Kartesisches Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt ist eine besondere Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Die Schreibweise für das kartesische Produkt zwischen den Mengen $A$ und $B$ ist $A\times B$ (ausgesprochen: „$A$ kreuz $B$“). Das kartesische Produkt $A\times B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$ mit $a\in A$ und $b\in B$. So ist beispielsweise:

${\begin{aligned}\{1,\,2\}\times \{3,\,4,\,5\}=\{&(1,\,3),\,(1,\,4),\,(1,\,5),\,\\&(2,\,3),\,(2,\,4),\,(2,\,5)\}\end{aligned}}$

Beispiele/Übungsaufgabe: Schreibe folgende kartesische Produkte aus.

• $\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}$
• $\{x\}\times \{y\}$
• $\varnothing \times \{1,2,3\}$

Antwort:

• ${\begin{aligned}\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}=\{&(1,1),\,(1,2),\,(1,3),\,\\&(2,1),\,(2,2),\,(2,3),\,\\&(3,1),\,(3,2),\,(3,3)\}\end{aligned}}$
• $\{x\}\times \{y\}=\{(x,y)\}$
• $\varnothing \times \{1,2,3\}=\varnothing$

Definition (kartesisches Produkt)

Das kartesische Produkt $A\times B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$ wobei $a$ ein Element der Menge $A$ und $b$ ein Element der Menge $B$ ist:

$A\times B:=\{(x,y)\,|\,x\in A\land y\in B\}$

Verständnisfrage: Sei $A$ eine endliche Menge mit $a$ Elementen und $B$ eine endliche Menge mit $b$ Elementen. Wie viele Elemente enthält die Menge $A\times B$?

Seien $x_{1}$ bis $x_{a}$ die Elemente der Menge $A$ und $y_{1}$ bis $y_{b}$ die Elemente der Menge $B$. Dann sieht $A\times B$ so aus:

${\begin{array}{lc}\underbrace {\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{a}\}} _{=\ A}\times \underbrace {\{y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{b}\}} _{=\ B}=\{&(x_{1},y_{1}),\,(x_{1},y_{2}),\,\dots ,\,(x_{1},y_{b}),\\&(x_{2},y_{1}),\,(x_{2},y_{2}),\,\dots ;\,(x_{2},y_{b}),\\&\vdots \\&(x_{a},y_{1}),\,(x_{a},y_{2}),\,\dots ,\,(x_{a},y_{b})\}\end{array}}$

Man sieht, dass es für jedes $x\in A$ genau $b$ verschiedene $y\in B$ mit $(x,y)\in A\times B$ gibt. Damit enthält $A\times B$ genau $a\cdot b$ verschiedene geordnete Paare als Elemente.

Man kann auch das kartesische Produkt von mehr als zwei Mengen bilden. Analog zum Fall von zwei Mengen ist das kartesische Produkt $A\times B\times C$ der drei Mengen $A$, $B$ und $C$ gleich der Menge aller 3-Tupel $(a,b,c)$ mit $a\in A$, $b\in B$ und $c\in C$:

$A\times B\times C:=\{(a,b,c)\,|\,a\in A,\,b\in B,\,c\in C\}$

Verständnisfrage: Was ist $\{1,\,2\}\times \{3,\,4\}\times \{5,\,6\}$?

${\begin{aligned}\{1,\,2\}\times \{3,\,4\}\times \{5,\,6\}=\{&(1,\,3,\,5);\,(1,\,3,\,6);\\[0.3em]&(1,\,4,\,5),\,(1,\,4,\,6),\\[0.3em]&(2,\,3,\,5),\,(2,\,3,\,6),\\[0.3em]&(2,\,4,\,5),\,(2,\,4,\,6)\}\end{aligned}}$

Allgemein ist das kartesische Produkt $A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}$ der $n$ Mengen $A_{1}$ bis $A_{n}$ die Menge aller n-Tupel $(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})$ mit $a_{1}\in A_{1}$, $a_{2}\in A_{2}$ und so weiter bis $a_{n}\in A_{n}$:

$A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}:=\{(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})\,|\,a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\land \dots \land a_{n}\in A_{n}\}$

Für kartesische Produkte von Mengen mit sich selber gibt es eine abkürzende Schreibweise: Es ist $M^{2}:=M\times M$, $M^{3}:=M\times M\times M$ und so weiter. Allgemein ist

$M^{n}:=\underbrace {M\times M\times \dots \times M} _{n{\text{-mal}}}$

Verständnisfrage: Was ist $\{1,\,2\}^{3}$?

${\begin{aligned}\{1,\,2\}^{3}=\{1,\,2\}\times \{1,\,2\}\times \{1,\,2\}=\{&(1,\,1,\,1),\,(1,\,1,\,2),\\[0.3em]&(1,\,2,\,1),\,(1,\,2,\,2),\\[0.3em]&(2,\,1,\,1),\,(2,\,1,\,2),\\[0.3em]&(2,\,2,\,1),\,(2,\,2,\,2)\}\end{aligned}}$

Produktschreibweise

Für das kartesische Produkt $A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}$ von mehreren Mengen, gibt es auch die kompaktere Schreibweise $\prod _{i=1}^{n}A_{i}$. Diese ist definiert durch

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}:=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}$

Du siehst, dass die obige Schreibweise ähnlich dem Produkt $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ reeller Zahlen ist, welches du vielleicht schon aus der Schule kennst. Der Unterschied ist der, dass hier anstatt Zahlen Mengen verknüpft werden und die Verknüpfung nicht die Multiplikation sondern das kartesische Produkt ist.