Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen – Mathe für Nicht-Freaks

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Bei den algebraischen Strukturuntersuchungen wird sehr oft auch der Durchschnitt und die Vereinigung von Untervektorräumen betrachtet.

Durchschnitt von Vektorräumen[Bearbeiten]

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To-Do:

Durchschnitt wichtig, da auch lineare Hülle von U der Durchschnitt aller Vektorrräume, die U enthalten ist

Es gilt:

Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums

ist stets ein Untervektorraum von .

Zum Beweis müssen wir die drei Unterraumkriterien nachweisen. Zunächst ist , da , damit ist . Damit ist Bedingung 1 erfüllt.

Seien nun , dann ist per Definition auch und analog seien und , dann ist ebenfalls per Definition , damit sind Bedingung 2 und Bedingung 3 erfüllt.

Bemerkung[Bearbeiten]

Der Durchschnitt endlich vieler Unterräume eines K-Vektorraums ist wieder ein Unterraum von .

Dies kannst du leicht mit vollständiger Induktion zeigen.

Vereinigung von Vektorräumen[Bearbeiten]

Da wir gesehen haben, dass die Schnittmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ergibt, ist es nur natürlich, zu fragen, ob auch die Vereinigungsmenge zweier Vektorräume wieder einen Vektorraum ergibt.

Man nennt die Menge die .

Im Allgemeinen ist die Vereinigung zweier Vektorräume kein Vektorraum. Wir zeigen dazu, dass die Vektoraddition in nicht abgeschlossen ist. Sei .

Es ist dann . Also ist weder in der Menge noch in der Menge und es gilt .

Damit ist die Summe zweier Vektoren nicht notgedrungen wieder in und die Vereinigung ist im Allgemeinen kein Vektorraum.

anschauliches Beispiel[1][Bearbeiten]

Sei als Vektorraum gewählt. Die Mengen und sind Unterräume des .

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Aufgabe (Nachweis von Untervektorräumen)

Zeige, dass und Unterräume des sind.

Aber ist kein Vektorraum, denn es gilt für und damit ist der Vektor . Ebenso gilt für und damit ist der Vektor . Also sind beide Vektoren auch Elemente der Vereinigung.

Die Summe ist aber weder in noch in und damit auch nicht in .

Spezialfall[Bearbeiten]

Du wirst dich jetzt sicherlich fragen, ob es Spezialfälle gibt, in denen die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist. Die Antwort lautet ja, es gibt einen einzigen Fall, bei dem die Vereinigung wieder ein Vektorraum ist. Diesen Spezialfall beschreibt der folgende Satz:

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Satz (Bedingung dafür, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist)

Sei ein Vektorraum über einem Körper , und seien zwei Untervektorräume von . ist genau dann ein Untervektorraum von , wenn gilt oder .

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Beweis (Wann ist Vereinigung zweier Vektorräume wieder ein Vektorraum?)

"":[2]

Seien Untervektorräume von , und sei ebenfalls ein Untervektorraum von . Wir verwenden hier einen Widerspruchsbeweis, d.h. wir nehmen an, dass weder , noch gilt und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Damit ist dann unsere obige Annahme falsch.

Also angenommen, weder , noch sind erfüllt. Dann gibt es ein Element , ebenso gibt es ein Element . sind aber Elemente der Vereinigung . Da nach Voraussetzung ein Untervektorraum von ist, muss auch (wegen der Unterraumbedingungen) liegen.

Da , ist auch und folglich muss nach den Unterraumkriterien sein. Dies ist aber auf Grund unserer Wahl für nicht möglich. Also ist .

Ganz analog kann man auch zeigen, dass .

Damit ist weder Element von noch von , was aber bedeutet . Die Annahme führt also zu einem Widerspruch.

Folglich muss gelten.

"":

Diesen sehr einfachen Beweis kannst du dir sicherlich selbst überlegen.

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To-Do:

mit Beweisvorlagen arbeiten

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Hinweis

Wenn gilt, dann ist und damit auch in .

Damit ist ein Unterraum von .