MathemaTriX ⋅ Theorie nach Thema. Arbeiten mit Termen

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Term Definition

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. $\textstyle {\color {Red}3+4}$,  $\textstyle {\color {Blue}s+x}$,  $\textstyle {\color {Red}t^{2}}$,  $\textstyle {\color {Cyan}r^{2}x-4r}$,  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   sind alles Terme, wobei  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   aus mehreren Teiltermen besteht.

Potenzen

Potenz Definition

Jeder Term der Form mⁿ ist eine Potenz. Was unten steht (hier m) nennt man Basis, was oben rechts (hier n) Hochzahl.

Potenz    $4_{\ \leftarrow {\text{Basis}}}^{3\ \ \leftarrow {\text{Hochzahl}}}$     Was bedeutet diese Schreibweise?

Wenn man 4+4+4 hat, kann man auch 3·4 schreiben: $\textstyle \underbrace {4+4+4} _{3\ mal}=3\cdot 4$. Eine Multiplikation zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst addiert.

Wenn man 4·4·4 hat, dann kann man 4³ schreiben. Eine Potenzzahl (hier 4³) zeigt, wie oft (so oft, wie die Hochzahl, hier 3) man eine Zahl (die Basis, hier 4) mit sich selbst multipliziert.

Potenzen Erklärung

Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Wir haben gelernt, dass eine Multiplikation uns zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb einer Summe vorkommt. Beispielsweise ist $\textstyle \ \underbrace {4+4+4+4+4+4+4} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 4$. Das bedeutet allerdings auch, dass $\textstyle \ 2a+5a=7a\$ ist, weil $\textstyle \ 2a+5a=\underbrace {a+a} _{{\color {red}2}\ mal}+\underbrace {a+a+a+a+a} _{{\color {red}5}\ mal}=\underbrace {a+a+a+a+a+a+a} _{{\color {red}7}\ mal}=({\color {red}2+5})\cdot a={\color {red}7}a$

Eine Potenzzahl zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb eines Produktes vorkommt. Beispielsweise: $\textstyle \ \underbrace {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5} _{{\color {red}6}\ mal}=5^{\color {red}6}$.

Was ist jetzt, wenn wir Potenzzahlen addieren (oder subtrahieren)?

Eine Vereinfachung einer Strichrechnung zwischen Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzzahl die gleiche Basis und die gleiche Hochzahl hat.

Nehmen wir ein Beispiel: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}$.

Bei 3a² und 7a² hat die Potenzzahl a² die gleiche Basis a und die gleiche Hochzahl 2. Diese Potenzen können zusammengerechnet werden:

$\textstyle \ 3a^{2}+7a^{2}=10a^{2}$

Entsprechend können wir mit a⁴ arbeiten:

$\textstyle \ 5a^{4}-2a^{4}=3a^{4}$

a² und a⁴ können wir hingegen nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Basis a aber nicht die gleiche Hochzahl (2 bzw. 4) haben.

a² und b² können wir auch nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Hochzahl 2 aber nicht die gleiche Basis (a bzw. b) haben.

Daher ist: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}=10a^{2}+3a^{4}-6b^{2}$

Warum ist es so? Wie schon erwähnt, können nur gleiche Summanden durch eine Multiplikation ersetzt werden:

$\textstyle \ \underbrace {3+3+3+3+3+3+3} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 3$

Wenn wir 3⁴ und 3² anstatt 3 haben, sind die Summanden nicht gleich, da 3⁴=3·3·3·3=81 und 3²=3·3=9 ist:

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}\neq {\color {red}7}\cdot 3$

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}=81+9+81+81+9+81+81=\dots$

$\textstyle \ \dots =\underbrace {81+81+81+81+81} _{{\color {red}5}\ mal}+\underbrace {9+9} _{{\color {red}2}\ mal}={\color {red}5}\cdot 81+{\color {red}2}\cdot 9={\color {red}5}\cdot 3^{4}+{\color {red}2}\cdot 3^{2}(=423)$

Nur Potenzen, die sowohl die gleiche Basis als auch die gleiche Hochzahl haben, können zusammengerechnet werden.

Noch ein Beispiel: $\textstyle \ 11w^{3}+5c^{3}-7w^{3}+8c^{5}-12c^{3}+2w^{3}-3c^{5}=6w^{3}-7c^{3}+5c^{5}$

 

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^{3}\cdot 4^{6}=4^{3+6}=4^{9}\quad \quad a^{t}\cdot a^{q}=a^{t+q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^{3}\cdot 4^{6}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4} _{3\ mal}\cdot \underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{6\ mal}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{9\ mal}=4^{9}\quad _{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^{7}\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^{5}\quad \quad a^{t}\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können. Für den Fall von natürlichen Hochzahlen können wir schreiben:

$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n\ mal}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{m\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n+m\ mal}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^{3}+4^{6}\neq 4^{9}$

Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man dividieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Differenz der Hochzahlen (oben minus unten!) schreibt.

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}=a^{7-5}=7^{2}\quad \quad {\frac {7^{74}}{7^{5}}}=7^{74-5}=7^{69}\quad \quad {\frac {4^{z}}{4^{x}}}=4^{z-x}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}={\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot a\cdot a}{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {a\cdot a}{1}}=a^{2}\quad _{=(a^{7-5})}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

${\frac {w^{5}}{w^{-7}}}=w^{5}:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}$

${\frac {a^{-7}}{a^{5}}}=a^{-7}:a^{5}=a^{-7-5}=a^{-12}$

${\frac {4^{-7}}{4^{-c}}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Null als Hochzahl

Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch, mit Hilfe eines Beispiels, zeigen, dass $a^{0}=1\$ und $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist. Es gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}={{a\cdot a\cdot a} \over {a\cdot a\cdot a}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}={{1\cdot 1\cdot 1} \over {1\cdot 1\cdot 1}}=1$

und nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt auch:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^{0}$. Daher gilt:

$a^{0}=1$

Potenzen mit negativer Hochzahl

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist.

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}$

Nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\$ ist gleichzeitig $\textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\$ und $a^{-2}$. Daher gilt:

${\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\$ und allgemein:

$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

$4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

Potenz einer Potenzzahl

Die Potenz einer Potenzzahl wird durch Multiplikation der Hochzahlen vereinfacht.

${(a^{2})}^{3}=a^{2\cdot 3}=a^{6}$

Warum das so ist, kann man wie im Folgenden erklären:

${(a^{2})}^{3}=(a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{\overbrace {2+2+2} ^{3\ mal}}=a^{2\cdot 3}=a^{6}$

Kurze Erklärung zum Schritt : $\textstyle (a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{2+2+2}$. Hier haben wir die eben erklärte Multiplikationsregel benutzt: $\textstyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$.

Die Hochzahlen multipliziert man, auch wenn sie negativ sind:

${(a^{-5})}^{3}=a^{(-5)\cdot 3}=a^{-15}$

${(a^{-5})}^{-4}=a^{(-5)\cdot (-4)}=a^{20}$

Allgemein kann man daher schreiben:

${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Potenz eines Produktes oder eines Bruches

Ein Produkt wird dadurch potenziert, indem seine Faktoren mit der gleichen Hochzahl Potenziert werden. Ein Bruch wird dadurch potenziert, indem sowohl sein Zähler als auch sein Nenner mit der gleichen Hochzahl potenziert werden.

Mit einem Beispiel kann auch dieser Zusammenhang schnell erklärtwerden:

$(a\cdot b)^{4}=\underbrace {(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)} _{4\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} _{4\ mal}\cdot \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}=a^{4}\ b^{4}$

und entsprechend für einen Bruch:

$({a \over b})^{4}=\underbrace {({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})} _{4\ mal}={\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{4\ mal} \over \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}}={a^{4} \over b^{4}}$

Es gilt also allgemein:

$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$

$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$

Weitere Beispiele:

$({a^{4}\cdot b^{-5}})^{3}={a^{4\cdot 3}\cdot b^{-5\cdot 3}}=a^{12}\ b^{-15}$

$\left({a^{7} \over b^{3 \over 5}}\right)^{4}={a^{7\cdot 4} \over b^{{3 \over 5}\cdot 4}}={a^{28} \over b^{12 \over 5}}$ {{#ifeq:Mathematrix: AT BRP/ Theorie nach Thema/ Arbeiten mit Termen|Mathematrix: AT PSA Theorie nach Thema/ Arbeiten mit Termen |
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Potenzen mit Bruchhochzahl

Wenn die Hochzahl ein Bruch ist, wird der Nenner als Wurzelpotenz interpretiert.

$\textstyle a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$

Versuchen wir jetzt diesen Zusammenhang zu erklären.

Im Kapitel über Kubikwurzel lernen wir, dass die Gegenrechnung einer Hochzahl die entsprechende Wurzel ist:

${\begin{aligned}{\sqrt {a}}&=b&&\rightarrow \quad a=b^{2}\\{\sqrt[{-5}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{-5}\\{\sqrt[{4,3}]{m}}&=n&&\rightarrow \quad m=n^{4,3}\\{\sqrt[{\sqrt {6}}]{x}}&=z&&\rightarrow \quad x=z^{\sqrt {6}}\end{aligned}}$

und allgemein:

${\sqrt[{m}]{a}}=b\quad \rightarrow \quad a=b^{m}$

Es gilt allgemein, dass wenn eine Rechnung und ihre Gegenrechnung verwendet werden, das Ergebnis der Anfangswert sein wird:

$t-6+6=t\$(Die Gegenrechnung von +6 ist −6)

${{t\cdot 5} \over 5}=t\$(Die Gegenrechnung von ⋅5 ist ÷5)

$({\sqrt {t}})^{2}=t\$(Die Gegenrechnung von Quadrat ist die Quadratwurzel)

und allgemein für die Gegenrechnung einer Wurzel, wie eben gezeigt:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$

Benutzten wir jetzt die eben gelernte Regel über Potenz einer Potenz. Wie sollen die Hochzahlen aussehen, damit das Ergebnis der Anfangswert ist?

${(a^{x})}^{n}=a^{x\cdot n}=a=a^{1}\qquad \qquad$ da $a=a^{1}$ ist

Es soll also für die Hochzahlen $1$ und $x\cdot n\$ gelten:

$x\cdot n=1\ \$ und daher

$x={1 \over n}$

Ersetzen wir dann $x$ durch $\textstyle {\frac {1}{n}}$ im Ausdruck ${(a^{x})}^{n}\$ und vergleichen wir folgende zwei Ausdrücke:

$({\sqrt[{n}]{a}})^{n}={(a^{1 \over n})}^{n}=a$

Beide Ausdrücke sind gleich a und daher gleich zueinander. Damit die Ausdrücke gleich sind, muss die Basis in beiden Fällen gleich sein:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1 \over n}$

Allgemeiner gilt also:

${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$

und:

${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$ }}

Arbeiten mit Potenzen Die Rechenregel zusammengefasst

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$		${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$
$a^{0}=1$		$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$
$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$		$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$
${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$		$a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$
${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$		${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

{|style="background: lightgrey; color: black; padding: 1em; margin: 1em; float:left" border="1"

|style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{0}=1$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$ |}

In diesem Absatz erklären wir anhand von Beispielen, wie wir die Rechenregeln der Potenzzahlen anwenden können.

• ${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}$

Wenn wir im Ausdruck eine Wurzel haben, ist es unsere erste Aufgabe, diese Wurzel als Potenzzahl zu schreiben. Die Wurzelpotenz soll als Nenner eines Bruches in der entsprechenden Hochzahl geschrieben werden (oder im Nenner eines Bruches, wenn die entsprechende Hochzahl schon ein Bruch ist):

${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}\$oder auf einmal: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}\$

In diesem Ausdruck haben wir keinen Bruch oder Produkt von Potenzzahlen. Es geht um die Potenz einer Potenz (einer weiteren Potenz) und daher müssen wir nach der entsprechenden Regel die Hochzahlen einfach multiplizieren:

${\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}$oder einfacher: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)}\$

Jetzt wenden wir einfach die Multiplikationsregel von Zahlen an (minus mal minus ist plus) und führen diese Multiplikation aus:

$w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}\qquad (=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)})$

• ${\left(b^{3 \over 7}\right)}^{28 \over 9}=b^{{\frac {3}{7}}\cdot {\frac {28}{9}}}=b^{\frac {4}{3}}\left(={\sqrt[{3}]{b^{4}}}\right)$

Hier brauchen wir nur den zweiten und dritten Schritt der vorherigen Aufgabe durchführen. Am Ende haben wir allerdings in die Gegenrichtung gearbeitet und den Nenner im Bruch als Wurzelpotenz in einer Wurzel geschrieben.

• $\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\dots$

$\dots =\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}=b^{29}$

Dieses Beispiel sieht kompliziert aus. Das sollte uns nicht aus der Fassung bringen. Die Schritten bleiben doch die gleichen:

Erst schreiben wir die Wurzel als Potenzzahl, also die Wurzelpotenz als Nenner in der entsprechenden Hochzahl:

$\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}$

Hier haben wir allerdings auch die Klammer in der Klammer aufgelöst (der erster Ausdruck links auf der linken Seite), indem wir die Regel der Potenz einer Potenz angewandt haben (Hochzahlen multiplizieren): $\textstyle \ \left(b^{3 \over 5}\right)^{3}=b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}(=b^{\frac {9}{5}})$

Wir haben also ein Produkt aus Potenzen mit der gleichen Basis, wir sollen daher die Regel anwenden und die Hochzahlen addieren:

$\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}$

und am Ende die Regel für die Potenz einer Potenz anwenden, also die Hochzahlen multiplizieren:

$\left(b^{1}\right)^{29}=b^{1\cdot 29}=b^{29}$

• ${\dfrac {\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}{b^{3} \over b^{-8}}}={\frac {\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}{b^{3-(-8)}}}={\frac {b^{{\frac {15}{7}}\cdot {\frac {28}{3}}}}{b^{3+8}}}={\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{9}$

Dieser Ausdruck sieht noch komplizierter aus, das sollte uns aber immer noch nicht aus der Fassung bringen. Wir sollen ganz gemütlich und ruhig die Regeln anwenden. Um die Lösung klarer zu machen, bearbeiten wir im Folgenden erst den Zähler und dann den Nenner.

${\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}={\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}$

Wie in den vorherigen Beispielen, haben wir hier erst die Wurzel als Potenz ausgedrückt, indem wir die Wurzelpotenz in den Nenner der Hochzahl geschrieben haben. Wir haben daher die Potenz einer Potenz und wir müssen die Hochzahlen multiplizieren:

${\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}=b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}$

In der Hochzahl haben wir eine Multiplikation von Brüchen und diese führen wir aus (indem wir kürzen): $\textstyle {{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}={\frac {15\cdot 28}{7\cdot 3}}=20$. Es gilt daher für den Zähler:

$b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}=b^{20}\$ Zähler

Im Nenner haben wir einen Bruch von Potenzzahlen mit der gleichen Basis, wir müssen daher die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${b^{3} \over b^{-8}}=b^{3-(-8)}=b^{11}\$ Nenner

Wir schreiben also jetzt zusammen den Zähler und den Nenner in einem Bruch, wie es dazu gehört. Wir haben dann einen Bruch von Potenzen mit der gleichen Basis, wir müssen also die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{20-11}=b^{9}\$

Terme Grundaufgaben

Vereinfachen Sie!

3x²+5-7x⁵+11-4x²+3-11x⁵+7x²=?

Diesen Term kann man vereinfachen, indem man Gleiches mit Gleichem addiert bzw. subtrahiert:

$3{\color {red}x^{2}}+5-7{\color {Blue}x^{5}}+11-4{\color {red}x^{2}}+3-11{\color {Blue}x^{5}}+7{\color {red}x^{2}}=$

Mit Rot sind alle Teilterme (Summanden), die x² beinhalten, mit Blau alle Teilterme, die x⁵ beinhalten und mit Schwarz alle einfachen Zahlen markiert. Man summiert die entsprechenden Teilterme. x² gibt es 3-4+7 also insgesamt 6 mal, x⁵ (mit Blau) -7-11 also -18 mal und die Zahlen summiert man auch, 5+11+3 ist 19. Das Gesamtergebnis kann man vereinfacht so schreiben:

6x² +19 -18x⁵

Klammer Auflösen

Ziel des Ausmultiplizierens

Lösen Sie die Klammern auf!

$2(3x-5)\qquad (1)$

Ziel solcher Aufgaben ist, einen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben, der gleichwertig zu diesem Ausdruck (mit Klammern) ist. Probieren wir zunächst einmal die Klammern einfach wegzulassen. Zuerst soll man etwas erklären:

Wenn zwischen zwei mathematischen Ausdrücken nichts (keine Rechenart) steht, ist ein "mal" gemeint (Multiplikation) (einzige Ausnahme sind hier die gemischten Zahlen)

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-5\end{matrix}}\qquad (2)$

Probieren wir jetzt in beiden Ausdrücken eine Zahl an der Stelle von x einzusetzen, beispielsweise 0:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=0}-5)=-10$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=0}-5=-5$

Die beide Ausdrücke sind nicht gleich. Probieren wir es auch mit 1:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=1}-5)=-4$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=1}-5=1$

Wieder sind die Ausdrücke nicht gleich. Man sagt dann, dass  $2(3x-5)\neq 6x-5$  ist, dass  $2(3x-5)$  nicht gleich zu  $6x-5$  ist. Obwohl eine Zahl schon ausreichen könnte, stimmt das eigentlich für alle Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann.

Probieren wir dann beide Summanden in der Klammer mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer zu multiplizieren:

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-10\end{matrix}}\qquad (3)$

Egal mit welcher Zahl wir es jetzt ausprobieren, werden die beide Ausdrücke immer gleich sein! Beispielsweise mit $4$:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=4}-5)=14$ $(3)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=4}-10=14$

Da das immer gilt, kann man schreiben:

$2(3x-5)=6x-10$

Wir haben daher unser Ziel erreicht! Wir haben einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern!

Klammern werden aufgelöst, indem jeder Summand in Klammern mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Erklärung des Ausmultiplizierens

Denken wir an eine Kiste die 2 Zitronen und 4 Birnen hat:

Nehmen wir an, dass wir diese Kiste 3 mal haben:

In diesem Fall haben wir 3 mal 2 also 6 Zitronen und 3 mal 4 also 12 Birnen.

Den Inhalt der Kiste müssen wir mit 3 multiplizieren und zwar muss jede verschiedene Sorte, die in der Kiste ist, mit 3 multipliziert werden.

Ein Klammer ist genau so wie eine Kiste:

$3\cdot (2z+4b)=3\cdot 2z+3\cdot 4b=6z+12b$

Wir haben einfach statt Bilder für die Zitronen den Buchstabe z und für die Birnen den Buchstabe b benutzt.

Es spielt keine Rolle, ob außerhalb der Kiste eine Zahl oder ein Symbol steht:

$a\cdot (2z+4b)=a\cdot 2z+a\cdot 4b=2a\ z+4a\ b$

Zwischen 2z und 4b steht ein Plus. Der Vorgang ist der gleiche bei Minus:

$a\cdot (2z-4b)=a\cdot 2z-a\cdot 4b=2a\ z-4a\ b$

Auch wenn wir Minus haben, können wir die verschiedenen Sorten (hier 2z und 4b) Summanden nennen.

Ein Klammer wird ausmultipliziert, indem jeder Summand in der Klammer mit der Sache außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Beispiel: $\ 5a\cdot (2z-4b+3c)=5a\cdot 2z-5a\cdot 4b+5a\cdot 3c=10a\ z-20a\ b+15a\ c$

Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer

Aufgaben mit einer Klammer

Lösen Sie die Klammern auf!

$2x^{2}(3x^{5}-7+5x)$

Die Aufgabe hier ist, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Wie eben erklärt, multipliziert man dafür den Term außerhalb der Klammer ( $2x^{2}$ ) mit jedem Summand in den Klammern (also erst mit  $3x^{5}$ , dann mit  $7$  und dann mit  $5x$ ):

Der Ausdruck am Ende ist immer gleich mit dem Ausdruck am Anfang. Wir haben also die Klammer aufgelöst!

Aufgaben mit 2 Klammern

Lösen Sie die Klammern auf!

$(2x^{2}-5)(3x^{2}-4)$

Die Aufgabe hier ist wieder, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Um das zu machen, multipliziert man jeden Summand der ersten Klammer  $(2x^{2}-5)$  mit jedem Summand der zweiten Klammer  $(3x^{2}-4)$ :

Zu bemerken ist, dass −8x²−15x² eine Strichrechnung zwischen Potenzen ist. Daher gelten hier die entsprechenden Regel der Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Hier gilt die Multiplikationsregel der Vorzeichen: plus mal plus ist plus, plus mal minus ist minus, minus mal plus ist minus, minus mal minus ist plus. (Das Gleiche gilt bei durch)

+ · + = +

+ · − = −

− · + = −

− · − = +

Hier ist darauf zu achten, dass die Regel ausschließlich bei Punktrechnungen gilt (Multiplikation und Division). Hier ein paar Beispiele, die den Zusammenhang klar machen sollten:

5−6=−1
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 MINUS 6, was insgesamt MINUS 1 beträgt.

5·(−6)=−30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen eine positive und eine negative Zahl, also hier gilt + · − = − und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30).

−20−4=−24
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen, wobei die erste Zahl negativ ist, also MINUS 20 MINUS 4, was insgesamt MINUS 24 beträgt.

−20 : (−4)=5
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (durch) zwischen zwei negative Zahlen, also hier gilt − · − = + und die Werte 20 und 4 müssen wir dividieren (20 durch 4 ist 5).

5+6=11
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 PLUS 6, was insgesamt 11 beträgt.

5·6=30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen zwei positive Zahlen, also hier gilt + · + = + und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30). Diese Berechnung ist gleichbedeutend mit (+5)·(+6)=30.

Die Berechnung 5−6=−1 ist gleichbedeutend mit 5+(−6)=−1. Hier haben wir zwar keine ausdrückliche Multiplikation, wir addieren allerdings eine negative Zahl. In solchen Fällen sollen wir schon die plus mal minus Regel anwenden, wir haben aber doch keine Multiplikation, also 5 wird NICHT mit 6 multipliziert. Die Regel gilt nur für die Vorzeichen. Daher gilt:
5+(+6)=11
5−(+6)=−1
5−(−6)=5+6=11
5+(−6)=−1
Es gilt auch: −5+6=1

Arbeiten mit negativen Zahlen

Wir haben die Regeln für die Multiplikation mit Plus und Minus gesehen. Wie kann man diese Regeln mit Zahlen erklären?

Dass $\ (+5)\cdot (+3)=(+15)\ \$ist, ist trivial. $+5$ ist $5$ und $+3$ ist $3$. $\ (+5)\cdot (+3)=(+15)\ \$ ist daher gleichbedeutend wie $5\cdot 3$ und, wie Multiplikation definiert wird, ist das 15.

Dass $\ 5\cdot (-3)=(-15)\ \$ist, macht eben auch Sinn. Laut Definition der Multiplikation ist $\ 5\cdot (-3)=-3-3-3-3-3=-15\ \$, wie man beim Arbeiten mit negativen Zahlen lernt.

Wenn man $\ (-5)\cdot 3\ \$hat, ist die Erklärung ebenso leicht. In der Multiplikation spielt die Reihenfolge keine Rolle, daher ist $\ (-5)\cdot 3=3\cdot (-5)=-5-5-5=-15\ \$.

Warum ist aber Minus mal Minus doch Plus?

Um das zu erklären, kann man folgende Rechnung betrachten:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))$

Macht man nach der Regel erst die Rechnung in Klammern, ist das Ergebnis:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 2a=-10a$

Wenn erst die Klammer aufgelöst wird, wie wir das vorher gelernt haben, dann ergibt sich Folgendes:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 5a+(-5)\cdot (-3a)$

$(-5)\cdot 5a\$ist $-25a$, wie wir eben gelernt haben.

Wenn Minus mal Minus Plus ist, dann ist $(-5)\cdot (-3a)=(+15a)$ und das Ganze ergibt:

$-25a+15a=-10a$

Wenn Minus mal Minus Minus wäre, dann wäre $(-5)\cdot (-3a)=(-15a)$ und das Ganze ergäbe:

$-25a-15a=-35a$

was ein falsches Ergebnis ist, da wir schon gesehen haben, dass das Ergebnis, wenn man erst die Rechnung in Klammern macht, $-10a$ ist. Ähnliche Ergebnisse bekommt man, egal welches Beispiel benutzt wird. Daher ist Minus mal Minus Plus.

Ähnliches gilt, wenn man nur Vorzeichen hat:

$+(+3)=+3=3\qquad -(+3)=-3\qquad +(-3)=-3\qquad -(-3)=+3=3$

Herausheben

Herausheben ist das Gegenteil von Klammer-Auflösen. Man hat einen Term ohne Klammer und versucht in den Summanden die gemeinsamen Teilterme zu finden, die dann außerhalb der Klammer bleiben. Die restlichen Terme bleiben dann als Summanden in der Klammer:

• 6x⁷ – 14x² + 10x³=?    Heben Sie heraus!

(das ist allerdings das gleiche Beispiel, wie in Klammer auflösen, nur in die Gegenrichtung).

Die kleinste Hochzahl von x ist 2. Jeder Summand hat daher ein x² drinnen. Außerdem kann man die Zahl in jedem Summand durch 2 teilen. Also jeder Summand hat daher eine 2 drinnen. 2x² ist daher das gemeinsame Element, es bleibt außerhalb der Klammer:

6x⁷ – 14x² + 10x³= 2x² · (3x⁵-7+5x)

Wie haben wir die Teilterme in der Klammer gefunden?

6x⁷ : 2x² = 3x⁵,    14x² : 2x² = 7,    10x³ : 2x² = 5x !

Bei den Hochzahlen wählt man die kleinste Hochzahl. Wenn eine Variable bei einem Summand nicht vorkommt, dann kann man sie nicht herausheben. Bei den Zahlen kann man erst die Primfaktorzerlegung durchführen und dann die gemeinsamen Faktoren herausheben:

• 45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = ?

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷    =    3·3·5 b⁴y²n⁷ – 2·3·5 y⁵n⁹ – 3·5·5 b⁸y⁸n⁸ + 3·5·7 b y n⁷

Hier haben wir die PFZ gemacht. Überall kommt 3 und 5 zumindest einmal vor, b kommt im zweiten Summand nicht vor (daher kann man b nicht herausheben), die kleinste Hochzahl von y ist 1 (y=y¹) und von n 7. Man kann also „3“, „5“, „y“ und „n⁷“ herausheben:

3·5 y n⁷ · (...?...) = 15yn⁷ · (...?...)

Was bleibt jetzt in der Klammer? Wir dividieren jeden Teilterm (Summand) mit dem herausgehobenen Teilterm (15yn⁷):

45b⁴y²n⁷ : 15yn⁷ = 3b⁴y		30y⁵n⁹ : 15yn⁷ = 2y⁴n²
75b⁸y⁸n⁸ : 15yn⁷ = 5b⁸y⁷n		105 b y n⁷ : 15yn⁷ = 7b

also:

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = 15yn⁷ ( 3b⁴y – 2y⁴n² – 5b⁸y⁷n+ 7b )

Binomische Formeln

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Allgemein kann man die binomischen Formeln als eine Art mathematisches Spiel wahrnehmen, das auf die höhere Mathematik vorbereitet.

Es gibt drei binomische Formeln:

Die Plusformel:	(a+b)²   =   a² + 2ab + b²
Die Minusformel:	(a-b)²   =   a² -2ab +b²
Die Plusminusformel:	(a+b) (a-b)   =   a² – b²

Warum (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, kann man leicht feststellen, wenn man die Potenz auf ihre Faktoren zerlegt und die Klammern aus multipliziert:

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba +b² = a² + 2ab + b²

Ähnlich kann man die anderen Formeln zeigen:

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba +b² = a² – 2ab + b²

(a+b)(a-b) = a² - ab + ba – b² = a² – b²

Nun die Aufgaben, die mit binomischen Formeln zu tun haben, gehen davon aus, dass man die binomische Formeln schon kann und an der Stelle von a und b andere Terme stehen:

• Plusformel: (3d+5)²     Hier haben wir statt a 3d und statt b 5.

(a	+	b)²	=	a²	+	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(3d	+	5)²	=	(3d)²	+	2	(3d)	(5)	+	5²
			=	9d²	+		30d		+	25

• Minusformel: (c – 4x)² Hier haben wir statt a c und statt b 4x.

(a	−	b)²	=	a²	−	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(c	−	4x)²	=	(c)²	−	2	(c)	(4x)	+	(4x)²
			=	c²	−		8cx		+	16x²

• Plusminusformel: (5u + 2v) (5u – 2v) Hier haben wir statt a 5u und statt b 2v.

(a	+	b)²	⋅	(a	−	b)	=	a²	−	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(5u	+	2v)²	⋅	(5u)	−	2v	=	(5u)²	−	(2v)²
							=	25u²	−	4v²

Binomische Formeln faktorisieren

Besonders wichtig sind die binomischen Formeln bei den Umkehraufgaben:

36x² – 60ax +25a²=?

Hier ist gefragt, den Term als Quadrat eines sogenannten Binoms oder als Produkt von Faktoren (in Klammern) zu schreiben. Man kann sofort beobachten, dass es drei Summanden gibt, drei Teilterme: 36x², 60ax, 25a². Dadurch kann man sofort die Plusminus Formel ausschließen (da gibt es nur zwei Terme: a²-b²). Da es am mittleren Term ein Minus gibt, findet man sofort, dass es um die Minusform geht. Die quadratischen Terme sind 36x² und 25a². Wenn man sich ein bisschen mit den Quadratzahlen auskennt, weiß man, dass 36 das Quadrat von 6 und 25 das Quadrat von 5 ist. Also kann 36x² nur das Quadrat von 6x und 25a² von 5a sein. Der mittlere Term sollte dann 2·6x·5a sein, was auch tatsächlich stimmt ( 2·6x·5a=60ax). Daher gilt:

36x² – 60ax +25a² = (6x – 5a)²

Binomische Formeln erkennen

Noch ein Beispiel:

121d² – 4t²

Das kann nur die Plusminusform sein, weil sie die einzige ist, die nur zwei Teilterme hat. Daher:

121d² – 4t² = (11d + 2t) (11d – 2t)

_{Bemerkung: die ersten sogenannten Quadratzahlen sind:}

^{1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²), 36 (=6²), 49 (=7²), 64 (=8²), 81 (=9²), 100 (=10²), 121 (=11²), 144 (=12²).}

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

Im Kapitel über die binomische Formeln wurde impliziert, dass jeder Term mit zwei Summanden „Binom“ genannt wird. Beispiele:

$a+b,\ x-3\pi ,\ x^{3}+y^{2},\ 3mb^{7}-5c^{3},\ {\tfrac {m^{b}}{p}}-q$

$a+b-c$ ist dann kein Binom mehr (drei Summanden).  _{(Hier wird der erweiterte Begriff von Summand benutzt: a+b-c ist die Summe der drei Terme „a“, „b“ und „−c“)}

Wir haben bisher nur Binompotenzen mit 2 als Hochzahl gesehen. Es gibt Binompotenzen höheren Grades, also mit einer höheren Hochzahl aus dem Bereich der natürlichen Zahlen:

$(a\pm b)^{3},(a\pm b)^{4}\dots$

Bei der Erklärung der binomischer Formeln haben wir das Auflösen von Klammern benutzt. Bei $(a+b)^{3}$ wäre so was schon komplizierter, bei höheren Hochzahl schon ziemlich kompliziert. Um diese Ausdrücke ohne Klammer zu schreiben (Ausmultiplizieren), gibt es einen viel einfacheren Weg, das pascalsche_Dreieck.

Mit Hilfe dieses Dreiecks, kann man die sogenannten Koeffizienten der entstehenden Summanden leicht berechnen.

Das ganze Dreieck ist ein (gleichschenkliches) Zahlendreieck. Die Basis erweitert sich ständig, die Schenkel bestehen aus lauter Einser. Die erste zwei Zeilen sind ein gleichschenkliches Zahlendreieck mit 1 an jedem Eckpunkt.

Für die nächste Zeile schreibt man an den Rändern 1 und für die innere Zahlen addiert man immer jeweils zwei nebenstehenden Zahlen der vorherigen Zeile. Für die dritte Zeile hier schreibt man an den Rändern 1 und in der Mitte addiert man die zwei Einser von oben (Ergebnis 2):

Die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks

Die vierte und die fünfte Zeile (und alle weitere Zeilen) entstehen in der gleichen Weise:

Die ersten vier Zeilen des Pascalschen Dreiecks

Die ersten fünf Zeilen des Pascalschen Dreiecks

Wie kann man jetzt $(a\pm b)^{3}$ ausmultiplizieren?

Man schriebt eine Summe mit 4 Summanden (einen mehr als die Hochzahl des Binoms, hier ein mehr als 3). Jeder Summand besteht aus dem Produkt von a und b mit einer absteigende Hochzahl für a und eine aufsteigende Hochzahl für b. Die erste Hochzahl für a ist die Hochzahl des Binoms (hier 3 absteigend), für b ist sie Null (aufsteigend bis 3):

$a^{3}\ b^{0}+a^{2}\ b^{1}+a^{1}\ b^{2}+a^{0}\ b^{3}$

Wir benutzen dann die vierte Zeile des Dreiecks. Sie hat so viele Zahlen, wie die Anzahl der Summanden (4):

${\boldsymbol {1}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {1}}$

Diese Zahlen werden die Koeffizienten der Summanden sein:

${\boldsymbol {1}}\cdot a^{3}\ b^{0}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{2}\ b^{1}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{1}\ b^{2}+{\boldsymbol {1}}\cdot a^{0}\ b^{3}$

Wenn im Binom Plus steht (a+b), dann steht Plus zwischen allen Summanden. Wenn im Binom Minus steht (a-b), dann alternieren sich plus und minus in der Summe. Berücksichtigen wir auch folgende Tatsachen: $x^{0}=1\ \$ und $x^{1}=x$, dann ergibt sich:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}+b^{3}\ \$ und

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \$

zusammengefasst:

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}\pm b^{3}\ \$

Für $(a\pm b)^{4}\ \$ kann man dann genau in der gleichen Weise das Binom leicht ausmultiplizieren. Hier hat man fünf Summanden, also muss die fünfte Zeile des pascalschen Dreiecks benutzt werden (1 4 6 4 1):

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4\cdot a^{3}\ b+6\cdot a^{2}\ b^{2}\pm 4\cdot a\ b^{3}+b^{4}\ \$

Wenn also das Binom (3d−2c)³) ausmultipliziert werden soll, dann wird der Ausdruck für (a−b)³ und an der Stelle von a → 3d benutzt (und an der Stelle von b → 2c).

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \$

$(3d-2c)^{3}=(3d)^{3}-3\cdot (3d)^{2}\ (2c)+3\cdot (3d)\ (2c)^{2}-(2c)^{3}\ \$ also

$(a-b)^{3}=27d^{3}-54\cdot d^{2}\ c+36\cdot d\ c^{2}-8c^{3}\ \$

Umformen

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Nachdem Vassili Lisa drei Äpfel gibt, hat er fünf Äpfel. Wie viele Äpfel hatte er vorher?

Wie kann man diese Aufgabe in der mathematischen Sprache schreiben? Für das Gefragte (wie viele Äpfel) wird in Mathematik irgendein Symbol benutzt, als Stellvertreter für die noch unbekannte Zahl. In der Regel wird als Symbol ein Buchstabe verwendet und nicht allzu selten x.
Mit x sind also die Äpfel gemeint, die Vassili am Anfang hatte. Wir wissen noch nicht, wie viele sie waren, daher schreiben wir ein Symbol dafür, ein Buchstabe, also x.

Wenn Vassili drei Äpfel der Lisa gibt, dann hat er weniger Äpfel als zuvor, es geht um eine Subtraktion. Von den x Äpfeln am Anfang sind drei Äpfel zu subtrahieren. Dass dann noch fünf Äpfel bleiben, wird durch den folgenden mathematischen Ausdruck geschrieben:

x−3=5

Man kann für x verschiedene Zahlen ausprobieren, z.B. 2, 3, 7, 8 oder 9. So kann man schon feststellen, dass nur acht minus drei gleich fünf ist. „x“ muss also 8 sein, damit die Rechnung stimmt. Vassili hatte also 8 Äpfel am Anfang.

Die ganze Zeit ausprobieren ist allerdings nicht gerade geschickt. Besonders bei größeren Zahlen wird es sogar ziemlich schwer. Es gibt in der Mathematik einen geschickteren Weg, die Aufgabe zu lösen. Man benutzt die sogenannte Gegenrechnung. Bei allen Gleichungen gibt es zwei Teile, ein Teil links vom „=“ und ein Teil rechts vom „=“. Bringt man einen Term von einer Seite zur anderen, dann muss man die Gegenrechnung benutzen.

Die Gegenrechnung der Subtraktion ist die Addition und umgekehrt.

Wenn x−3=5 ist, dann kann man die 3 auf die andere Seite vom „=“ bringen und statt minus die Gegenrechnung (plus) benutzen:

x=5+3       also x=8

Bei der Aufgabe c+4452 = 341 bringt man 4452 auf die andere Seite und benutzt die Gegenrechnung von minus. Die Lösung ist daher:

c+4452 = 341 → c= 341−4452 → c = −4111

Die Gegenrechnung der Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

3f=114

Zwischen 3 und f steht nichts.

Wenn in Mathematik zwischen zwei Ausdrucken (zum Beispiel einer Zahl und einem Symbol, einer Klammer und einer Zahl und so weiter) nichts steht, dann ist Multiplikation gemeint (einzige Ausnahme: die gemischten Zahlen).

Da zwischen 3 und f nichts steht, ist mal gemeint. f ist ein Symbol und steht für irgendeine Zahl. Die Aufgabe ist herauszufinden, wie viel f sein soll, damit die Rechnung stimmt. In diesem fall soll 3 auf die andere Seite gebracht und die Gegenrechnung von mal (also durch) benutzt werden:

3f=114 (nichts zwischen 3 und f, also mal gemeint):

3·f=114 (3 auf die andere Seite von „=“ bringen und Gegenrechnung, also hier Division, benutzen)

f=114:3 und daher

f = 38.

Man kann auch einen Bruch statt einer Division benutzen:

$f={\frac {114}{3}}=38$

Entsprechend ist die Gegenrechnung der Division die Multiplikation:

$\textstyle {\frac {k}{5}}=11$    also k:5 = 11 und daher k = 11 · 5

k = 55

Was ist aber die Gegenrechnung vom Quadrat?

Die Gegenrechnung von Quadrat ist die sogenannte „Wurzel“:

z² = 81 also z = ${\sqrt {81}}$  und daher z=9

9 ist die Zahl, deren Quadrat 81 ist, daher ist die Wurzel von 81 gleich 9. Wenn wir in der Gleichung z² = 81 z durch 9 ersetzen, dann stimmt die Gleichung tatsächlich: 9² = 81

Selbstverständlich ist die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat.

${\sqrt {m}}$ = 13 also m = 13² und daher m=169

Obwohl es für das Niveau dieses Buches nicht absolut notwendig ist, können wir doch auf eine Tatsache aufmerksam machen: Die Gleichung z² = 81 hat noch eine Lösung, wenn z gleich −9 ist. Freilich stimmt die Gleichung (−9)² = 81. (−9)² bedeutet (−9)·(−9). Minus mal minus ist plus und daher:

(−9)² =(−9)·(−9)= + 9·9 = 81 also

(−9)² = 81

Umformen einfache Kombinationen

Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Im Folgenden werden alle Terme mit der gesuchten Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht (das geht aber selbstverständlich auch umgekehrt). Schauen wir ein Beispiel an:

5x − 7 = 3x + 11

Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).

5x − 7 − 3x = 11

7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):

5x − 3x = 11 + 7

Das Ganze kann man in einem Schritt machen:

5x − 7 = 3x + 11

5x − 3x = 11 +7

2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).

Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:

x = $\textstyle {\frac {18}{2}}$ und daher x = 9

Man kann das ganze auch so erklären:

5x − 7 = 3x + 11

Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)

5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x

2x − 7 = 11

Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.

2x − 7 = 11      | +7

2x − 7 + 7 = 11 + 7

2x = 18

Jetzt bleibt nur die Division:

2x = 18      | :2

x = 18 : 2      (Man kann auch  $\textstyle x={\frac {18}{2}}$  schreiben)

x = 9

Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x+7

2x = 18      | :2

x =  $\textstyle {\frac {18}{2}}$

x = 9

Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21

4y − 15y = 11 − 6y −21 | +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

− 5y = −10 | : (−5)

y=2

Wenn man y durch 2 in der Anfangsgleichung 4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y ersetzt, stellt man fest, dass die Gleichung tatsächlich stimmt.

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4·2 + 3 (7 − 5·2) = 11 − 6·2

8 + 3 ·(−3) = 11 − 12

8 − 9 = − 1

In der Tat ist 2 der einziger Wert von y, für den die Gleichung wirklich stimmt. Die LeserInnen können andere Werte ausprobieren und feststellen, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt.

Komplexe Umformungen

Hauptsache beim Umformen ist das wichtigste zu erkennen, nämlich wo die gesuchte Variable ist. Egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht, wird es viel einfacher, wenn wir in unserer Vorstellung im Kopf immer an "Boxen" denken. Beispielsweise:

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$

Wenn hier m gefragt ist, ist es völlig irrelevant, wie kompliziert der Rest aussieht. In unserem Kopf sollen wir folgendes Bild haben:

$A_{1}+A_{2}\cdot {\frac {A_{3}}{m\cdot A_{4}}}-A_{5}=A_{6}$

Dieses Bild wird noch einfacher, wenn wir in unserem Kopf A₁ und A₅ als ein Box denken und entsprechend A₂ und A₃. Das geht, weil die ersten zwei Summanden sind, die auf die andere Seite gehen sollen, und die letzten zwei ein Produkt sind:

$B_{1}+{\frac {B_{2}}{m\cdot B_{3}}}=B_{4}$

Wir brauchen die Fassung nicht verlieren. Wir sollen einfach die Strukturen erkennen. Dann ist es eher einfach. Es gibt allerdings keine Regel der Form "Klammer vor Punkt vor Strich". Wichtig ist zu erkennen, was bei einer "Verschachtelung" "innen" oder was "außen" ist. Beispiel:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b$ und ${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b$

Im ersten Fall ist der Bruch innerhalb der Wurzel, also müssen wir erst die Gegenrechnung für die Wurzel und dann für den Bruch benutzen:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b\Rightarrow {\frac {x}{2}}=b^{2}\Rightarrow x=2b^{2}$

Im zweiten Fall ist die Wurzel innerhalb des Bruches, also müssen wir erst die Gegenrechnung für den Bruch und dann für die Wurzel benutzen:

${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b\Rightarrow {\sqrt {x}}=2b\Rightarrow x=(2b)^{2}$

Beim Umformen ist unsere erste Aufgabe den Term (oder die Terme) mit der gesuchten Variable zu isolieren (allein auf einer Seite lassen).

In den folgenden Gleichungen ist immer m die gefragte Variable. In der ersten Spalte sieht man eine Gleichung. Für jede Gleichung haben wir in der zweiten Spalte den Term (bzw. die Terme) mit der gesuchten Variable in einem Rahmen und die gesuchte Variable mit Rot hervorgehoben. In der letzten Spalte sieht man dann diesen Term (bzw. diese Terme) allein auf einer Seite, während alle andere Terme sich auf der anderen Seite befinden.

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a+$ $c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$
$a\cdot m^{2}+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$
$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{k-m}}=2{,}2$		$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2$		$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$
${\frac {j\cdot m\cdot a^{2}}{b+c}}-m+h^{2}=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $+h^{2}$ $=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $=4-h^{2}$
${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-m^{2}}}}-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man sieht in diesen Beispielen, dass der Term mit der gesuchten Variable von den anderen Summanden isoliert wird. Wenn man diesen Schritt schon gemacht hat, sind die weiteren Schritten viel einfacher. Im Folgenden werden wir immer mit der Gleichung der jeweiligen letzten Spalte anfangen.

• Im ersten Fall haben wir die gesuchte Variable im Nenner. Man multipliziert jede Seite als Ganzes mit der gesuchten Variable.

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {m}}\cdot v^{2}}}=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}=(2{,}2-a+{\frac {l}{d}})\cdot {\boldsymbol {m}}$

Als Ganzes bedeutet also hier die linke Summe in Klammer zu setzen. Man dividiert dann durch die Klammer und dann haben wir schon das Ergebnis!

${\frac {c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}}{2{,}2-a+{\frac {l}{d}}}}={\boldsymbol {m}}$    oder in einem Bruch:       ${\boldsymbol {m}}={\frac {2\cdot c_{L}\cdot k_{B}\cdot T\cdot d}{[d\cdot (2{,}2-a)+l]\cdot v^{2}}}$

• Im zweiten Fall

$a\cdot {\boldsymbol {m}}^{2}=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$

muss man zuerst durch a dividieren und dann Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist dann:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}}{a}}}$

    oder in einem Bruch geschrieben:      ${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2\cdot d\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T\cdot d+l\cdot n\cdot v^{2}}{a\cdot d\cdot n\cdot v^{2}}}}$

• Im dritten Fall steht die gesuchte Variable in einer Summe im Nenner.

$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$

Es gibt verschiedenen Möglichkeiten das Minus weg zu kriegen (z.B. mit -1 multiplizieren). Wir ziehen aber hier vor, das Minus in den Nenner zu bringen, was dazu führt, dass sich die Vorzeichen ändern (also anstatt  $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}$  haben wir ${\frac {l}{{\boldsymbol {m}}-k}}$). Wir arbeiten dann wie im ersten Fall aber mit dem Nenner als Ganzes:

${\frac {l}{2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}}}={\boldsymbol {m}}-k$      und das Ergebnis ist:      ${\boldsymbol {m}}={\frac {l\cdot n\cdot v^{2}}{[(2{,}2-a)\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T}}+k$

• Im viertel Fall befindet sich die gesuchte Variable in mehreren Termen:

${\frac {j\cdot {\boldsymbol {m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {m}}=4-h^{2}$

Man muss also die gesuchte Variable zuerst herausheben:

${\boldsymbol {m}}\cdot ({\frac {j\cdot a^{2}}{b+c}}-1)=4-h^{2}$

und dann durch die dadurch entstandenen Klammer dividieren. Das Endergebnis (wenn man auch den Doppelbruch vereinfacht) ist:

${\boldsymbol {m}}={\frac {(4-h^{2})\cdot (b+c)}{j\cdot a^{2}-(b+c)}}$

• Im fünften Fall befindet sich die gesuchte Variable innerhalb einer Wurzel im Nenner.

${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}}={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man soll zuerst den Nenner "oben" bringen, also mit dem Nenner multiplizieren

$\omega _{1}=({\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2})\cdot {\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Als zweites soll die Wurzel allein auf einer Seite bleiben:

${\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}}={\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Dann soll man die Wurzel "auflösen", in dem man beide Seiten quadriert:

$({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}=m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}$

Jetzt steht die gefragte Variable m (quadriert) in einer Summe rechts. Man soll sie erst "isolieren":

${\boldsymbol {m}}^{2}=m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}$

und dann einfach Wurzel ziehen:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}}}$

Das Gleichheitszeichen in Umformungen

Die Gegenrechnungen und den ganzen Vorgang beim Umformen nennt man auch Äquivalenzumformungen.

Im Kapitel über die Grundrechenarten haben wir gelernt, dass das Gleichheitszeichen auch in Kettengleichungen benutzt werden kann. Das ist in der Regel nicht der Fall bei Äquivalenzumformungen. Wie wir gesehen haben, wird jeder Schritt nacheinander gemacht und die Gleichung (mit so vielen Gleichheitszeichen wie am Anfang, also hier mit einem Gleichheitszeichen) wieder darunter geschrieben. Jeder Schritt wird an den Rand geschrieben und in jedem Teil der Gleichung (hier rechts und links des Gleichheitszeichens) durchgeführt.

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y

4y + 21 − 15y + −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

Es ist falsch zu schreiben:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

Die folgenden beiden Teile sind doch nicht gleich: 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y (falsch). Wenn man die Gleichungen nebeneinander schreiben will, gibt es ein anderes Zeichen dafür, den doppelten Folgepfeil:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y ⇔ 4y − 15y + 6y = 11 − 21 (richtig)

Diese Schreibweise wird allerdings nur in fortgeschrittener Mathematik und nur unter bestimmten Bedingungen benutzt.

Formel erstellen

Bruchterme

Bruchterme kürzen

Die Kenntnisse dieses Kapitels kann man benutzen, um Bruchterme zu kürzen. Zuerst vereinfacht man die Terme sowohl oben (im Zähler) als auch unten (im Nenner), dann hebt man heraus, was man herausheben kann (oben und unten) und am Ende schaut man nach, ob eine binomische Formel vorhanden ist (wieder oben und unten, im Zähler und im Nenner). Am Ende, wenn man Produkte im Zähler und im Nenner hat, kann man kürzen, wenn es möglich ist: Nehmen wir beispielsweise folgenden Bruchterm:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler; ${6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}$ ist so viel wie $9x^{2}-3x$ ): 

$\textstyle {\frac {9x^{2}-3x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht oben und unten): 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(9x^{2}-6x+1)}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen. Das geht hier nur unten; der Term im Klammer  $\textstyle 9x^{2}-6x+1$ ist nach der Minus binomische Formel gleich $\textstyle (3x-1)^{2}$. Daher ergibt sich der Bruch: 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(3x-1)^{2}}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann: 

$\textstyle {\frac {3{\cancel {x}}{\cancelto {1}{(3x-1)}}}{2{\cancel {x}}(3x-1)^{{\cancel {2}}^{1}}}}$

Das Ergebnis ist daher:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}={\frac {3}{2(3x-1)}}$

Bruchterme in Brüchen mit gemeinsamen Nenner umwandeln

Im Kapitel über Brüchen haben wir schon gesehen, wie man zwei gleichnamige und zwei ungleichnamige Brüche addiert:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern und entsprechend für den zweiten Bruch!

$={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}$$={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Der Vorgang ist genau der gleiche für Bruchterme.

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{a}}+{\frac {2}{a}}={\frac {5+2}{a}}={\frac {7}{a}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

${\frac {5}{a}}{\underline {\underline {\xcancel {+}}}}{\frac {2}{b}}={\frac {5\cdot b}{a\cdot b}}+{\frac {2\cdot a}{b\cdot a}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot b+2\cdot a}{a\cdot b}}\right)}$$={\frac {5b}{ab}}+{\frac {2a}{ab}}={\frac {5b+2a}{ab}}$

Wenn aber die Sache etwas komplizierter wird, dann benutzt man einen Vorgang, der sehr ähnlich zum Verfahren der Primfaktorzerlegung und ihre Anwendung bei Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen ist.

${\frac {5s}{a^{3}\ t^{6}\ x}}-{\frac {2z}{a^{2}\ t^{7}\ x\ s}}=?$

Für jeden Teilterm, jede Variable, im Nenner, wählt man die höchst Hochzahl die vorkommt. Diese wird dann im gemeinsamen Nenner benutzt. Für a ist sie 3 (a³), für t 7 (t⁷), für x ist die Hochzahl 1(x¹ also x) und für s auch 1 (also s). Der gemeinsame Nenner wird daher a³t⁷xs sein. Den Zähler multipliziert man dann, mit den aus dem Nenner fehlenden Teilen.

${\frac {5s\cdot (t\ s)}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}-{\frac {2z\cdot (a\ )}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}={\frac {5s^{2}\ t-2z\ a\ }{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}$

Wieso habe wir den Zähler im ersten Bruch (5s) mit ts multipliziert? Wir haben erst den gemeinsamen Nenner (a³t⁷xs) durch den Nenner des Bruches (a³t⁶x) dividiert:

${\frac {a^{3}t^{7}xs}{a^{3}t^{6}x}}=ts$

Mit diesem Term (diesem Ergebnis) muss man den Zähler multiplizieren. Den gleichen Prozess haben wir beim zweiten Bruch wiederholt. Dieser Prozess allerdings (gemeinsamen Nenner durch den jeweiligen Nenner dividieren) haben wir auch bei den Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen benutzt, wo wir auch die Primfaktorzerlegung angewandt haben.

Was im Zähler steht, ist nicht so wichtig. Im Nenner allerdings können die Faktoren größere Terme in Klammern sein:

${\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=?$

Finden wir erst den gemeinsamen Nenner. Es gibt im Nenner des ersten Bruches die Termen a, w, (t-1), (t+1) und (t-3). Im zweiten Bruch findet man im Nenner noch folgende Terme dazu: p, (q^2+7+r). Wir sollten für den gemeinsamen Nenner die höchste Hochzahl des jeweiligen Terms benutzen. Beispielsweise ist diese für den Term a die Hochzahl 3, für den Term w die Hochzahl 5, für den Term (t+1) die Hochzahl 5 usw. Der gemeinsame Nenner wird dann  $a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}$  sein.

Der Zähler des ersten Bruches wird durch den Quotient des gemeinsamen Nenners durch den Nenner des ersten Bruches erweitert:

${\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}=w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}$

Entsprechend für den zweiten Bruch:

${\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=a(t+1)^{3}(t-3)$

Nun kann man das Ganze in einem Bruch schreiben:

${\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=$

${\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}-{\frac {2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}=$

${\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}-2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}$

Bruchtermegleichungen

Wie das Wort besagt, sind Bruchtermegleichungen Gleichungen, die Bruchterme beinhalten. Wir werden hier uns mit Bruchtermegleichungen, die nur eine unbekannte Variable beinhalten, beschäftigen. Ziel ist durch Umformungen den Wert der Variable zu finden, der die Gleichung erfüllt.

${\frac {4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

Die Schritte, um die Lösung zu finden, sind am Anfang wie die Schritten bei Abschnitt„Bruchterme kürzen“.

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler des ersten Bruches; ${4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}$ ist so viel wie $2x^{2}-x$ ): $\textstyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht nur im Zähler und im Nenner des ersten Bruches;): $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen (das geht hier nur im Nenner des Bruches auf der rechten Seite der Gleichung: $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ ):  $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann (das geht in diesem Beispiel beim ersten Bruch: $\textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}={\frac {2x-1}{x+1}}$ ). Damit ergibt sich:

${\frac {2x-1}{x+1}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}$

• Fünfter Schritt: Hat man diese Schritte überprüft, versucht man die Bruchterme auf den gleichen Nenner zu bringen, wie am vorherigen Teilkapitel gezeigt. Hier gibt es im Nenner zwei verschiedenen Terme, $(x+1)$  und $(x-1)$. Der Bruch auf der rechten Seite hat schon beide, man braucht (und darf) ihn NICHT erweitern. Am ersten Bruch fehlt noch der Term $(x-1)$  und mit diesem muss er erweitert werden. Am zweiten Bruch fehlt der Term $(x+1)$  und mit diesem muss er erweitert werden.

${\begin{aligned}{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ -\ 1)} }{\frac {2x-1}{x+1}}}\qquad &\qquad -{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ +\ 1)} }{\frac {2x}{x-1}}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {(2x-1)\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {2x^{2}-2x-x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\end{aligned}}$

• Sechster Schritt: Jetzt haben wir überall den gleichen Nenner. Wenn wir beide Seiten der Gleichung (also alle Brüche) mit diesem Nenner multiplizieren, dann wird er überall gekürzt.

${\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\qquad \qquad |\cdot (x-1)(x+1)$

$\left[{\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}\right]\cdot (x-1)(x+1)={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\cdot (x-1)(x+1)$

${\frac {(2x^{2}-3x+1)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}-{\frac {(2x^{2}+2x)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}={\frac {(2x+15)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}$

• Siebter Schritt: Das vorläufige Ergebnis ist daher die folgende Gleichung, die wir dann mit einfachen Umformungen lösen können:

${\begin{alignedat}{2}(2x^{2}-3x+1)&-(2x^{2}+2x)&&=2x+15\qquad |{\text{(Klammer auflösen)}}\\2x^{2}-3x+1&-2x^{2}-2x&&=2x+15\qquad |{\text{(Vereinfachen und Variablen trennen)}}\\&\quad -5x+1&&=2x+15\qquad |-1-2x)\\&\qquad -7x&&=\ 14\qquad \qquad |:(-7)\\&\qquad \quad \ x&&=-2\end{alignedat}}$ Die Lösungsmenge, also die Zahlen, die die Bruchtermegleichung am Anfang erfüllen, ist hier nur eine Zahl, die Zahl −2. Man schreibt:

$\mathbb {L} =\{-2\}$

Wie man sieht, ist die Lösung einer Bruchtermegleichung kompliziert. Das Üben und die Erfahrung machen die Sache selbstverständlich einfacher. Es gibt aber doch noch einen Schritt, um so eine Gleichung vollständig zu lösen: Die Definitionsmenge muss vorerst herausgefunden werden. Mit diesem Schritt beschäftigen wir uns im nächsten Teilkapitel.

Polynomdivision

Definitionsmenge

Nehmen wir folgendes Beispiel:

${\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}$

In den Nennern gibt es verschiedene Terme:

${x^{2}+x}\quad {x-1}\quad {x^{2}-1}$

Alle diese Terme kann man als Produkte von verschiedenen Faktoren schreiben:

${x^{2}+x}=x(x+1)\quad {x-1}\quad {x^{2}-1}=(x-1)(x+1)$

Alle diese Faktoren stehen im Nenner. Es gibt eine Regel in Mathematik, die besagt:

Die Division durch 0 ist nicht definierbar.

Warum das so ist, kann man in der höheren Mathematik zeigen. Der Nenner darf also nicht null sein. In welchen Fällen kann der erste, der zweite oder der dritte Nenner null sein? Dafür setzen wir diese Nenner gleich null!

$x(x+1)=0\quad {x-1}=0\quad (x-1)(x+1)=0$

Wann kann jetzt der erste Ausdruck null sein? Wenn zumindest einer der Faktoren null ist!

$x(x+1)=0\quad {\text{wenn}}\quad x=0\quad {\text{oder}}\quad (x+1)=0\ also\ x=-1\quad {\text{ist.}}$

In der gleichen Weise für die anderen zwei Nenner:

$x-1=0\quad {\text{wenn}}\quad x=1\quad {\text{ist.}}$

$(x-1)(x+1)=0\quad {\text{wenn}}\quad x=1\quad {\text{oder}}\quad x=-1\quad {\text{ist.}}$

Der Ausdruck $\textstyle \ {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}\$ kann nur dann definiert werden, wenn x nicht 0, 1 oder -1 ist. x darf daher alle andere Zahlen sein außer -1, 0 und 1. All die Zahlen, die x sein darf, nennt man Definitionsmenge. Man sagt, dass die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen außer -1,0 und 1 ist und schreibt:

$x\neq \{-1,\ 0,\ 1\}\qquad$ oder $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$

Die Definitionsmenge anzugeben ist bei jeder Aufgabe sehr wichtig. Nehmen wir das Beispiel am Anfang und setzen wir es gleich null:

${\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}=0$

Die Lösungsschritte haben wir im vorherigen Absatz gelernt. Die Definitionsmenge ist (wie gerade eben gezeigt)  $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$. Wer die Lösungsschritte macht, kommt zum Ergebnis $x=-1$. Dieser Wert gehört aber nicht zur Definitionsmenge. x darf nicht -1 sein, weil in diesem Fall eine Division durch null vorkommt. Man sagt in diesem Fall, dass die Gleichung keine Lösung hat (und sie hat tatsächlich keine Lösung: -1 kann keine Lösung sein!) oder dass die Lösungsmenge die sogenannte leere Menge ist: $\mathbb {L} =\{\}$ oder $\mathbb {L} =\emptyset$.

Bei manchen Aufgaben kann es sein, dass die allgemeine Definitionsmenge angegeben wird (z.B. die natürliche Zahlen). Wenn man das Beispiel mit den Tischen im Kapitel über lineare Gleichungssysteme betrachtet, kann man feststellen, dass die Antwort nur eine natürliche Zahl sein kann und dass etwas in der Angabe nicht stimmt, wenn das nicht der Fall ist.

Obwohl es nicht Thema diese Buches ist, erwähnen wir hier, dass die Definitionsmenge auch durch Ungleichungen angegeben werden kann. Das ist beispielsweise der Fall, wenn man einen Term in einer quadratischen Wurzel hat. Nehmen wir das folgende Beispiel:

${\sqrt {x-2}}$

Wir behaupten hier, dass dieser Ausdruck nur dann definiert werden kann, wenn der Term unter der Wurzel positiv oder null (anders gesagt: nicht negativ) ist. Das liegt daran, dass die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat ist und das Quadrat von jeder beliebigen Zahl immer positiv ist (oder null, wenn die Zahl null ist). Bei positiven Zahlen ist diese Tatsache klar: + mal + wird + sein. Aber auch bei den negativen Zahlen ist es genauso: − mal − ist auch immer plus! Es gibt also keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. In unserem Beispiel muss daher gelten:

${x-2}\geq 0\qquad {\text{also}}\qquad x\geq 2$

Man sagt „x muss größer oder gleich null sein“.