multipliziert haben)

Hätten wir die Einheiten (die 32cm) nicht umgewandelt, hätten wir Probleme mit dem Einheit am Ende oder sogar ein völlig falsche Antwort:

  • Bei der Multiplikation hätten wir:
FALSCH! Wenn man hier dm² oder cm² als Einheit schreibt, ist das Ergebnis völlig falsch, die Einheit, die wir schreiben hätten sollen, wäre dm⋅cm, das wäre zwar richtig, aber diese Einheit wird für die Fläche nie benutzt.
  • Bei der Addition hätten wir:
FALSCH! Hier ist sogar der Wert völlig falsch! Der richtige Wert, wie wir gesehen haben, ist 16,4 dm (oder 164 cm). Man kann nicht dm und cm addieren oder subtrahieren, genauso wie man nicht dm und kg addieren kann! Addieren (oder subtrahieren) kann man nur Sachen, die genau die gleichen Einheiten haben!


Nicht nur bei Multiplikation oder Addition müssen die Einheiten übereinstimmen, sondern auch bei Division und allen anderen Rechenarten. Bei Multiplikation und Addition haben wir das Beispiel gerade eben gesehen (Fläche und Umfang des Rechtecks am letzten Beispiel). Ein Beispiel für Division, ist wenn man die Fläche eines Rechtecks durch seine Länge dividiert, um die Breite zu berechnen. Wenn die Fläche 6cm² und die Länge 30mm, dann kann man NICHT die Division so durchführen:  , da 6 in cm gegeben ist und 30 in mm. Man soll zuerst z.B. die mm in cm umwandeln (30mm=3cm) und dann die Division durchführen:   (das sind dann cm, da wir cm² durch cm dividiert haben und man die Hochzahl und dann kann man die Einheiten kürzen:  .


Wir können also schreiben:

   Bei Rechnungen müssen die Einheiten immer übereinstimmen!   


Bei einer Rechnung (oder Gleichung) muss man immer erst kontrollieren, ob die Einheiten übereinstimmen, dann die Einheiten, die nicht übereinstimmen, in übereinstimmenden Einheiten umwandeln und erst am Ende die Rechnung durchführen! Das gilt immer (auch bei der Schluss-und Prozentrechnung)!


In Physik benutzt man sogar Einheitssysteme, das ist aber für dieses Buch ein fortgeschrittenes Thema.

Grundbegriffe der Raumgeometrie[Bearbeiten]

Dimension[Bearbeiten]

Wir haben schon in der Geometrie der Ebene den Begriff der Strecke als auch verschiedene Figuren auf einer ebenen Fläche (z.B. Quadrat, Kreis, Dreieck, Rechteck) kennengelernt. Für eine Strecke braucht man nur die Länge angeben (z.B. 2,4dm), dann hat man sie vollständig beschrieben. Alle Strecken mit dieser Länge sind die gleiche Sache (man sagt in Mathematik: Sie sind Kongruent).

Verschiedene Rechtecke
mit gleicher Länge
und anderer Breite

Bei einem Rechteck hingegen reicht die Länge nicht aus. Es gibt unendlich viele Rechtecke mit der gleichen Länge und eine andere Breite. Diese Rechtecke sind nicht mehr die gleiche Sache. Sie haben auch einen anderen Flächeninhalt. Sie sind nicht kongruent. Man braucht daher bei Flächen zwei Zahlen, die Abstände beschreiben, beim Rechteck ist das die Länge und die Breite.

Quader mit Raumdiagonale d

Wenn man jetzt eine Figur im Raum betrachtet, z.B. einen Quader, dann reichen die Länge und die Breite wieder nicht aus. Da braucht man noch einen Abstand, die Höhe. Wenn die Höhe anders ist, dann ist auch das Volumen anders.

Die Anzahl der Abstandswerte, die man braucht, um eine Figur vollständig zu beschreiben, nennt man Dimension.[1]

Eine Strecke ist eine eindimensionale Figur: Allein ein Abstand (die Länge), reicht aus, um sie zu beschreiben. Ein Rechteck (und alle ebene Figuren) ist eine zweidimensionale Figur: Man braucht zwei Abstände (Länge und Breite), um sie zu beschreiben. Ein Quader (und alle Figuren, die Raum besetzen) ist eine dreidimensionale Figur: Man braucht drei Abstände (Länge, Breite und Höhe), um sie zu beschreiben. In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet.

Obwohl wir Menschen uns nicht mehrere Dimensionen vorstellen können, gibt es in der Physik theoretische Modelle, die noch mehrere Dimensionen haben. Beispielsweise setzt die allgemeine Relativitätstheorie die Zeit als eine weitere Dimension des sogenannten Zeitraums voraus! Die Stringtheorie kann sogar 11 Dimensionen voraussetzen!

  1. Allerdings wird in der Physik nicht nur der Abstand, sondern auch andere Größen als Dimensionsgrundlagen benutzt, z.B. ist in der Relativitätstheorie die Zeit eine vierte Dimension der sogenannten Raumzeit

Körper[Bearbeiten]

Ein Gegenstand in der Geometrie wird Körper genannt, wenn für seine Beschreibung drei Abstände notwendig und hinreichend sind.

Notwendig bedeutet, dass weniger Abstände nicht genügend sind, um den Körper zu beschreiben. Man kann nicht einen Quader nur mit Länge und Breite vollständig beschreiben.

Hinreichend bedeutet, dass man nicht mehrere Abstände oder eine andere Dimension für die Beschreibung braucht. Wenn die Länge, die Breite und die Höhe des Quaders gegeben sind, braucht man nicht auch die Raumdiagonale angeben (sie wird schon von den anderen drei Abständen bestimmt).

Jede dreidimensionale Figur ist ein (geometrischer) Körper. In diesem Text wird auch das Wort „Raumfigur“ dafür benutzt.

Kante[Bearbeiten]

Im Kapitel über die Geometrie der Ebene haben wir den Begriff der Seite einer ebenen Fläche gesehen. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich, bei einem Rechteck gibt es eine Länge und eine Breite. Die Strecken am Rand einer ebene Figur wurden also Seiten genannt.

Die Strecken am Rand eine Raumfigur werden aber doch Kanten genannt. Das Wort „Seite“ wäre in diesem Fall verwirrend: man wüsste dann nicht, ob mit „Seite“ die Seitenfläche oder die Seitenstrecke gemeint ist. Daher benutzt man das Wort „Kante“ für die Strecken. In unserem Bild eines Quaders wird die Länge mit a, die Breite mit b und die Höhe mit c bezeichnet. a,b und c sind daher Kanten des Quaders. Es gibt in diesem Bild 4 Kanten, die so lang wie a sind, 4 Kanten, die so lang wie b sind, und 4 Kanten, die so lang wie c sind.

Für die ebenen Flächen, die die Figur begrenzen, benutzt man die Worte „Grundfläche“, „Seitenfläche“ und „Deckfläche“. Es gibt selbstverständlich auch Raumfiguren, die von keinen ebenen Flächen begrenzt werden, wie beispielsweise die Kugel.

Ecke und Raumdiagonale[Bearbeiten]

Cuboid abcd.svg
Den Punkt, wo drei Grenzflächen aufeinander treffen, nennt man Ecke (Eckpunkt). Die Strecke zwischen zwei Eckpunkten, die nicht auf der gleichen Grenzfläche liegen, nennt man Raumdiagonale (mit d im Bild des Quaders bezeichnet).

Oberfläche[Bearbeiten]

Grundfläche[Bearbeiten]
Pyramide

Grundfläche ist die Fläche, die im Bild unten (am Grund) steht. Bei Figuren deren Grenzflächen alle die gleiche Form haben (wie z.B. in einem Quader, wo alle Grenzflächen Rechtecke sind), kann jede beliebige Fläche der Figur als Grundfläche benutzt werden.

Wenn es eine Grenzfläche gibt, die sich von den anderen unterscheidet (wie z.B. bei der Pyramide in unserem Bild: alle Flächen außer einer sind Dreiecke), dann wird i.d.R. diese Fläche als Grundfläche bezeichnet.

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann kann ihr gegenüber nur ein Punkt oder eine ganze Fläche stehen. Wenn ihr gegenüber eine ganze Fläche steht, dann nennt man diese Fläche Deckfläche (da sie an der „Decke“ ist). Die Deckfläche kann auch rund sein. Wenn der Grundfläche gegenüber nur ein Punkt liegt (wie in der Pyramide am Bild), dann nennt man diesen Punkt Spitze.

Seitenfläche und Mantel[Bearbeiten]

Wenn es eine Grundfläche gibt, dann nennt man jede der restlichen Flächen Seitenfläche (außer der Deckfläche, wenn es eine gibt). Alle Seitenflächen zusammen nennt man Mantel. Der Mantel kann allerdings auch aus runden und nicht nur ebenen Flächen bestehen, wie z.B. in einem Zylinder (der auch eine Deckfläche hat, die ebenfalls ein Kreis ist) oder einem Kegel (der keine Deckfläche hat, dafür eine Spitze).

Körpernetz[Bearbeiten]

Wenn man die Grenzflächen eines Körpers abwickelt, so dass eine (komplizierte) ebene Figur entsteht, dann nennt man diese ebene Figur Körpernetz (oder einfach Netz). Das ist immer möglich, wenn die Grenzflächen ebene Figuren sind, allerdings nicht immer, wenn die Grenzflächen rund sind. Das ist möglich bei einem Quader, einem Zylinder oder einem Kegel aber nicht möglich bei einer Kugel oder einem Torus.

Gerade und schiefe Körper[Bearbeiten]

Wenn es bei einem Körper eine Grundfläche gibt, dann gibt es gegenüber entweder eine Fläche oder einen Punkt. Wenn der gegenüberliegende Punkt oder der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche direkt oberhalb (also senkrecht nach oben) vom Mittelpunkt der Grundfläche liegen, dann sagt man, dass der Körper gerade ist, sonst dass er schief ist.

Raumfiguren[Bearbeiten]

Würfel[Bearbeiten]

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 6 kongruente („gleiche“) Quadrate besteht, nennt man Würfel.

Formeln

Mit wird die Länge der Kante bezeichnet.

Volumen:

Oberfläche:

Kantensumme:

Raumdiagonale(rot im Bild):

Flächendiagonale(grün im Bild):

Quader[Bearbeiten]

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, deren Grenzfläche aus 3 Paare paarweise kongruente („gleiche“) gegenüberliegende Rechtecke besteht, nennt man Quader.

Formeln

Mit wird hier die Länge, mit die Breite und mit die Höhe bezeichnet (wie im Bild).

Volumen:

Oberfläche:

Kantensumme:

Raumdiagonale:

Flächendiagonalen: ,  ,  

Diagramme[Bearbeiten]