Lineare Funktion und Regression

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)


  • y in Abhängigkeit von x
  • Punkt (x|y), also erst x und dann y.

Lineare Funktion, also Gerade.




f(x) oder y ist die y-Achse (das y), x die x-Achse (das x).

d (bzw. n oder oder was auch immer nicht mit x multipliziert wird) ist der "Anfangswert", also der Wert der Funktion (y-Wert) da, wo x Null ist (y-Achsenabschnitt). Die Einheiten von d sind die Einheiten des y-Achse.

k (bzw. m oder s oder was auch immer mit x multipliziert wird) ist die Steigung der lineare Funktion. Wenn die Gerade eine Verbindung zwischen zwei Punkte in einem Liniendiagramm darstellt, dann sprechen wir von einer mittlere Änderungsrate. Die Steigung (z.B. k) ist positiv, wenn die Funktion nach oben geht, negativ wenn sie nach unten geht und Null wenn sie parallel zur x.Achse ist. y=d (z.B. y=4) bedeutet, dass die Steigung gleich Null ist, also die Gerade ist parallel zur x-Achse. Es gilt:

Die Einheiten der Steigung sind daher y-Einheiten pro eine x-Einheit.
Ausdruck: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ändert sich (wächst, zunimmt usw. oder fällt, abnimmt usw.) um (y-Einheiten pro EINE x-Einheit) →→ Steigung

Für die Funktion selber können wir beliebige Symbole benutzen, z.B.:

In diesem Beispiel steht A(h) als Ausdruck für die Abhängigkeit, also A (wofür in der Angabe A steht) in Abhängigkeit von h (wofür in der Angabe h steht). A(h) ist daher hier das y, h steht für das x. Mit h (also das Symbol für die x-Achse) wird hier d multipliziert, also ist d hier doch die Steigung. m wird zu diesem Produkt addiert, daher ist es der y-Achsenabschnitt ("Anfangswert").

In einem Punkt schreiben wir erst x und dann y (x|y). Um herauszufinden, ob drei oder mehrere Punkte zu einer und derselben Gerade gehören, können wir ggf. Tabellenkalkulation benutzen. Tabellenkalkulation benutzen wir bei der Regression.

Die lineare Funktion kommt oft als Regressionsgerade vor. Der Korrelationskoeffizient (mit r angegeben) ist NICHT mit der Steigung zu verwechseln. Im ersten Bild sind die Punkte weit entfernt von der Gerade, im zweiten fast auf der Gerade, also im zweiten Fall ist der Koeffizient fast 1 (in diesem Fall allerdings −1, da fallend), im ersten Bild hingegen zwischen 0 und 1, aber näher zu 0,5. Bei starkem Zusammenhang ist das r nah zu 1, wenn die Gerade steigend ist und nah zu −1, wenn sie fallend ist.
Ausdruck: Der lineare Zusammenhang zwischen (was auch immer auf den beiden Achsen steht) ist schwach (falls r nah zu 0) bzw. stark (im Gegenfall, also nah zu 1 für steigende und −1 für fallende Gerade).
In Geogebra als r abzulesen, wenn man die Statistik (Symbol rechts oben im Diagramm) abruft, dafür ist die Gerade nicht notwendig.

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Lineare Funktion[Bearbeiten]

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Mittlere Änderungsrate[Bearbeiten]

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Regression[Bearbeiten]

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Lineare Gleichungssysteme[Bearbeiten]

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