Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Bei den algebraischen Strukturuntersuchungen wird häufig auch der Durchschnitt und die Vereinigung von Untervektorräumen betrachtet. In diesem Artikel untersuchen wir, inwiefern der Durchschnitt und die Vereinigung von Vektorräumen wieder eine Vektorraumstruktur aufweist.

Durchschnitt von Vektorräumen[Bearbeiten]

Der Durchschnitt erhält die Vektorraumstruktur. Sprich: Der Schnitt zweier Vektorräume ist wieder ein Vektorraum:

Satz (Durchschnitt von Vektorräumen)

Seien und zwei Untervektorräume eines Vektorraums . Der Durchschnitt von und ist ein Untervektorraum von .

Beweis (Durchschnitt von Vektorräumen)

Zum Beweis müssen wir die drei Unterraumkriterien nachweisen:

Beweisschritt: ist nicht leer

Zunächst ist , da und , damit ist .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition.

Seien nun . Da und abgeschlossen unter der Vektoraddition sind, ist und . Damit ist auch .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Seien und . Da und abgeschlossen unter der skalaren Vektormultiplikation sind, ist und . Damit ist auch .

Wir können die Idee des Satzes weiterführen und nun eine beliebige Anzahl an Durchschnitten von Untervektorräumen ansehen:

Satz (Beliebiger Durchschnitt von Vektorräumen)

Der beliebige Schnitt von beliebig vielen Untervektorräumen eines Grundvektorraums ist ein Untervektorraum von . Dabei bezeichnet eine Indexmenge.

Beweis (Beliebiger Durchschnitt von Vektorräumen)

Sei und seien Untervektorräume des -Vektorraums . Der Schnitt aller Vektorräume ist wieder ein Vektorraum.

Beweisschritt: ist nicht leer.

Da die Untervektorräume sind, ist für alle und damit ist . ist somit nicht leer.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition.

Seien . Dann gilt für alle . Weil alle Vektorräume sind, gilt die Abgeschlossenheit der Addition und es ist für alle . Damit ist .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Seien und . Dann gilt für alle . Da alle Vektorräume sind, gilt die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation und es ist für alle . Damit ist auch .

Vereinigung von Vektorräumen[Bearbeiten]

Da wir gesehen haben, dass die Schnittmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ergibt, ist es nur natürlich, zu fragen, ob auch die Vereinigungsmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ergibt. Die Vereinigungsmenge von und ist dabei die Menge:

Vereinigung von Vektorräumen ist in der Regel kein Vektorraum[Bearbeiten]

Im Allgemeinen ist die Vereinigung zweier Vektorräume kein Vektorraum. Wir zeigen dazu in einem Beispiel, dass die Vektoraddition in nicht abgeschlossen ist.[1] Sei als Vektorraum gewählt. Die Mengen und sind Unterräume des .

Wir wollen nun zeigen, dass kein Vektorraum ist. Dafür betrachten wir den Vektor . Für diesen Vektor gilt , womit . Weiterhin betrachten wir den Vektor mit , also . Beide Vektoren, also und sind Element der Vereinigung . Wir wollen nun zeigen, dass , womit die Abgeschlossenheit der Addition verletzt ist:

Der Vektor ist nun aber kein Element von , da . Weiter ist der Vektor auch kein Element in , da . Damit kann auch kein Element von sein.

Die Summe ist damit weder in noch in und damit auch nicht in . Somit ist die Summe zweier Vektoren nicht notgedrungen wieder in und die Vereinigung ist im Allgemeinen kein Vektorraum.

Wann ist die Vereinigung zweier Vektorräume ein Vektorraum?[Bearbeiten]

In einigen Spezialfällen ist es dennoch möglich, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen selbst wieder ein Vektorraum ist. Hierfür muss der eine Vektorraum eine Teilmenge des anderen Vektorraums sein:

Satz (Bedingung dafür, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist)

Sei ein Vektorraum über einem Körper , und seien und zwei Untervektorräume von . ist genau dann ein Untervektorraum von , wenn gilt oder .[2]

Beweis (Bedingung dafür, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist)

Beweisschritt: Ist ein Vektorraum, so ist oder .

Seien und Untervektorräume von , und sei ebenfalls ein Untervektorraum von . Wir verwenden hier einen Widerspruchsbeweis, das bedeutet, wir nehmen an, dass weder , noch gilt und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Damit ist unsere obige Annahme falsch.

Angenommen, weder , noch sind erfüllt. Dann gibt es ein Element mit , ebenso gibt es ein Element mit .

Nun sind und Elemente der Vereinigung . Da nach Voraussetzung ein Untervektorraum von ist, muss wegen der Unterraumbedingungen auch sein.

Da , ist auch und folglich muss nach den Unterraumkriterien sein. Dies ist aber auf Grund unserer Wahl für nicht möglich. Also ist . Ganz analog kann man zeigen.

Damit ist weder ein Element von noch von . Dies bedeutet aber . Die Annahme und führt zu einem Widerspruch. Folglich muss oder gelten.

Beweisschritt: Ist oder , so ist ein Vektorraum.

Wenn ist, so ist und damit ein Vektorraum. Analog folgt aus , dass und damit auch ein Vektorraum ist.