MathemaTriX ⋅ Wiederholung

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Rechts[Bearbeiten]

Einheiten und Zahlendarstellung[Bearbeiten]

  • Grundwissen
Phys. Größe Einheiten
Zeit (t) Tag 24 h 60 min 60 s 1000 ms
Masse (m)
("Gewicht")
t 1000 kg 1000 g 1000 mg
Abstand (d, ,...)
(Strecke, ...)
km 1000 m 10 dm 10 cm 10 mm
Fläche (A) km² 1000² 10² dm² 10² cm² 10² mm²
Volumen (V) km³ 1000³ 10³ dm³ 10³ cm³ 10³ mm³
Umrechnung groß mal klein
durch


  • Zusammengesetzte Einheiten:

Jeder "Teil"-Einheit müssen wir durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzen.

Beispiel:

Rechnen wir 45 in/s in m/min um, wenn wir wissen, dass 5 Zoll (englische Längeneinheit, Symbol "in" von "inch") 127 mm sind. Jeder "Teil"-Einheit wird durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzt. Wir haben zwei "Teil"-Einheiten Zoll (in) und Sekunde (s) (für die Umrechnungen kann man notfalls auch Schlussrechnung benutzen).

5 Zoll sind 127 mm, also 0,127 m. Daher ist 1 Zoll (in):

1 Minute ist 60 Sekunde daher ist 1 s:

Wir ersetzen dann die "Teil"-Einheiten durch die "Ziel"-Einheiten:

Wenn wir mehrere Werte der gleichen physikalischen (oder sonst) Größe mit unterschiedlichen Einheiten vergleichen wollen, dann wählen wir eine Einheit und rechnen wir alle andere auf diese Einheit um.


  • Gleitkommadarstellung

In der Gleitkommadarstellung haben wir eine Zahl z zwischen 1 und (also und eine Potenz von 10. Die Zahl 340000 ist dann (Komma 5 mal nach links verschoben, "Zahl kleiner geworden" also Hochzahl +5). Die Zahl 0,00673 ist dann (Komma 3 mal nach rechts verschoben, "Zahl größer geworden" also Hochzahl -3).



  • Präfixe

Die Präfixe stehen in der Formelsammlung!


Die Präfixe im SI:[1]
Symbol Name Ursprung Wert
T Tera gr. τέρας téras = Ungeheuer /
gr. τετράκις tetrákis = viermal
1012 1.000.000.000.000 Billion
G Giga gr. γίγας gígas = Riese 109 1.000.000.000 Milliarde
M Mega gr. μέγα méga = groß 106 1.000.000 Million
k Kilo gr. χίλιοι chílioi = tausend 103 1.000 Tausend
h Hekto gr. ἑκατόν hekatón = hundert 102 100 Hundert
da Deka gr. δέκα déka = zehn 101 10 Zehn
100 1 Eins
d Dezi gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter 10−1 0,1 Zehntel
c Zenti gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster 10−2 0,01 Hundertstel
m Milli lat. millesimus = tausendster 10−3 0,001 Tausendstel
µ Mikro gr. μικρός mikrós = klein 10−6 0,000 001 Millionstel
n Nano gr. νάνος nános = "Zwerg" 10−9 0,000 000 001 Milliardstel
p Piko ital. piccolo = klein 10−12 0,000 000 000 001 Billionstel



  • Zahlendarstellungen

Die gleiche Zahl kann in unterschiedlichen Darstellung auftauchen. Beispiel:

In diesen Fall rechnen wir alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und vergleichen wir die Ergebnisse.

Wenn verschiedene Ausdrücke mit einem Symbol verglichen werden müssen, ersetzen wir dieses Symbol durch eine etwas komplexer Zahl (also nicht 0 oder 1 sondern z.B. 44) und führen wir den vorherigen Schritt aus: wir rechnen alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und wir vergleichen die Ergebnisse. Beispiel:

mit vergleichen. Ersetzen wir a durch 44 und machen wir die Berechnung:

Also wir können annehmen, dass die Ausdrücke gleichwertig sind.

Das ist selbstverständlich kein genauer Weg, er macht allerdings das Leben einfacher (sonst muss man einige Regeln lernen :)).

  • Einheiten und ZahlendarstellungZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Prozentrechnung[Bearbeiten]

  • Der Wert am Anfang (Grundwert) ist 100%. Das ist der Wert, mit dem verglichen wird ("als", Genitiv oder "von"). Bei zeitlicher Reihenfolge ist das der erste Wert (außer wenn der zweite Wert der Vergleichswert ist).
  • Prozentberechnungen gehen notfalls (und am Einfachsten) mit Hilfe der Schlussrechnung. Am besten allerdings mit der Umrechnung arbeiten (siehe weiter: "Komma verschieben")
  • Prozent ist eine Zahl. Prozent bedeutet "Hundertstel".
  • Daher ist 100%=1
  • Also: von % zur Zahl Komma zwei mal links, von Zahl zu % zwei mal rechts verschieben.
  • Bei Wachstum addiert man den "Wachstumsprozent" zu 100%, bei Abnahme wird subtrahiert.

Beispiele: 0,02%=0,0002; 230=23000%; 230%=2,3 also 130% mehr als der Anfangswert; 0,8=80% also 20% weniger als der Anfangswert.

Bei einer Reihenfolge von Prozentänderungen ist das Ergebnis nicht die Summe der Prozentänderungen: Der Grundwert ist nicht der Gleiche!

Beispiel: Eine Pflanze wird 20% größer und dann noch 50% größer. Das Endergebnis ist nicht 70% größer!
Der Grundwert ist nicht der Gleiche!
Um die tatsächliche Gesamtänderung zu berechnen gehen wir so vor:



Also 80% Wachstum. Klarer wird es mit konkreten Zahlen.

  • Prozentrechnung vertiefendZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Änderungen[Bearbeiten]

Lineare funktionen3.svg

  • y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y
  • Punkt (x|y), also erst x und dann y.
  • Absolute Änderung: also nur die y-Änderung für die zwei angegebenen x-Werte. Also die x-Werte sind angegeben, die y-Werte muss man subtrahieren!
  • Relative Änderung: keine Einheiten (kann man mit Kommaverschieben als Prozentsatz angeben). Die Differenz der y-Werte durch den ersten y-Wert.
  • Mittlere Änderungsrate, auch Differenzenquotient.: Einheit: Einheiten der y-Achse pro eine Einheit der x-Achse. → Steigung der Gerade, die zwei Punkte verbindet.

Der Unterschied zwischen Änderungsrate und relativer Änderung ist daher der Nenner des Bruches.

  • Ist er einer der beiden Werte des Zählers, dann geht es (fast immer) um eine relative Änderung.
  • Ist er eine Differenz von Werten (der x-Achse), dann geht es um eine mittlere Änderungsrate (Steigung).

Die absolute Änderung hingegen ist (fast immer) kein Bruch sondern einfach eine Differenz von zwei (in der Regel y-) Werten.

Ausdrücke
  • Absolute Änderung: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was und ist) mehr/weniger geworden
  • Relative Änderung: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was und ist) um so viel Prozent mehr/weniger geworden
  • Mittlere Änderungsrate: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ist zwischen (was und ist) durchschnittlich um (y-Einheiten pro EINE x-Einheit → Steigung) mehr/weniger geworden
  • Relative ÄnderungZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil
  • Mittlere ÄnderungsrateZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Lineare Funktion und Regression[Bearbeiten]

  • y in Abhängigkeit von x
  • Punkt (x|y), also erst x und dann y.

Lineare Funktion, also Gerade.




f(x) oder y ist die y-Achse (das y), x die x-Achse (das x).

d (bzw. n oder oder was auch immer nicht mit x multipliziert wird) ist der "Anfangswert", also der Wert der Funktion (y-Wert) da, wo x Null ist (y-Achsenabschnitt). Die Einheiten von d sind die Einheiten des y-Achse.

k (bzw. m oder s oder was auch immer mit x multipliziert wird) ist die Steigung der lineare Funktion. Wenn die Gerade eine Verbindung zwischen zwei Punkte in einem Liniendiagramm darstellt, dann sprechen wir von einer mittlere Änderungsrate. Die Steigung (z.B. k) ist positiv, wenn die Funktion nach oben geht, negativ wenn sie nach unten geht und Null wenn sie parallel zur x.Achse ist. y=d (z.B. y=4) bedeutet, dass die Steigung gleich Null ist, also die Gerade ist parallel zur x-Achse. Es gilt:

Die Einheiten der Steigung sind daher y-Einheiten pro eine x-Einheit.
Ausdruck: Der/Die/Das (Begriff, was auf der y-Achse steht) ändert sich (wächst, zunimmt usw. oder fällt, abnimmt usw.) um (y-Einheiten pro EINE x-Einheit) →→ Steigung

Für die Funktion selber können wir beliebige Symbole benutzen, z.B.:

In diesem Beispiel steht A(h) als Ausdruck für die Abhängigkeit, also A (wofür in der Angabe A steht) in Abhängigkeit von h (wofür in der Angabe h steht). A(h) ist daher hier das y, h steht für das x. Mit h (also das Symbol für die x-Achse) wird hier d multipliziert, also ist d hier doch die Steigung. m wird zu diesem Produkt addiert, daher ist es der y-Achsenabschnitt ("Anfangswert").

In einem Punkt schreiben wir erst x und dann y (x|y). Um herauszufinden, ob drei oder mehrere Punkte zu einer und derselben Gerade gehören, können wir ggf. Tabellenkalkulation benutzen. Tabellenkalkulation benutzen wir bei der Regression.

Die lineare Funktion kommt oft als Regressionsgerade vor. Der Korrelationskoeffizient (mit r angegeben) ist NICHT mit der Steigung zu verwechseln. Im ersten Bild sind die Punkte weit entfernt von der Gerade, im zweiten fast auf der Gerade, also im zweiten Fall ist der Koeffizient fast 1 (in diesem Fall allerdings −1, da fallend), im ersten Bild hingegen zwischen 0 und 1, aber näher zu 0,5. Bei starkem Zusammenhang ist das r nah zu 1, wenn die Gerade steigend ist und nah zu −1, wenn sie fallend ist.
Ausdruck: Der lineare Zusammenhang zwischen (was auch immer auf den beiden Achsen steht) ist schwach (falls r nah zu 0) bzw. stark (im Gegenfall, also nah zu 1 für steigende und −1 für fallende Gerade).
In Geogebra als r abzulesen, wenn man die Statistik (Symbol rechts oben im Diagramm) abruft, dafür ist die Gerade nicht notwendig.

  • Lineare Funktion und RegressionZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Exponentialfunktion[Bearbeiten]

N(t) ist die y-Achse (das y), t die x-Achse (das x). ist der "Anfangswert", also der Wert der Funktion (y-Wert) da, wo x Null ist (y-Achsenabschnitt). Die Basis der Potenzzahl (das ist ein "Änderungsfaktor") kann man auch als "Prozentsatz" interpretieren, z.B. bedeutet, dass bei jeder Änderung der x-Achse (z.B. t Zeit in Jahren) um 1 (z.B. jährlich) bleiben (0,964=) 96,4% des vorherigen Wertes, also 3,6% (100%−96,4%) weniger.

Exp02.svg
Extra Merkmal der Exponentialfunktion: Halbwertszeit: Nach der gleichen Änderung des x-Wertes wird der Wert der Funktion (y-Wert) immer halbiert. Im Bild: Am Anfang (also an der Stelle 0) ist der Wert der Funktion , nach 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 3,5) ist N(t) =N(3,5)=4000 (also die Hälfte), nach noch 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 7) ist N(t) 2000 (also die Hälfte der Hälfte) usw.
Die Halbwertszeit kann man berechnen, indem man am Wert Funktion die Hälfte des Anfangswerts einsetzt, z.B. (2350 ist die Hälfte von 4700) oder (hier "fehlt" der Anfangswert, er ist also 1, und die Hälfte von 1 ist ja 0,5). Entsprechend für eine "Verdoppelungszeit" oder ähnliches: , usw.

Noch dazu: die Exponentialfunktion hat keine "Nullstellen": sie kommt immer näher zur x-Achse aber trifft diese nie!

  • ExponentialfunktionZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Vergleich linearer und exponentieller Funktion[Bearbeiten]

Lineare Funktion Exponentialfunktion
Formel
Im Text erkennen durch Steigung der Gerade
(in der Formel: s)
Änderungsrate
y-Einheiten PRO eine x-Einheit
Basis der Hochzahl
(in der Formel: a)
Relative Änderung
("Prozent"-Änderung)
des y-Wertes
bei Änderung des x-Wertes um 1
Änderungsrate Absolut
(genauer Wert)
Relativ
(Anteil,
Prozent, -fach)
steigend ("nach oben")
Wachstum
s>0 (positiv) a>1
fallend ("nach unten")
Abnahme
s<0 (negativ) 0<a<1
y-Achsenabschnitt
(i.d.R. "Anfangswert")
Diagramme
KorrelationA3.svg

KorrelationB1.svg
E-kurve.PNG

Exp02.svg

Funktionen allgemein[Bearbeiten]

  • y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y, bei Figuren oder so: y die Höhe und x der horizontale Abstand usw.
  • Punkt (x|y)→ x und y gegeben
    • Punkt (x|y)
    • Wert der Funktion → (y) an der Stelle → (x)
    • Nullstelle a (a ist x, y ist Null)
    • y-Achsenabschnitt b → da, wo die y-Achse abgeschnitten wird, also der Abschnitt b ist y und x wird Null sein. Auch Anfangswert (der Funktion) genannt (nicht mit dem Wert "am Anfang" in Prozentrechnung verwechseln, der ist 100%).

  • Wenn der Anfangswert (anders gesagt: der y-Achsenabschnitt) gefragt ist, dann an der Stelle von x Null einsetzen. OHNE löse!
  • Wenn eine Stelle (also x), oder was auch immer auf der x-Asche steht, gegeben ist und der Wert der Funktion, oder was auch immer auf der y-Achse steht, gefragt wird, dann an der Stelle von x diesen Wert einsetzen. OHNE löse!

  • Steigung hat zwei verwandte Bedeutungen:
    • Die 1. Ableitung, wenn wir einen Punkt haben. Andere Namen dafür: momentane Änderungsrate, tan(Winkel), Steigung der Tangende.
    • Die mittlere Änderungsrate, wenn wir zwei Punkte haben. Andere Namen dafür: Differenzenquotient, also
    • Bei einer Gerade (lineare Funktion) gibt es keinen Unterschied zwischen den beiden Bedeutungen, da ein Gerade eine konstante 1. Ableitung hat, nämlich ihre Steigung. Nur bei Geraden: 1. Ableitung=mittlere Änderungsrate

Umformen[Bearbeiten]

- Wenn der y-Wert (oder was auch immer allein auf der linken Seite einer Formel steht) gefragt wird und all der Rest gegeben ist (z.B. x-Wert gegeben), dann KEINE löse in Geogebra benutzen (sondern einfach als Taschenrechner benutzen).

löse in GeoGebra hat 3 Varianten:

  • Wenn zwei oder mehrere Sachen gefragt sind (Koeffizienten in einer Polynomfunktion oder allgemein in einer Funktion, Kombination von Eigenschaften), schreiben wir Symbole für die gefragten Sachen (für Polynomfunktionen sind es standardmäßig z.B. a,b,c,d für eine Funktion 3. Grades, muss aber nicht sein, für Textaufgaben können wir frei die Symbole wählen). Dann brauchen wir so viele Gleichungen, wie die gefragten Sachen (die mit Symbolen dargestellt werden). Wir haben in diesem Fall mehrere Symbole und so viele Gleichungen wie die Symbole. → löse mit geschweiften Klammern und Beistriche zwischen den Gleichungen benutzen!
  • Wenn der y-Wert gegeben ist, dann setzen wir diesen Wert in die Funktion für was auch immer für y da steht ein (z.B. V, H(a), wo a das x ist, f(x), also das ganze f(x) ersetzen). → löse OHNE geschweifte Klammer und OHNE Beistriche!
    • es kann auch eine Formel sein, wo das gegeben ist, was auf der linken Seite der Formel ganz allein steht, z.B. das Volumen in der Formel V=a³, wobei V gegeben und a gefragt wird.
  • Wenn wir NUR eine Gleichung haben aber mehrere Symbole, dann benutzen wir löse OHNE geschweifte Klammern, allerdings mit Beistrich. Nach dem Beistrich steht das Symbol, auf das wir die Gleichung lösen wollen (sonst weiß GeoGebra nicht, auf welches Symbol die Gleichung zu lösen ist).
  • UmformenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Kurvendiskussion Umkehraufgaben[Bearbeiten]

F ist der y-Achsenabschnitt, die Nullstelle −1,8 sehen wir (knapp) ganz links. Die Steigung der Funktion f (rot) am Punkt C bzw. an der Stelle Cx ist so viel, wie die Steigung der Tangente t (blau), also −0,9 oder auch so viel wie tan(α). Bei A und B (extrema) ist f´(x)=0

GeoGebra: Löse mit geschwungenen Klammern (und Beistriche zwischen den Gleichungen)!

  • y in Abhängigkeit von x, y in Bezug auf x, je x desto y, bei Figuren oder so: y die Höhe und x der horizontale Abstand usw.
  • Bei Kurvendiskussion Umkehraufgaben ist:
    • entweder ein Punkt gegeben:
      → Funktion selber benutzen
    • oder die Steigung (1. Ableitung):
      → 1. Ableitung benutzen


  • Punkt (x|y)→ x und y gegeben
    • Punkt (x|y)
    • Wert der Funktion → (y) an der Stelle → (x)
    • Nullstelle a (a ist x, y ist Null)
    • y-Achsenabschnitt b → da, wo die y-Achse abgeschnitten wird, also der Abschnitt b ist y und x wird Null sein. Auch Anfangswert (der Funktion) genannt (nicht mit dem Wert "am Anfang" in Prozentrechnung verwechseln, der ist 100%).
  • Steigung (Wenn 1 Punkt gegeben ist) :
    • 1. Ableitung = f´(x) (in Geogebra Funktion schreiben und das Symbol f´ benutzen)
    • "momentane Änderungsrate an der Stelle a ist c" oder
    • f´(a)=c:
      →f´(x) wird durch c ersetzt und x wird durch a (die Stelle a oder was im Klammer bei f´(a) steht) ersetzt
    • Winkel (f´(x) durch tan(Winkel) ersetzen)
    • Tangente (die Tangente t ist eine Gerade: t(x)= k⋅x+d. f´(x) durch die Steigung k dieser Gerade ersetzen)
    • knickfrei (gleiche Steigung)
    • Extrempunkt (oder Extremstelle) (und alles was „extrem“ bedeutet, also höchste, tiefste, kleinste usw.)
      → Steigung Null 0: f´(x) durch 0 ersetzen
  • Steigung (Wenn 2 Punkte gegeben sind) :
    • mittlere Änderungsrate
    • Steigung einer Gerade
    • Differenzenquotient
    • (k oder whatever Buchstabe für die Steigung der Gerade da steht)
  • Intervall → x-Achse (wenn nichts anderes gesagt wird)
  • Kurvendiskussion UmkehraufgabenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Kurvendiskussion direkte Anwendung[Bearbeiten]

Textaufgaben 1. Ableitung

Ausdrücke, die für die 1. Ableitung oft vorkommen (besonders bei der direkter Anwendung der Kurvendiskussion), sind diejenigen, die mit einer Änderungsrate zu tun haben, z.B. Geschwindigkeit in einem Weg-Zeit Diagramm. Beispiele:

  • Bei welcher (was auf die x-Achse steht) hat die Funktion ihren größten Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen, da wo die Funktion ihren größten Wert (y-Wert) hat (also an einem "Gipfel" im Diagramm). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
  • Wie viel ist der größte Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man erst die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen. Dann müssen wir diese Stelle (x-Wert) in der eigentlichen Funktion ("Anfangsfunktion") einsetzten und den y-Wert berechnen (in CAS ohne "löse"). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
  • Wir findet man den größten (bzw. kleinsten) Wert der Funktion? Hier keine GeoGebra! Man braucht "nur" die Beschreibung: " Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null und wir berechnen dadurch die Stelle, wo die Funktion ihr Extremwerten hat. Dann setzen wir diese Stelle (x-Wert) an die eigentliche Funktion ein und berechnen wir den entsprechendn Wert der Funktion (y-Wert)."
Textaufgaben 2. Ableitung

Die Ausdrücke für die 2. Ableitung sind etwas schwieriger beim Verständnis, z.B. kann gefragt werden, wo die Änderungsrate der Funktion einen Extremwert (Minimum oder Maximum) hat (an dieser Stelle ist dan die 2.Ableitung gleich NulFoll). In einem s-t (Abstand-Zeit) Diagramm ist die 2. Ableitung die Beschleunigung. Beispiel:

  • An welcher Stelle steigt die (was auch immer auf der y-Achse steht) am schnellsten (bzw. langsamsten)? 2. Ableitung gleich Null setzten und entsprechende Stelle berechnen.


Positiv oder Negativ
  • Wert der Funktion: positiv, wenn die Kurve oberhalb der x-Achse ist, negativ unterhalb und Null (Nullstelle) wenn sie die x-Achse schneidet oder berührt.
  • 1. Ableitung: positiv, wenn die Funktion "nach oben" geht, negativ "nach unten". Null bei einem "Gipfel" oder "Talsohle".
  • 2. Ableitung (nur für Nerds): positiv, wenn man auf der Kurve "fährt" und links abbiegen muss, negativ beim Rechstabbiegen (Null: "gerade fahren", in der Regel dazwischen).

Folgende Stichwörter sind in der Regel bei der Textaufgaben der direkten Anwendung der Kurvendiskussion nicht notwendig.

Stichwörter Kurvendiskussion
Anwendung der Funktion selbst
allgemein
Am Punkt
Die Funktion hat an der Stelle c () den Wert d ()
in Abhängigkeit von
in Bezug auf
je desto

x-Achsenabschnitt
Nullstellen

y-Achsenabschnitt
Die Funktion schneidet die y-Achse an ...
(oder Ähnliches)
Anwendung der ersten Ableitung
allgemein
(Wert der) Ableitung der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Tangente der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
knickfrei
(gleiche Steigung)
Tangens des Winkels zwischen Tangente der
Funktion und x-Achse
(an einem Punkt oder Stelle)
momentane Änderungsrate

Die Funktion hat einen Extrempunkt
(Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt)
Die Tangente läuft parallel zur x-Achse
(oder senkrecht zur y-Achse, oder
"steht normal" auf der y-Achse)
Der Tangens ist null
Die Funktion hat einen Sattelpunkt
Anwendung der zweiten Ableitung
allgemein
Der Wert der zweiten Ableitung
(an einem Punkt oder Stelle)

Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p
(an den Punkt )
Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p
(an den Punkt )
  • KurvendiskussionZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Integrieren[Bearbeiten]

  • Integral Fläche
  • Geogebra: Integral(Funktion ohne f(x) schreiben, )
  • Bei entsprechenden Aufgaben entsprechende Fläche schraffieren.
  • Wenn es um das Integral einer Funktion (und nicht einer Differen)z geht, dann ist das Integral dieser Funktion die Fläche zwischen Kurve und x-Achse und zwischen den Grenzen (Stellen, x-Werte), die im Integral angegeben werden. (1. Bild). sind daher hier Werte von x (Stellen) also ein Intervall [a;b] zwischen a und b auf der x-Achse, das die seitlichen (links und rechts) Grenzen des Integrals angibt. Die Funktion f(x) kann auch eine Zahl sein (!), z.B ist die Fläche zwischen der Gerade y=3 (parallel zur x-Achse) und zwischen x=a und x=b, also die Fläche eines Rechtecks im Diagramm (ähnlich wie im 2. Bild).
  • Wenn es um das Integral einer Differenz geht, dann ist das Integral dieser Differenz die Fläche zwischen den beiden Funktionen (3. Bild). Aufpassen! Wenn ein Minus zwischen zwei Sachen da steht, dann haben wir schon zwei Funktionen. Dabei kann die eine nur eine Zahl sein, z.B. oder (4. und 5. Bild).
  • Sind keine Grenzwerte angegeben, soll das sogenannte unbestimmte Integral berechnet werden (z.B. mit Geogebra), in diesem Fall steht auch eine Konstante immer dabei. Das Integral berechnet die Änderung der Größe, die durch die Fläche berechnet wird, z.B. zurückgelegte Strecke in einem v-t Diagramm (wie im Bild) und Geschwindigkeits-Änderung (und nicht die Geschwindigkeit an einem Zeitpunkt: dafür braucht man auch die Geschwindigkeit am Anfang) in einem a-t Diagramm (a: Beschleunigung).
  • IntegrierenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Mittelwerte und Standardabweichung[Bearbeiten]

Mittelwerte Arithmetisches Mittel (Durchschnitt):
Erwartungswert ist etwas wie der Durchschnitt

Zentralwert (Median): Den Median mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.


Modalwert(e) oder Modus (die Modi). Der Modus von mehreren Werten ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Wenn einer oder mehrerer Werte häufiger vorkommen, dann muss man bei der Berechnung des Durchschnitts den Wert mit der jeweiligen Häufigkeit multiplizieren und die Produkte addieren, wie in folgenden Beispiel mit Diagramm:

Saulediag.png
Bananen pro Packung Anzahl der Packungen Gesamte Bananen in diesen Packungen
0 4 0⋅4= 0
1 2 1⋅2= 2
2 3 2⋅3= 6
3 0 3⋅0= 0
4 5 4⋅5= 20
5 1 5⋅1= 5
4+2+3+0+5+1= 0+2+6+0+20+5=
Summe 15 Packungen 33 Bananen

Es gibt also 33 Bananen in 15 Packungen. Der Durchschnitt ist daher:   B/P (Bananen pro Packung) im Durchschnitt.

In der Tabelle sind die Werte schon eingeordnet. Wir haben insgesamt 15 Werte (7+1+7), der Median wird daher der 8. Wert sein. Die erste 4 Werte sind '0', die nächsten 2 sind '1', die nächsten 3 sind '2'. 4+2+3 sind schon 9 Werte, der 8. Wert ist zwischen 7. und 9., also '2'.

Bei manchen Aufgaben ist es günstiger, Geogebra zu benutzen.

  • LageparameterZur AufgabensammlungWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil
  • Mittelwerte bei einem SäulendiagrammZur AufgabensammlungWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Standardabweichung

Die Standardabweichung zeigt, wie "breit" um den Durchschnitt sich die Werte verteilen. Formel:

Wenn wir also ein Formel in einem entsprechenden Thema sehen, die eine Wurzel von einer Summe beinhaltet, dann soll es die Standardabweichung sein, wie z.B.:

Schauen wir mal, was hier so steht. In jeder Klammer unterhalb der Wurzel steht minus 21,93. Das ist der Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel, oft auch einfach Mittelwert genannt).In der ersten Klammer steht davor die Zahl 5 und in der Klammer die Zahl 18. Das bedeutet, dass der Wert 18 5 mal vorkommt. Also, was vor jeder Klammer steht, ist die Häufigkeit des Wertes, der im Klammer steht (im Klammer steht allerdings, wie schon erwähnt, der Durchschnitt, der wird subtrahiert). Jede Klammer wird quadriert. Wenn das nicht der Fall ist, ist die Formel falsch. Was im Nenner steht, ist die gesamte Anzahl der Werte (manchmal um 1 reduziert). Tatsächlich, wenn wir in diesem Beispiel die Zahlen vor den Klammern addieren, bekommen wir

Wenn wir keinen Nenner haben, dann steht vor jeder Klammer die entsprechende Wahrscheinlichkeit (des Wertes in der Klammer, der halt nicht der Durchschnitt ist):

Hier ist der Durchschnitt 19,75, die Wahrscheinlichkeiten sind 20% für 18, 10% für 23, 15% für 21, 50% für 19 und 5% für 24.

  • StreumaßenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Boxplot[Bearbeiten]

BoxplotIQ-inc.png
Die Daten sind eingeordnet. Die genauen Daten kann man nicht ablesen. Klar ist nur: die ein viertel kleinsten Werte befinden sich zwischen "Antenne" links (oder unten) und Anfang (links oder unten) des Rechtecks das sich irgendwo in der "Mitte" befindet; Diese linke (oder untere) Seite des Rechtecks ist das erste "Quartil". In diesem Rechteck und bis zur "Linie" irgendwo in seiner "Mitte" befindet sich das zweite viertel der eingeordneten Werte. Daher ist diese Linie (die nur in seltenen Fällen genau in der Mitte des Rechtecks ist) der Median (Zentralwert). Das dritte viertel befindet sich dann bis zur rechten (bzw. oberen) Seite des Rechtecks (drittes Quartil) und die größten viertel Werte sind darüber.

(Inter)Quartilabstand (IQR): Die Differenz der Werte an den Seiten des Rechtecks.

Spannweite (allgemein und nicht nur im boxplot): Maximum minus Minimum.

Möglicherweise gibt es "Ausreißer": Oft werden sie mit Hilfe des IQR definiert: ist der Wert links (einer der größten) mehr als das 1,5-fache des IQR als das dritte Quartil (rechte bzw obere Seite des Rechtecks), dann ist es ein Ausreißer.

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Binomialverteilung[Bearbeiten]

  • μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
  • σ→ Standardabweichung

Merkmale:

  • Zwei mögliche Ergebnisse bei einem Versuch (z.B. schwarz oder nicht schwarz, ein Gegenstand oder eine Person hat eine Eigenschaft oder hat sie nicht)
  • Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch bleibt konstant

Eingabe in geogebra:

  • n: Gesamtanzahl der Versuche (Personen, Geräte oder was auch immer)
  • p: Wahrscheinlichkeit (Prozentsatz) bei einem Versuch (oder Wahrscheinlichkeit von einem Merkmal). Das ist ein Wert zwischen 0 und 1

Wahrscheinlichkeit, dass unter n Wiederholungen (Versuche, Personen usw.) das Merkmal k mal vorkommt

VORSICHT: zwei Fälle unterscheiden:

  • („Sonder“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Ein Teilanzahl T davon hat eine Eigenschaft (z.B. Schwarz) der Rest (A minus T) nicht. Wir ziehen dann mit Zurücklegen c mal. In diesem Fall ist das c die gesamte Anzahl der Versuche und NICHT das A. Das A wird benutzt um die Wahrscheinlichkeit p bei einmal Ziehen zu berechnen, nämlich T/A (T durch A), z.B. schwarze Kugeln durch gesamte Kugeln.
  • („Normal“fall) Wir haben eine Anzahl A von Gegenständen. Diesmal ist kein Teilanzahl von diesen A Gegenständen gegeben, die eine Eigenschaft haben, sondern eine Wahrscheinlichkeit p, dass sie diese Eigenschaft haben. Dann ist hier doch n=A die Gesamtanzahl und p ganz normal das p.

μ und σ liest man oben links ab!

k liest man oben rechts (und weiter darunter), da liest man auch die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass das angegebene Merkmal k von n mal vorkommt:

Wenn es um mindestens bzw. höchstens geht, dann kommt in dieser Formel das Symbol ∑ vor:

höchstens a: P ( 0 ≤ X ≤ a) = A sample of the transparent rectangle.svg
Null links, a rechts von X!

weniger als a: P ( 0 ≤ X ≤ a−1) = A sample of the transparent rectangle.svg
Null links, a−1 rechts von X!

mindestens a: P ( a ≤ X ≤ n) = A sample of the transparent rectangle.svg
a links, n rechts von X!

mehr als a: P ( a+1 ≤ X ≤ n) = A sample of the transparent rectangle.svg
a+1 links, n rechts von X!

mindestens a und höchstens b: P ( a ≤ X ≤ b) = A sample of the transparent rectangle.svg
a links, b rechts von X!

Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit bei mehreren Versuchen (Personen usw.) also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben)

Ausdrücke
  • (Erwartungswert) So viele (was p ausdrückt) sind im Mittel/durchschnittlich erwartet, wenn wir n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) haben.
  • Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
  • AUFPASSEN! Hier ist das k als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass k von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
  • Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (Eigenschaft, die durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)
  • AUFPASSEN! Hier ist das i als Hochzahl bei (1-p)! Wahrscheinlichkeit, dass zwischen min und max von n (was die gesamte Anzahl n ausdrückt: Wiederholungen, Versuche, Personen usw.) die/das/der (GEGENeigenschaft von dem, was durch die Wahrscheinlichkeit von kleinem p ausgedrückt wird, schreiben)

SELBSTVERSTÄNDLICH kann es sein, dass an der Stelle von p oder/und (1-p) eine Zahl zwischen 0 und 1 (also die entsprechende Wahrscheinlichkeit) steht.

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Normalverteilung[Bearbeiten]

  • μ oder E(x)→ Erwartungswert (Durchschnitt, „wie viel ist im Mittel erwartet“, arithmetisches Mittel)
  • σ→ Standardabweichung

Merkmale:
Verteilung einer Eigenschaft, die unendlich viele Werte annehmen kann (z.B. Gewicht, Länge, Zeit usw.)

Normal01C2.svg

μ oder E(x) (Erwartungswert) ist der Wert auf der x-Achse genau in der „Mitte“ („Spitze“) des Diagramms.
Wenn f´´=0 oder das Wort „Wendepunkt“ an einem Punkt steht, dass ist der x-Wert 1 mal die Standardabweichung σ mehr als der Erwartungswert μ (rechts von μ, μ+σ) bzw. 1 mal weniger (links von μ, μ−σ).

In Geogebra kann man μ und σ eingeben!

Bei größerem μ verschiebt sich das Diagramm nach rechts, bei kleinerem nach links
Bei anderem σ wird das Diagramm „spitzer“ (kleineres σ) bzw. „flächer“ (größeres σ)
Beispiel, wenn sich σ und μ ändern

Man kann Grenzwerte a und b angeben:
P( a ≤ X ≤ b) = 0,...

Man kann auch eine von drei „Klammermöglichkeiten“ wählen: ] [] [

Aufpassen, welcher Bereich dann im Diagramm markiert ist!:

Mit der Klammer links: ] → P( X ≤ a) = p
hab ich eine Obergrenze a mit der Wahrscheinlichkeit p
(linker Bereich markiert, egal ob groß oder klein)

Mit der Klammer rechts: span style="border:solid 2px;padding:2px">[ → P( b ≤ X ) = p
hab ich eine Untergrenze b mit der Wahrscheinlichkeit p
(rechter Bereich markiert, egal ob groß oder klein)

P( a ≤ X ≤ b) = 0,...
Nach dem „=“ steht die Wahrscheinlichkeit, also eine Zahl zwischen 0 und 1 (Prozent: zwei mal Komma veschieben). Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Merkmal sich zwischen den zwei Grenzwerten a und b (x-Werte) steht (oder unterhalb oder oberhalb der Grenze bei den Klammer ] bzw. [ → achte auf den markierten Bereich!)

Mit [] kann man nicht den Prozentsatz p (mit Komma verschoben) eingeben, dafür braucht man entweder die Klammer [ oder die ]

Wenn ein symmetrisches Bereich in Frage kommt: Prozentsatz aus 100% subtrahieren und der Rest in zwei teilen. Die Grenzwerte für das Ergebnis mit den Klammern ] bzw. [ finden.
BEISPIEL
Normal distribution curve with middle shaded.jpg
68,3% symmetrisches Interval:
100%-68,3%= 31,7%
31,7%:2=15,85%
linke Klammer ] wählen, p=0.1585 angeben und unteren Grenzwert markieren
rechte Klammer [ wählen, p=0.1585 angeben und oberen Grenzwert markieren
Somit haben wir die beiden Grenzwerte.

Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein!

  • Normalverteilung bei gegebenen und Zur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Baumdiagramm[Bearbeiten]

Baumdiagramm 05 B.png

Aufpassen! Wenn der Vorgang MIT zurücklegen ist, dann kann es wohl sein, dass KEIN Baumdiagramm notwendig ist (sondern Binomialverteilung).

  • Sind die Wahrscheinlichkeiten untereinander: multiplizieren. Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Gruppe A und Rhesus positiv ist:
    P(A+)=0,31⋅0,82
  • Gibt es mehrere "Pfade" nebeneinander: die entsprechenden Produkte addieren! Beispiel: Wahrscheinlichkeit das eine Person Rhesus positiv ist:
    P(Rhesus +)=0,31⋅0,82+0,14⋅0,8+0,43⋅0,82+0,12⋅0,82
  • Die Summe der Produkte bei jeder "Zeile" soll immer 1 sein: beim Gegenereignis benutzen!
  • Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein! Gibt es beispielsweise 2 Personen, die rote Kondome benutzen und 7, die andere Verhütungsmittel benutzen, müssen beim ersten Schritt die Brüche bzw. benutzt werden (also im Nenner immer die Summe und im Zähler die entsprechende Anzahl). Ist der Versuch ohne Zurücklegen, wird der Nenner bei jedem Schritt um 1 weniger, sonst bleibt er gleich.
  • Vorsicht "Zumindest 1" deutet auf die Gegenwahrscheinlichkeit an! Wenn dieser Ausdruck vorkommt, dann rechnet man 1 minus die Wahrscheinlichkeit von "keins" (das ist dann nur ein Pfad im Baumdiagramm)
  • BaumdiagrammZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Vektoren[Bearbeiten]

VectorBetrag.png

Seien , zwei Punkte und ein Vektor.

  • Betrag (Länge): (nach dem Satz von Pythagoras, siehe Bild)


Seien , zwei Vektoren.

  • Strichrechnungen:
  • Zahl mal Vektor:
  • Skalarprodukt:
    • Wenn das Skalarprodukt null ist, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren 90° ("sie stehen normal auf einander") un dumkegehrt, also wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, dann ist ihr Skalarprotukt null.
  • VektorrechnungenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

Folgen[Bearbeiten]

  • Mit der expliziten Formel wird das n-te Glied der Folge mit Hilfe des ersten berechnet.
  • Mit der rekursiven Formel wird das nächste Glied mit Hilfe des vorherigen berechnet. Das erste Glied muss angegeben sein.

Arithmetische Folge

  • Entspricht der linearen Funktion
  • Jedes nächste Glied ist um eine Zahl d mehr als das vorherige. Diese Zahl d nennt man Differenz (ist sie ja auch).
  • Explizite Formel:
    n zeigt die Reihung des Glieds in der Folge
  • Rekursive Formel: → Das erste Glied ist das (n+1)-te Glied ist so viel wie das n-te Glied plus die Differenz d.

Geometrische Folge

  • Entspricht der exponentiellen Funktion
  • Jedes nächste Glied wird mit einer Zahl q multipliziert. Diese Zahl q nennt man Quotient (ist sie ja auch).
  • Explizite Formel:
    n zeigt die Reihung des Glieds in der Folge
  • Rekursive Formel: → Das erste Glied ist das (n+1)-te Glied ist so viel wie das n-te Glied mal den Quotient q.

    Mengenlehre[Bearbeiten]

    VennDiagramThreeSetsGeneral.svg
    Vereinigung: Alles zusammen! Ausdruck: z.B. das eine oder das andere
    Schnitt: was gleichzeitig zu beiden gehört (unter dem Becher)! Ausdruck: Gleichzeitig - sowohl als auch
    Differenz: das Erste ohne das, was dann auch zu zweite gehört! Ausdruck: Ohne

    Bei Venn-Diagramm-Aufbau Aufgaben: immer mit der kleinsten Teilmenge anfangen, die angegeben oder zu berechnen ist. Das soll in der Regel entweder die Anzahl der Objekte, die keine der angegebenen Eigenschaften haben, sein, oder die Anzahl der Objekte die alle angegebenen Eigenschaften haben.

    • MengenlehreZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

    Geometrie[Bearbeiten]

    ! AUFPASSEN: Einheiten müssen immer übereinstimmen!

    Die Formeln kannst du immer in der Formelsammlung finden. Es gibt (zumindest) vier Varianten:

    • Wenn das, was auch immer allein auf der linken Seite einer Formel steht gefragt wird und all der Rest gegeben ist (z.B. x-Wert gegeben), dann KEINE löse in Geogebra benutzen (sondern einfach als Taschenrechner benutzen). Wenn das Volumen (Symbol: V) eines Würfels gefragt wird und seine Kante (Symbol: a) gegeben ist, dann ist die Formel (in der Formelsammlung schauen):

      V steht auf der rechten Seite der Gleichung. Du benutzt also Geogebra als Taschenrechner (ohne V= einzugeben). Du setzt einfach den Wert von der Kante (a) ein.
    • Was auf der linken Seite der Formel ganz allein steht, kann auch gegeben sein. Beispiel: Volumen V gegeben und a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer und OHNE Beistriche!
    • Wenn wir NUR eine Gleichung haben aber mehrere Symbole, dann benutzen wir löse OHNE geschweifte Klammern, allerdings mit Beistrich. Nach dem Beistrich steht das Symbol, auf das wir die Gleichung lösen wollen (sonst weiß GeoGebra nicht, auf welches Symbol die Gleichung zu lösen ist). Beispiel: Formel für a wird gefragt. → löse OHNE geschweifte Klammer, Formel eingeben, Beistrich a (auf a muss die Gleichung gelöst werden, weil das gefragt wird).
    • Es kann auch sein, dass wir zwei (oder sogar mehrere) Schritte brauchen, wenn das gefragte berechnet werden muss, aber die Sachen in seiner Formel nicht gegeben sind. Beispiel: Das Volumen wird gefragt, die Oberfläche ist gegeben. In der Formel für die Oberfläche den Wert der Oberfläche einsetzen und mit löse die Kante a finden. Diesen Wert dann in die Formel fürs Volumen einsetzen (ohne "löse").

    Grundwissen Einheiten:

    Phys. Größe Einheiten
    Zeit (t) Tag 24 h 60 min 60 s 1000 ms
    Masse (m)
    ("Gewicht")
    t 1000 kg 1000 g 1000 mg
    Abstand (d, ,...)
    (Strecke, ...)
    km 1000 m 10 dm 10 cm 10 mm
    Fläche (A) km² 1000² 10² dm² 10² cm² 10² mm²
    Volumen (V) km³ 1000³ 10³ dm³ 10³ cm³ 10³ mm³
    Umrechnung groß mal klein
    durch

    Zusammengesetzte Figuren

    Jede Formel, die in der Figur vorkommt, muss man addieren oder subtrahieren, je nachdem, wie die Angabe ist. Außerdem muss man Variablen in der Formel (Seiten, Höhe oder was auch immer) auf die angegebene Größe anpassen. Beispiel:

    Zusammengesetzte Figuren Formel 02.svg

    Die dunkle Fläche (im Koordinatengitter) ist gefragt, die Seite des äußersten Quadrats a ist angegeben. Wir merken, dass von der Fläche des äußersten Quadrats, die Fläche des inneren Quadrats und der zwei kleineren Kreisen subtrahiert werden muss (sie sind weiß) und die Fläche des größeren Kreises (etwa in der Mitte) addiert werden muss (er ist dunkel). Die Formel fürs Quadrat ist A=a² (a ist die entsprechende Seite) und für den Kreis πr² (r ist der entsprechende Radius). Für das äußerste Quadrat sollen wir die Formel, wie sie ist benutzen (seine Seite ist a). Für das innere Quadrat gilt, dass seine Seite die Hälfte der Seite des äußersten Quadrats ist, also es gilt: Der Radius jeden kleinen Kreises ist ein Sechstel der Seite des Quadrats und des großen Kreises ein Viertel. Daher gilt insgesamt:

    • Geometrische AufgabenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

    Trigonometrie[Bearbeiten]

    • Oft muss man ein rechtwinkeliges Dreieck finden oder konstruieren.
    • Ist ein Winkel gefragt, dann muss man benutzen (wenn der Wert des Winkels gefragt wird). Wenn die Formel gefragt wird, dann (ohne "d").
    • Ist der Winkel gegeben, dann kann man sin(Winkel in Grad) usw. berechnen.
    • Gibt es keinen Zusammenhang zum Winkel, muss man möglicherweise Pythagoras Satz benutzen.
    RightTriangle cba.svg

    wobei irgendein nicht rechter Winkel
    in einem Rechtwinkeligen Dreieck.

    Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Seiten a, b (Katheten), c (Hypotenuse) und entsprechenden gegenüberliegenden Winkel

    da gegenüber von die Kathete b ist (und gegenüber von die Kathete a).

    Für tan gilt auch:

    da

    (Vergleiche mit dargestellten rechtwinkeligen Dreieck)

    Trigonometrische Umkehrfunktionen:

    bzw.
    oder bzw. (besonders bei Taschenrechnern)

    Die Anwendung ist bei jeder Aufgabe unterschiedlich. Wenn der Winkel gefragt wird, dann benutzen wir arctand (oder atand), arcsind (oder asind) und arccosd (oder acosd).

    Textaufgaben Schlussbegriff für trigonometrische Funktionen: Wiederholung! (wie so wie so...)

    Sinussatz:

    Kosinussatz:

    (usw.)

    Kosinussatz wird angewandt, wenn es um einen Winkel und die Seiten an diesem Winkel oder wenn es um drei Seiten (gefragt wird dann ein Winkel) geht, Sinussatz in jedem anderen Fall.

    • Trigonometrische AufgabenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

    Einheitskreis[Bearbeiten]

    Kreis, dessen Mittelpunkt sich am Anfang des (kartesischen) Koordinatensystems befindet und dessen Radius 1 ist. Der Winkel wird als Drehung im Bezug auf dem rechten Teil der x-Achse gemessen. Da der Radius 1 ist, ist der Umfang 2π. Das wird als Basis für die Winkeleinheit "Radiant" (Symbol: rad) benutzt. 360° Winkel ist so viel wie 2π rad.

    • Einheitskreis und trigonometrische FunktionenZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil
    • Einheitskreis wichtige PunkteZur AufgabensammlungWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil
    • RadiantZur AufgabensammlungWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil

    Trigonometrische Funktion[Bearbeiten]

    TrigonDef.svg

    ist die Amplitude, die Phase, die Frequenz. Falls die Frequenz 1 ist, ist der "Berg zu Berg" Abstand (also ), falls sie mehr als 1 ist, ist dieser Abstand kleiner. Die Phase ist nach links positiv.

    Diagramme[Bearbeiten]

    In Bearbeitung

    • DiagrammeZur AufgabensammlungBeispiele aus offiziellen Prüfungen zu diesem ThemaWeitere Links und VideosZur Bucherklärung im Zentralteil
    KlickenHandy.png


    Gibson Steps rainbow and wave Great Ocean Road.jpg
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    Der Hauptautor ggf. das Team verdient zwar nicht viel, braucht allerdings dein Geld eigentlich nicht. Wenn du aber doch meinst, dass gute Arbeit belohnt werden soll und dieses Projekt gut findest, kannst du immer in diesem Link spenden. Das ist allerdings vielleicht die einzige Einrichtung mit völliger Transparenz, wo du genau weißt, was mit deinem Geld passiert.
    1. BIPM – SI prefixes (englisch) – „BIPM – SI-Broschüre“, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 3.1: SI-Präfixe