Mittelwerte und Standardabweichung

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)


Mittelwerte Arithmetisches Mittel (Durchschnitt):
Erwartungswert ist etwas wie der Durchschnitt

Zentralwert (Median): Den Median mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.


Modalwert(e) oder Modus (die Modi). Der Modus von mehreren Werten ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Wenn einer oder mehrerer Werte häufiger vorkommen, dann muss man bei der Berechnung des Durchschnitts den Wert mit der jeweiligen Häufigkeit multiplizieren und die Produkte addieren, wie in folgenden Beispiel mit Diagramm:

Saulediag.png
Bananen pro Packung Anzahl der Packungen Gesamte Bananen in diesen Packungen
0 4 0⋅4= 0
1 2 1⋅2= 2
2 3 2⋅3= 6
3 0 3⋅0= 0
4 5 4⋅5= 20
5 1 5⋅1= 5
4+2+3+0+5+1= 0+2+6+0+20+5=
Summe 15 Packungen 33 Bananen

Es gibt also 33 Bananen in 15 Packungen. Der Durchschnitt ist daher:   B/P (Bananen pro Packung) im Durchschnitt.

In der Tabelle sind die Werte schon eingeordnet. Wir haben insgesamt 15 Werte (7+1+7), der Median wird daher der 8. Wert sein. Die erste 4 Werte sind '0', die nächsten 2 sind '1', die nächsten 3 sind '2'. 4+2+3 sind schon 9 Werte, der 8. Wert ist zwischen 7. und 9., also '2'.

Bei manchen Aufgaben ist es günstiger, Geogebra zu benutzen.

Standardabweichung

Die Standardabweichung zeigt, wie "breit" um den Durchschnitt sich die Werte verteilen. Formel:

Wenn wir also ein Formel in einem entsprechenden Thema sehen, die eine Wurzel von einer Summe beinhaltet, dann soll es die Standardabweichung sein, wie z.B.:

Schauen wir mal, was hier so steht. In jeder Klammer unterhalb der Wurzel steht minus 21,93. Das ist der Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel, oft auch einfach Mittelwert genannt).In der ersten Klammer steht davor die Zahl 5 und in der Klammer die Zahl 18. Das bedeutet, dass der Wert 18 5 mal vorkommt. Also, was vor jeder Klammer steht, ist die Häufigkeit des Wertes, der im Klammer steht (im Klammer steht allerdings, wie schon erwähnt, der Durchschnitt, der wird subtrahiert). Jede Klammer wird quadriert. Wenn das nicht der Fall ist, ist die Formel falsch. Was im Nenner steht, ist die gesamte Anzahl der Werte (manchmal um 1 reduziert). Tatsächlich, wenn wir in diesem Beispiel die Zahlen vor den Klammern addieren, bekommen wir

Wenn wir keinen Nenner haben, dann steht vor jeder Klammer die entsprechende Wahrscheinlichkeit (des Wertes in der Klammer, der halt nicht der Durchschnitt ist):

Hier ist der Durchschnitt 19,75, die Wahrscheinlichkeiten sind 20% für 18, 10% für 23, 15% für 21, 50% für 19 und 5% für 24.

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