MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Klasse 5

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THEORIE

Klassen

Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Berechnen Sie das Produkt aus 6 und 7, reduzieren Sie die Zahl 39 um 48 und addieren Sie die zwei Ergebnisse!

Dividieren Sie die Summe von 7 und 33 durch die Differenz von 19 und 15!

Berechnen Sie das 8-fache von 7 und Subtrahieren Sie das Ergebnis aus der Zahl 23 um 15 erhöht!

Multiplizieren Sie den Quotient aus 91 und 7 mit der Zahl 26 auf 13 geteilt!

Antwort

33

10

-18

26

Doppelbrüche

$\frac{\frac{4}{3} - 1}{\frac{5}{4} - 1}$

Antwort

$1 \frac{1}{3}$

Bruchrechnungen und Vorrang

$\frac{16}{77} : (\frac{3}{5} - 1 \frac{17}{28} : 2 \frac{1}{4}) - 1 \frac{1}{11} \cdot \frac{5}{4}$

Antwort

$- \frac{35}{11}$

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

In einem Staat mit ca. 9,702 Millionen EinwohnerInnen und 13,2 Milliarden € Vermögen haben 99 Menschen

\frac{4}{15}

des Vermögens ("Multimillionäre"), noch 2640 Menschen

\frac{10}{33}

des Vermögens ("Millionäre"), noch 3,528 Millionen Menschen

\frac{4}{11}

des Vermögens (Mittelschicht) und die restlichen Menschen den Rest des Vermögens ("der Rest").

Wie viel Geld besitzt jede Gruppe?

Welcher Anteil der Bevölkerung (als gekürzte Bruch) gehört zu jeder Gruppe? Vergleichen Sie diese Daten mit Daten aus ihrem eigenen Staat!

Antwort

\frac{1}{98000} der Menschen 3, 52 Milliarden €

\frac{1}{3675} der Menschen 4 Milliarden €

\frac{4}{11} der Menschen 4, 8 Milliarden €

fast \frac{7}{11} der Menschen 880 Millionen €

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

$\frac{6552}{4410} =$

$\frac{2184}{5544} =$

$\frac{56056}{32760} =$

Antwort

$\frac{52}{35}$
$\frac{13}{33}$
$\frac{77}{45}$

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

$2 \frac{9}{28} + \frac{11}{63} - 1 \frac{5}{24}$

Antwort

$\frac{649}{504}$

Vorsilben und Gleitkommadarstellung

In den folgenden Beispielen finden Sie die unbekannte Hochzahl (x).

A) 37 MW = 0,0037 · 10^x cW

B) 4,3 nm = 0,000043 · 10^x dm

C) 0,0334 THz = 33400 · 10^x μHz

D) 0,88 μHz = 8800000 · 10^x GHz

E) 67000 dm³ = 0,0067 · 10^x km³

F) 3300 cm² = 0,033 · 10^x m²

Antwort

A) 12 B) −3
C) 11 D) -22
E) −5 F) -2

Zahlenmengen

border="1" style="text-align:center; background: gray; color: black; padding: 1em; font-size: 95%; margin: 1em "	$ℕ$	$ℤ$	$ℚ$	$𝕀$	$ℝ$
$\frac{0,5}{\sqrt{0,0625}}$
$- \frac{38}{3}$
$- \frac{52}{1,3}$
$\frac{\sqrt{169}}{13}$
$\frac{\sqrt{- 9}}{13}$
$28$
$- \sqrt{(- 25) (- 4)}$
$\sqrt{18}$

Antwort

	$ℕ$	$ℤ$	$ℚ$	$𝕀$	$ℝ$
$\frac{0,5}{\sqrt{0,0625}}$	✔	✔	✔	✘	✔
$- \frac{38}{3}$	✘	✘	✔	✘	✔
$- \frac{52}{1,3}$	✘	✔	✔	✘	✔
$\frac{\sqrt{169}}{13}$	✔	✔	✔	✘	✔
$\frac{\sqrt{- 9}}{13}$	✘	✘	✘	✘	✘
$28$	✔	✔	✔	✘	✔
$- \sqrt{(- 25) (- 4)}$	✘	✔	✔	✘	✔
$\sqrt{18}$	✘	✘	✘	✔	✔

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

$3^{- 5} \cdot 3^{6}$

$b^{- 2 t} \cdot b^{- 5 t}$
Antwort

$3$
$b^{- 7 t}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

$\frac{b^{- 3}}{b^{- 5}}$

$\frac{w^{- b}}{w^{- 12}}$
Antwort

$b^{2}$
$w^{12 - b}$

Potenzen Erklärung

Warum ist $s^{- 1} = \frac{1}{s}$ ?
Antwort

hier klicken!

Potenzen mit negativer Hochzahl

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf!

$\frac{3}{r^{2 r - 4}} =$

$\frac{11 b^{4 - 5 w}}{b^{3 w}} =$

$5 \cdot \frac{1}{5^{z}} =$
Antwort

$3 \cdot r^{4 - 2 r}$
$11 \cdot b^{4 - 8 w}$
$5^{1 - z}$

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

Vereinfachen Sie!

${(m^{\frac{50}{3}})}^{\frac{9}{10}}$

${\sqrt[15]{u^{- 6}}}^{5}$

${({(m^{\frac{5}{4}})}^{6} \cdot \sqrt[11]{m^{6}} \cdot m^{- 8})}^{33}$

$\frac{\sqrt[4]{(k^{\frac{7}{3}})^{12}}}{\frac{k^{4}}{k^{- 3}}}$
Antwort

$m^{15}$

$u^{- 2} (= \frac{1}{u^{2}})$

$b^{\frac{3}{2}} (= \sqrt{m^{3}})$

$1$

Aufgaben mit einer Klammer

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit einer Klammer

Antwort

Nicht vorhanden

Herausheben

Aufgaben mit 2 Klammern

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit 2 Klammern

Antwort

Nicht vorhanden

Herausheben

Faktorisieren Sie, so weit es mit natürlichen Zahlen geht:

$18 b^{4} y^{3} n^{4} - 12 y^{7} n^{6} - 30 b^{8} y^{1} 0 n^{5} + 6 y^{3} n^{4}$

Antwort

$6 y^{3} n^{4} (3 b^{4} - 2 y^{4} n^{2} - 5 b^{8} y^{7} n + 1)$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Umformen Grundwissen Gegenrechnungenn

Antwort

$c = - 2603$
$k = 91$
$f = 28$
$x = - 4834$

$m = \frac{493}{29} = 17$
$w = 17 \frac{11}{17} \approx 17,65$

Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um!

$7 (3 z + 2) = 9 z - 10$

Antwort

$z = - 2$

Komplexe Umformungen

\sqrt{p} + c_{L} \cdot \frac{m \cdot v^{2}}{2 \cdot k_{B} \cdot T} - \frac{t - s}{w - z} = 2, 2

Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, k_B, c_L um!

Antwort

z = w - \frac{(t - s) \cdot 2 \cdot k_{B} \cdot T}{\sqrt{p} \cdot 2 \cdot k_{B} \cdot T + c_{L} \cdot m \cdot v^{2} - 4,4 \cdot k_{B} \cdot T}

m = (2, 2 - \sqrt{p} + \frac{t - s}{w - z}) \cdot \frac{2 \cdot k_{B} \cdot T}{c_{L} \cdot v^{2}}

v = \sqrt{(2, 2 - \sqrt{p} + \frac{t - s}{w - z}) \cdot \frac{2 \cdot k_{B} \cdot T}{c_{L} \cdot m}}

T = \frac{w - z}{(2, 2 \cdot (w - z) - \sqrt{p} \cdot (w - z) + t - s)} \cdot \frac{2 \cdot k_{B}}{v^{2} \cdot c_{L} \cdot m}

p = {(2, 2 - c_{L} \cdot \frac{m \cdot v^{2}}{2 \cdot k_{B} \cdot T} + \frac{t - s}{w - z})}^{2}

t = (\sqrt{p} + c_{L} \cdot \frac{m \cdot v^{2}}{2 \cdot k_{B} \cdot T} - 2, 2) \cdot w - z + s

s = t - (\sqrt{p} + c_{L} \cdot \frac{m \cdot v^{2}}{2 \cdot k_{B} \cdot T} - 2, 2) \cdot w - z

k_{B} = \frac{w - z}{(2, 2 \cdot (w - z) - \sqrt{p} \cdot (w - z) + t - s)} \cdot \frac{2 \cdot T}{v^{2} \cdot c_{L} \cdot m}

c_{L} = (2, 2 - \sqrt{p} + \frac{t - s}{w - z}) \cdot \frac{2 \cdot k_{B} \cdot T}{m \cdot v^{2}}

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

An einem Wohnblock gibt es 18 Wohnungen, manche haben 20 und der Rest 15 Steckdosen. Insgesamt haben sie 315 Steckdosen. Wie viele Wohnungen mit 15 bzw 20 Steckdosen gibt es?

Antwort

$9 W mit 15 S. 9 W.mit 20 S.$

Einsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit

Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

$| \begin{matrix} x + y = 3 \\ - 3 x + 5 y = 31 \end{matrix} |$

Antwort

$(- 2 | 5)$

Gleichsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit

Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens:

$| \begin{matrix} x + y = - 1 \\ - 3 x + 2 y = 23 \end{matrix} |$

Antwort

$(- 5 | 4)$

Additionsverfahren

Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit

Hilfe des Eliminationsverfahrens:

$| \begin{matrix} 2 m - 4 c = 8 \\ 3 m + 5 c = 1 \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} 3 k - 2 g = - 11 \\ - 2 k + 5 g = 11 \end{matrix} |$

Antwort

$(2 | - 1)$
$(- 3 | 1)$

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

$| \begin{matrix} 3 x + 2 y = 8 \\ 4,5 x + 3 y = 8 \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} 15 x - 9 y = 3 \\ x - 0,2 = 0,6 y \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} - 2 x + 2 y = 11 \\ 3 x + 5 y = 24 \end{matrix} |$

Antwort

Keine Lösung
$\infty$ Lösungen
Eine Lösung

Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

$| \begin{matrix} 3 x + 2 y = 8 \\ 4,5 x + 3 y = 8 \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} 15 x - 9 y = 3 \\ x - 0,2 = 0,6 y \end{matrix} |$

$| \begin{matrix} - 2 x + 2 y = 11 \\ 3 x + 5 y = 24 \end{matrix} |$

Antwort

Nicht lösbar
Lösbar
Lösbar

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung?
Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms die entsprechende lineare Funktion! Welche sind die Einheiten von y, x und der Steigung?

Antwort

$y = - \frac{17 x}{30} + 85$
x: Zig./Tag, y: Jahre, S: Jahre mal Tag/Zig.

Darstellungen der linearen Funktion

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Darstellungen der linearen Funktion04

Antwort

$b x - y - 5 = 0, (\binom{x}{y}) = (\binom{1}{b}) t + (\binom{0}{- 5})$
$y = \frac{2}{q} x - \frac{w}{q}, (\binom{x}{y}) = (\binom{q}{2}) t + (\binom{0}{- \frac{w}{q}})$
$y = - \frac{q x}{2} + \frac{3 q}{2} + 4, q x + y - 3 q - 4 = 0$
$9 0^{\circ}$ (normal)

Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion g(x) (gestrichelt),
drei quadratische Funktionen c(x), d(x) und e(x)
(zwei Kurven c und e nach oben und eine Kurve d nach
unten) und zwei lineare Funktionen h(x) und f(x)
(Gerade f nach unten rechts und Gerade h nach
oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab:

Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion.
Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion.
Die Lösungen der Gleischungssysteme,
die aus folgenden Funktionen bestehen:

i) h und f

ii) g und d

iii) c und f

iv)e und h

v) g und f

vi) c und d

Antwort

f:{1,6}, h:{6}, g:{−2,6; 2,2; 4,5}, e:{}, c:{1,1; 6}, d{−2,2; 6}.
f:{2,5}, g:{2,5}, h:{−4}, e:{0,6}, c:{2}, d{1,2}.
i) {(3|−2)}
ii) {(−2,6|−0,5), (1,2|1,6), (4,6|0,8)}
iii) {(3|−2), (−1|4)}iv){}
v) {(0|2,5), (3|−2), (3,6|−3)}
vi) {(0,3|1,4), (6|0)}

Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen
$g (x) = \frac{14 - 3 x}{7}$ $f (x) = \sqrt{5} - π x$ $q (x) = - 0,0625 x^{2} + 1$
$p (x) = 5 x^{2} - 2,5 x h (x) = - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion!
Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab!
Finden Sie, ob der Punkt P:(1| $\sqrt{5} - π$ )

zu mancher der Funktionen gehört!

Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab!
Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme

i) g und f, ii) h und q, iii) p und g

Antwort

g:{ $\frac{108}{3}$ }, f:{ $\frac{\sqrt{5}}{π}$ }, q{0; 1,6}, p:{±0,75}, h:{}.
g:{2}, f:{ $\sqrt{5}$ }, q:{1}, p:{0}, h{−2}.
ja nur für f
g: s= $- \frac{3}{7}$ f: s= $- π$
i) { $(\frac{7 (\sqrt{5} - 2)}{7 π - 3} | \frac{14 π - 3 \sqrt{5}}{7 π - 3})$ }ii) { }
iii) { $(\frac{\sqrt{8681} + 29}{140} | \frac{1873 - 3 \sqrt{8681}}{980})$ , $(\frac{- \sqrt{8681} + 29}{140} | \frac{1873 + 3 \sqrt{8681}}{980})$ }

Die quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen:

$4 y^{2} + 4 y + 1 = 0$

$- 5 k^{2} - 7 k + 6 = 0$

$- p^{2} - 25 = 0$
Antwort

$y = \frac{1}{2}$
$k_{1} = \frac{3}{5} k_{2} = - 2$
$𝕃 = \emptyset$

Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Finden Sie die Umkehrfunktion:

$n (y) = \tan (\sqrt[5]{y} - 5) + π$
Antwort

$y (n) = (\arctan (n - π) + 5)^{5}$

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten

Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!

Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
e=5 cm und m=1 dm sind?

Antwort

$\sin ε = \frac{e}{m} = \frac{1}{2} \cos ε = \frac{f}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan ε = \frac{e}{f} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a)

7 π r a d

, B)

\frac{7 π}{6} r a d

, C)

1,5 r a d

, D)

\frac{7}{9 π} r a d

, E)

420 r a d

Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A)

1 5^{\circ}

, B)

0, 8^{\circ}

, C)

7 π^{\circ}

, D)

{\frac{430}{7 π}}^{\circ}

, E)

56 0^{\circ}

Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A)

9 0^{\circ}

, B)

18 0^{\circ}

, C)

1 r a d

, D)

7,6 r a d

, E)

73 0^{\circ}

Antwort

A)

126 0^{\circ},

B)

21 0^{\circ},

C)

c a . 85, 9^{\circ},

D)

c a . 14, 2^{\circ},

E)

c a . 2410 0^{\circ}

A)

\frac{π}{12} r a d,

B)

\frac{π}{225} r a d,

C)

\frac{7 π^{2}}{360} r a d,

D)

\frac{43}{252} r a d,

E)

\frac{14 π}{9} r a d

A) 1.Q

B) zwischen 2. und 3. Q

C) 1.Q

D) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

Berechnen sie die Diagonale $d_{2}$ des

abgebildeten Deltoids, wenn die Seite $a = 4,8 c m$ , die Diagonale $d_{1} = 7,6 c m$
und der Winkel zwischen $a$ und $b ∠ a b = 12 9^{\circ}$ sind.

Antwort

$d_{2} \approx 3,53 c m$

Vermessungsaufgaben

Vom Gipfel eines 2411 m hohen Berges wird der Abstand
zwischen zwei Türmen in einem Tal gemessen,
die sich beide auf einer Höhe von 356 m befinden.
Zum ersten Turm wird der Tiefenwinkel

α = 3 7^{\circ}

gemessen
und nach Schwenken des Messgerätes um den Horizontalwinkel

γ = 6 9^{\circ}

zum anderen Turm wird dieser unter dem Tiefenwinkel

β = 4 3^{\circ}

gesehen. Wie viel ist der Abstand zwischen den Türmen?
Machen Sie eine saubere Skizze für die Berechnung!

Antwort

d \approx 2826 m

Vektorrechnungen

Der Vektor $\vec{a}$ ist der Vektor vom Punkt D
zum Punkt G. Berechnen Sie:

$3 \vec{a} - 2 \vec{u}$
$| a |$ und den Betrag des Vektors u
$3 \vec{a} \cdot 2 \vec{u}$
Den Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{u}$
Die Länge des Vektors $\vec{c} = 3 {\vec{v}}_{1} - 2 \vec{a}$ (genau und gerundet)
Die Steigung der tragende Gerade des Vektors $\vec{a}$
Zerlegen Sie den Vektor $\vec{a}$ zu seinen Komponenten

Antwort

$(\binom{- 16}{- 1})$
$| a | = 5, | u | = 2 \sqrt{5}$
$24$
$79,7 0^{\circ}$
$\sqrt{409} \approx 20,3$
$0,75$
$a_{x} = - 4, a_{y} = - 3$

Die quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen:

$4 y^{2} + 4 y + 1 = 0$

$- 5 k^{2} - 7 k + 6 = 0$

$- p^{2} - 25 = 0$
Antwort

$y = \frac{1}{2}$
$k_{1} = \frac{3}{5} k_{2} = - 2$
$𝕃 = \emptyset$

Quadratische Gleichung Textaufgaben

Ein PKW fährt von Belgrad ins 311 km entfernte Sarajevo.
Nachdem er 235 km zurückgelegt hat, begegnet
ihm ein LKW, der 69 Minuten später von Sarajevo nach
Belgrad abgefahren ist und in der Stunde 20 km
weniger zurücklegt als der PKW.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit des PKWs.
Nach wie viel Zeit treffen die Wagen einander?

Antwort

$v_{1} \approx 32,5 oder 125,8$
$t_{1} \approx 7,23 oder 1,87 h$

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