Binomialverteilung

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
• σ→ Standardabweichung

Merkmale:

• Zwei mögliche Ergebnisse bei einem Versuch (z.B. schwarz oder nicht schwarz, ein Gegenstand oder eine Person hat eine Eigenschaft oder hat sie nicht)
• Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch bleibt konstant

Eingabe in geogebra:

• n: Gesamtanzahl der Versuche (Personen, Geräte oder was auch immer)
• p: Wahrscheinlichkeit (Prozentsatz) bei einem Versuch (oder Wahrscheinlichkeit von einem Merkmal). Das ist ein Wert zwischen 0 und 1

$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}:$ Wahrscheinlichkeit, dass unter n Wiederholungen (Versuche, Personen usw.) das Merkmal k mal vorkommt

VORSICHT: zwei Fälle unterscheiden:

• („Sonder“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Ein Teilanzahl T davon hat eine Eigenschaft (z.B. Schwarz) der Rest (A minus T) nicht. Wir ziehen dann mit Zurücklegen c mal. In diesem Fall ist das c die gesamte Anzahl der Versuche und NICHT das A. Das A wird benutzt um die Wahrscheinlichkeit p bei einmal Ziehen zu berechnen, nämlich T/A (T durch A), z.B. schwarze Kugeln durch gesamte Kugeln.
• („Normal“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Diesmal ist kein Teilanzahl von diesen A Gegenständen gegeben, die eine Eigenschaft haben, sondern eine Wahrscheinlichkeit p, dass sie diese Eigenschaft haben. Dann ist hier doch n=A die Gesamtanzahl und p ganz normal das p.

μ und σ liest man oben links ab!

• $\mu =n\cdot p$
• $\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)\ }}$

k liest man oben rechts (und weiter darunter), da liest man auch die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass das angegebene Merkmal k von n mal vorkommt:
$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Wenn es um mindestens bzw. höchstens geht, dann kommt in dieser Formel das Symbol ∑ vor:
$P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}$

höchstens a: P ( 0 ≤ X ≤ a) =
Null links, a rechts von X!

weniger als a: P ( 0 ≤ X ≤ a−1) =
Null links, a−1 rechts von X!

mindestens a: P ( a ≤ X ≤ n) =
a links, n rechts von X!

mehr als a: P ( a+1 ≤ X ≤ n) =
a+1 links, n rechts von X!

mindestens a und höchstens b: P ( a ≤ X ≤ b) =
a links, b rechts von X!

Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit bei mehreren Versuchen (Personen usw.) also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben)

Ausdrücke

• $\mu =n\cdot p:$ (Erwartungswert) So viele (was p ausdrückt) sind im Mittel/durchschnittlich erwartet, wenn wir n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) haben.
• $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}:$ Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{n-k}(1-p)^{k}:$ AUFPASSEN! Hier ist das k als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}:$ Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
• $P(min\leq k\leq max)=\sum _{i=min}^{max}{\binom {n}{i}}p^{n-i}(1-p)^{i}:$ AUFPASSEN! Hier ist das i als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)

SELBSTVERSTÄNDLICH kann es sein, dass an der Stelle von p oder/und (1-p) eine Zahl zwischen 0 und 1 (also die entsprechende Wahrscheinlichkeit) steht.

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